THE MATHS TAILOR

Dénombrement | The Maths Tailor

Dénombrement

Cours Exercices

Cours

1Ensembles finis et cardinaux

2Listes, arrangements et combinaisons

Contenu réservé aux abonnés

Méthodes3

ClassiqueDénombrer des ensembles

Pour dénombrer des ensembles, on peut

faire un tableau et essayer de retrouver les cardinaux en utilisant les formules du type $card (A \cup B) = \dots$ ;
interpréter les ensembles recherchés en utilisant des combinaisons, des permutations, ...;
faire des disjonctions de cas : ou bien... ou bien... et faire la somme des cardinaux obtenus;
compter chaque élément $p$ fois, et diviser le total par $p$ .

ClassiqueComment savoir si on dénombre une p-liste, un arrangement, ou une combinaison ?

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

ClassiqueDémontrer une formule avec des coefficients binomiaux

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

Exercices

Nombre d'injections de E dans F

Soient

E

F

deux ensembles finis de cardinaux respectifs

n

p

.
Combien y a-t-il d'injections de

E

dans

F

Indication

Nombre de p -cycles

Combien y a-t-il de

p

-cycles dans le groupe

(S_{n}, \circ)

Indication

Anagrammes d'un mot à répétitions

Un mot

M

long de

n

lettres est constitué de

r

lettres différentes. La

j

-ème lettre apparaît

p_{j}

fois dans le mot

M

et donc

p_{1} + \dots + p_{r} = n

.
Combien d'anagrammes du mot

M

peut-on constituer ?

Indication

Couples et triplets de parties de E

Soit

E

un ensemble à

n

éléments (

n \in N^{*}

). On va dénombrer des parties de

E

(X, Y, Z)

sur lesquelles on posera certaines contraintes.

Déterminer le nombre de couples $(X, Y)$ tels que $X \cap Y = \emptyset$ .
Déterminer le nombre de couples $(X, Y)$ tels que $X \cup Y = E$ .
Déterminer le nombre de couples $(X, Y)$ tels que $(X, Y)$ forment une partition de $E$ .
Déterminer le nombre de triplets $(X, Y, Z)$ tels que $X \cup Y = Z$ .

Indication

Probabilités et combinatoire

On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique ? On tire simultanément deux cartes d'un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique ? Donner le résultat en fraction irréductible.
Un digicode est une série de quatre caractères : une lettre A ou B suivie de trois chiffres. Combien existe-t-il de digicodes ? Combien existe-t-il de digicodes où tous les caractères sont distincts ? Combien existe-t-il de digicodes n'ayant pas deux caractères consécutifs identiques ?

Indication

Parties de E contenant A

Soit

A

une partie d'un ensemble

E

n

éléments. On pose

p = Card A

Combien y a-t-il de parties $X$ de $E$ contenant $A$ ?
Combien y a-t-il de parties $X$ de $E$ à $m \in {p, \dots, n}$ éléments contenant $A$ ?
Combien y a-t-il de couples $(X, Y)$ de parties de $E$ tels que $X \cap Y = A$ ?

Indication

Répartition en trinômes (30 élèves)

Une classe comporte 30 élèves. De combien de façons peut-on répartir les élèves en trinômes ?

Indication

Apprendre à compter

Dénombrer le nombre

d'applications d'un ensemble à $m$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments ;
de bijections entre deux ensembles à $n$ éléments ;
d'injections d'un ensemble à $n - 1$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments ;
de surjections d'un ensemble à $n$ éléments sur un ensemble à $n - 1$ éléments.

Indication