Dérivabilité

La méthode étudie la dérivabilité de $f$ en $a$ via la limite du taux d'accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, sait reconnaître des limites classiques comme des taux, et détecte la non-dérivabilité par des dérivées latérales distinctes. Justifions pourquoi ce nombre porte toute l'information.

Étape 1. Le taux d'accroissement et l'approximation affine.

Par définition, $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé $L$ lorsque$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\underset{h\to 0}{\to }L\in \mathbb{R}.$$Montrons que cela équivaut à l'existence d'une approximation affine de $f$ au voisinage de $a$ :$$f(a+h)=f(a)+Lh+o(h).$$En effet, posons $\epsilon (h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-L$ pour $h\ne 0$. Dire que le taux tend vers $L$ signifie exactement $\epsilon (h)\to 0$. Or $f(a+h)-f(a)-Lh=h\epsilon (h)$, donc $f(a+h)-f(a)-Lh=o(h)$ équivaut à $\epsilon (h)\to 0$. Les deux propriétés sont donc équivalentes. Géométriquement, $L=f^{\prime }(a)$ est la pente de la tangente : la droite $y=f(a)+L(x-a)$ est la seule droite qui approche le graphe à un ordre meilleur que toute autre, ce qui justifie qu'on lise la dérivabilité sur ce seul nombre.

Étape 2. Critère par les dérivées latérales.

Le taux est une fonction de $h$ définie pour $h\ne 0$. D'après le cours sur les limites, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite en $0$ si et seulement si elle admet une limite à droite ($h\to 0^{+}$) et une limite à gauche ($h\to 0^{-}$), et que ces deux limites sont égales. Ces deux limites latérales sont précisément $f_d^{\prime }(a)$ et $f_g^{\prime }(a)$. Ainsi :$$f\text{ deˊrivable en }a⟺f_g^{\prime }(a)\text{ et }{f}_d^{\prime }(a)\text{ existent, finies, et }{f}_g^{\prime }(a)=f_d^{\prime }(a).$$C'est pourquoi, pour une fonction définie par morceaux ou contenant une valeur absolue, il suffit d'exhiber $f_g^{\prime }(a)\ne f_d^{\prime }(a)$ pour conclure à la non-dérivabilité : la limite globale du taux ne peut alors pas exister.

Étape 3. Reconnaître une limite classique comme un taux d'accroissement.

L'intérêt de la méthode est aussi de calculer certaines limites en les lisant comme des taux. Par exemple,$$\frac{\sin (x)}{x}=\frac{\sin (x)-\sin (0)}{x-0}$$est le taux d'accroissement de la fonction sinus entre $0$ et $x$. Comme $\sin$ est dérivable en $0$ de dérivée $\cos (0)=1$, ce taux tend vers $1$ lorsque $x\to 0$, ce qui établit $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$. Le mécanisme est général : toute expression de la forme $\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$ se ramène, par dérivabilité de $g$ en $a$, à la valeur $g^{\prime }(a)$, sans calcul de limite supplémentaire.