Échantillonnage

Une entreprise fabrique des ampoules électriques. Elle en produit 50 000 par mois. Pour contrôler leur qualité, elle en prélève au hasard 300 chaque mois et teste leur durée de vie.

1. Quelle est la population étudiée ?
2. Quel est l'échantillon ? Quelle est sa taille $n$ ?
3. Pourquoi l'entreprise ne teste-t-elle pas les 50 000 ampoules produites ?

Pour chacune des situations suivantes, préciser la population étudiée, l'échantillon considéré et sa taille $n$.

a) Un lycée compte 900 élèves. Le conseil de vie lycéenne interroge 60 élèves tirés au sort sur leur moyen de transport.
b) Un fabricant de bonbons produit des sachets de 200 grammes. Il prélève 50 sachets par jour pour vérifier leur poids.
c) Une chaîne de télévision souhaite connaître l'audience d'une émission regardée par environ 2 millions de personnes ; elle interroge un panel de 1500 personnes.

Une chaîne de restaurants souhaite estimer la proportion de clients satisfaits parmi l'ensemble de sa clientèle nationale (plusieurs centaines de milliers de clients par an), sans pouvoir tous les interroger. Elle interroge un échantillon de 600 clients tirés au hasard à la sortie de plusieurs restaurants, et obtient 522 réponses "satisfait".

1. Quelle est la population étudiée ? Quel est l'échantillon, et quelle est sa taille ?
2. Calculer la fréquence $f$ de clients satisfaits dans cet échantillon.

3. Peut-on affirmer avec certitude qu'exactement 87 % de tous les clients de la chaîne sont satisfaits ? Que peut-on dire en revanche ?

Une compagnie de bus longue distance annonce un taux de satisfaction client de $75\%$ (on prend $p_0=0,75$).

Partie A.

Un premier sondage, réalisé sur un petit échantillon de $36$ passagers interrogés à une gare, donne $30$ avis satisfaits.

1. Quelle est la population étudiée ? Quel est l'échantillon, et quelle est sa taille $n$ ? Calculer la fréquence $f_1$ de passagers satisfaits dans ce premier échantillon.

Partie B.

Un second sondage, plus large, est mené sur un échantillon de $n=900$ passagers sur l'ensemble du réseau, et donne $693$ avis satisfaits.

2. Calculer la fréquence $f_2$ de passagers satisfaits dans ce second échantillon.
3. Vérifier que les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation simple sont réunies pour ce second échantillon, puis déterminer cet intervalle au seuil de $95\%$ autour de $p_0$. Le résultat est-il compatible avec l'annonce de la compagnie ?
4. Expliquer pourquoi $f_1$, obtenue sur seulement $36$ passagers, fluctue davantage autour de $p_0$ que $f_2$.

Partie C.

5. La compagnie souhaite mener un nouveau sondage tel que la demi-largeur de l'intervalle de fluctuation soit au plus égale à $0,02$. Déterminer la taille minimale d'échantillon nécessaire.
6. Même avec un échantillon de cette taille, peut-on connaître avec certitude la proportion exacte de passagers satisfaits sur l'ensemble du réseau ? Expliquer.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

a) Une fréquence observée sur un échantillon est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$.

b) Si un échantillon est deux fois plus grand qu'un autre, l'estimation qu'il fournit est exactement deux fois plus précise.
c) La probabilité théorique d'un événement peut changer d'un échantillon à l'autre, selon les résultats obtenus.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

a) Plus la taille d'un échantillon augmente, plus la fréquence observée a tendance à se rapprocher de la probabilité théorique.
b) Si on lance un dé à 6 faces exactement 6 fois, on est certain d'obtenir chaque face une fois exactement.
c) Deux échantillons de taille 10, tirés au hasard dans la même population, donnent forcément exactement la même fréquence.