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Dénombrement

Cours Exercices

Cours

1Ensembles finis et cardinaux

2Listes, arrangements et combinaisons

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Méthodes3

ClassiqueDénombrer des ensembles

Pour dénombrer des ensembles, on peut

faire un tableau et essayer de retrouver les cardinaux en utilisant les formules du type $card (A \cup B) = \dots$ ;
interpréter les ensembles recherchés en utilisant des combinaisons, des permutations, ...;
faire des disjonctions de cas : ou bien... ou bien... et faire la somme des cardinaux obtenus;
compter chaque élément $p$ fois, et diviser le total par $p$ .

PavlovComment savoir si on dénombre une p-liste, un arrangement, ou une combinaison ?

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ClassiqueDémontrer une formule avec des coefficients binomiaux

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Exercices

Nombre d'injections de E dans F

Soient

E

F

deux ensembles finis de cardinaux respectifs

n

p

. Combien y a-t-il d'injections de

E

dans

F

Indication

Nombre de p -cycles

Combien y a-t-il de

p

-cycles dans le groupe

(S_{n}, \circ)

Indication

Anagrammes d'un mot à répétitions

Un mot

M

long de

n

lettres est constitué de

r

lettres différentes. La

j

-ème lettre apparaît

p_{j}

fois dans le mot

M

et donc

p_{1} + \dots + p_{r} = n

. Combien d'anagrammes du mot

M

peut-on constituer ?

Indication

Couples et triplets de parties de E

Soit

E

un ensemble à

n

éléments (

n \in N^{*}

). On va dénombrer des parties de

E

(X, Y, Z)

sur lesquelles on posera certaines contraintes.

Déterminer le nombre de couples $(X, Y)$ tels que $X \cap Y = \emptyset$ .
Déterminer le nombre de couples $(X, Y)$ tels que $X \cup Y = E$ .
Déterminer le nombre de couples $(X, Y)$ tels que $(X, Y)$ forment une partition de $E$ .
Déterminer le nombre de triplets $(X, Y, Z)$ tels que $X \cup Y = Z$ .

Indication

Probabilités et combinatoire

On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique ? On tire simultanément deux cartes d'un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique ? Donner le résultat en fraction irréductible.
Un digicode est une série de quatre caractères : une lettre A ou B suivie de trois chiffres. Combien existe-t-il de digicodes ? Combien existe-t-il de digicodes où tous les caractères sont distincts ? Combien existe-t-il de digicodes n'ayant pas deux caractères consécutifs identiques ?

Indication

Parties de E contenant A

Soit

A

une partie d'un ensemble

E

n

éléments. On pose

p = Card A

Combien y a-t-il de parties $X$ de $E$ contenant $A$ ?
Combien y a-t-il de parties $X$ de $E$ à $m \in {p, \dots, n}$ éléments contenant $A$ ?
Combien y a-t-il de couples $(X, Y)$ de parties de $E$ tels que $X \cap Y = A$ ?

Indication

Répartition en trinômes (30 élèves)

Une classe comporte 30 élèves. De combien de façons peut-on répartir les élèves en trinômes ?

Indication

Apprendre à compter

Dénombrer le nombre

d'applications d'un ensemble à $m$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments ;
de bijections entre deux ensembles à $n$ éléments ;
d'injections d'un ensemble à $n - 1$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments ;
de surjections d'un ensemble à $n$ éléments sur un ensemble à $n - 1$ éléments.

Indication