The Maths Tailor

1Limite et nombre dérivé

1. Limite et nombre dérivé

1.1. Limite en zéro d'une fonction

Exemple —Fonction rationnelle

Soit la fonction

f

définie sur

]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[

par

f(x) = \dfrac{(x+1)^2 - 1}{x}

.

L'image de

0

par la fonction

f

n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de

f(x)

lorsque

x

se rapproche de

0

.

On constate que

f(x)

se rapproche de

2

lorsque

x

se rapproche de

0

.

On dit que la limite de

f(x)

lorsque

x

tend vers

0

est égale à

2

et on note :

\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 2

.

Définition —Limite en zéro

On dit que

f

a pour limite

L

lorsque

x

tend vers

0

si les valeurs de

f(x)

peuvent être aussi proches de

L

que l'on veut pourvu que

x

soit suffisamment proche de

0

.

On note :

\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = L

1.2. Nombre dérivé et dérivabilité

Remarque

Sur le graphique, la pente de la droite

(AM)

sécante à la courbe est égale à :

\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

, avec

h \neq 0

.

Lorsque

M

se rapproche de

A

,

h

se rapproche de

0

. La droite

(AM)

se rapproche alors d'une position limite dont la pente est égale à

\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

.

Cette pente s'appelle le nombre dérivé de

f

en

a

et se note

f'(a)

.

Définition —Fonction dérivable en a

On dit que la fonction

f

est dérivable en

a

s'il existe un nombre réel

L

, tel que :

\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = L

L

est appelé le nombre dérivé de

f

en

a

et se note

f'(a)

.

Méthode —Démontrer qu'une fonction est dérivable

Soit la fonction trinôme

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = x^2 + 2x - 3

. Démontrer que

f

est dérivable en

x = 2

.

Correction:

On calcule

\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}

pour

h \neq 0

:

\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} = \dfrac{(2+h)^2 + 2(2+h) - 3 - 5}{h} = \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h

Donc :

\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} = 6

Le nombre dérivé de

f

en

2

vaut

6

:

f'(2) = 6

.

1.3. Fonction valeur absolue

Définition —Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = |x|

.

Si

x \geq 0

, alors

f(x) = |x| = x

Si

x \leq 0

, alors

f(x) = |x| = -x

Proposition —Variations

La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur

]-\infty ; 0]

et strictement croissante sur

[0 ; +\infty[

.

Démonstration bientôt disponible

Méthode —Non dérivabilité de |x| en 0

Démontrer que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en

0

.

Correction:

On calcule le taux d'accroissement :

\dfrac{|h|}{h} = \begin{cases} 1, & \text{si } h > 0 \\ -1, & \text{si } h < 0 \end{cases}

Donc

\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h}

n'existe pas. La limite ne peut pas être égale à la fois à

1

et à

-1

.

La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en

0

.

2Tangente à une courbe

3Dérivées des fonctions usuelles

4Opérations sur les fonctions dérivées

5Étude des variations d'une fonction

6Extremum d'une fonction

7Applications

Dérivation

1. Limite et nombre dérivé

1.1. Limite en zéro d'une fonction

1.2. Nombre dérivé et dérivabilité

1.3. Fonction valeur absolue