The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Appartenance et inclusion

1.1. Définitions de base

Remarque

Sans rentrer dans les détails, on appelle ensemble une collection d'objets. Ces objets sont appelés les éléments de l'ensemble.

Définition —Ensemble vide, singleton et paire

L'ensemble qui ne contient aucun élément est appelé ensemble vide et est noté

\emptyset

. Un ensemble à un élément est appelé un singleton, un ensemble à deux éléments est une paire.

Définition —Appartenance

On dit que

x

appartient à un ensemble

E

x

est un élément de

E

et on note alors

x \in E

Encadré —Décrire un ensemble

Un ensemble est dit défini en extension lorsqu'il est défini par l'énumération de ses éléments. Par exemple, $A = \{1, 3, 5, 7\}$ .
Un ensemble est dit défini en compréhension lorsqu'il est défini par une propriété caractéristique de ses éléments. Par exemple, l'ensemble des entiers naturels pairs est $\{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{N}, n = 2k\}$ . Autrement dit, l'ensemble des entiers naturels pairs est l'ensemble des entiers $n$ pour lesquels il existe un entier naturel $k$ tel que $n = 2k$ .
Un ensemble peut être défini à l'aide d'un autre ensemble. Par exemple, l'ensemble des entiers naturels pairs peut se noter $\{2k, k \in \mathbb{N}\}$ . Autrement dit, l'ensemble des entiers naturels pairs est l'ensemble des entiers de la forme $2k$ lorsque $k$ parcourt $\mathbb{N}$ .

Remarque

De manière plus concise, l'ensemble des entiers naturels pairs se note aussi

2\mathbb{N}

Attention

Quand on décrit un ensemble en compréhension, on donne d'abord les éléments puis la condition qu'ils vérifient. Par exemple, la notation

\{n = 2k\}

pour désigner l'ensemble des entiers naturels pairs n'a AUCUN SENS. Au mieux pourrait-on voir cet « ensemble » comme un ensemble d'équations.

Exemple

L'ensemble des fonctions de

\mathbb{R}

dans

\mathbb{R}

1-périodiques peut se noter

\{f \in \mathbb{R}^\mathbb{R} \mid \forall x \in \mathbb{R}, f(x + 1) = f(x)\}

. Là encore, des notations du style

\{f(x + 1) = f(x)\}

\{f(x + 1) = f(x), x \in \mathbb{R}\}

ou encore

\{\forall x \in \mathbb{R}, f(x + 1) = f(x)\}

n'ont AUCUN SENS.

Définition —Inclusion

On dit qu'un ensemble

E

est inclus dans un ensemble

F

si tout élément de

E

est un élément de

F

et on note alors

E \subset F

. De manière plus concise,

(E \subset F) \iff (\forall x, x \in E \implies x \in F)

Exemple

On a la suite d'inclusion bien connue :

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Attention

Attention à ne pas confondre appartenance et inclusion.

On a bien $0 \in \mathbb{N}$ mais $0 \not\subset \mathbb{N}$ . Néanmoins, $\{0\} \subset \mathbb{N}$ .
On a bien $\{-1, 0, 1\} \subset \mathbb{Z}$ mais $\{-1, 0, 1\} \notin \mathbb{Z}$ .

Un élément peut appartenir à un ensemble mais ne peut pas être inclus dans un ensemble. Un ensemble peut être inclus dans un ensemble mais ne peut pas appartenir à un ensemble (à moins qu'il s'agisse d'un ensemble d'ensembles ...).

Définition —Partie

On appelle partie d'un ensemble

E

tout ensemble

F

inclus dans

E

. L'ensemble des parties de

E

se note

\mathcal{P}(E)

Application

Énumérer les parties de l'ensemble

\{1, 2, 3\}

Correction

Par la Définition 1.4, une partie de

E = \{1, 2, 3\}

est un sous-ensemble de

E

. D'après la Définition 1.4, l'ensemble des parties de

E

, noté

\mathcal{P}(E)

, contient tous les sous-ensembles de

E

.

Enumérons systématiquement toutes les parties selon leur cardinal :

Cardinal 0 : $\emptyset$ (l'ensemble vide, qui est une partie de tout ensemble).
Cardinal 1 : $\{1\}$ , $\{2\}$ , $\{3\}$ .
Cardinal 2 : $\{1, 2\}$ , $\{1, 3\}$ , $\{2, 3\}$ .
Cardinal 3 : $\{1, 2, 3\}$ .

Ainsi

\mathcal{P}(E) = \bigl\{\emptyset,\, \{1\},\, \{2\},\, \{3\},\, \{1,2\},\, \{1,3\},\, \{2,3\},\, \{1,2,3\}\bigr\}

, qui comporte

2^3 = 8

éléments.

□

Remarque

L'ensemble vide est une partie de tout ensemble (y compris de lui-même).

Définition —Égalité

On dit que deux ensembles

E

F

sont égaux si tout élément de

E

est un élément de

F

et réciproquement. On note alors

E = F

. De manière plus concise,

(E = F) \iff (\forall x, x \in E \iff x \in F)

Proposition

Soient

E

F

deux ensembles alors

E = F

si et seulement si

E \subset F

F \subset E

Démonstration

Montrons les deux implications.

( $\Rightarrow$ ) Supposons

E = F

. Par définition de l'égalité (Définition 1.5), tout élément de

E

est un élément de

F

et réciproquement. Par définition de l'inclusion (Définition 1.3), on a donc

E \subset F

F \subset E

.

( $\Leftarrow$ ) Supposons

E \subset F

F \subset E

. Soit

x

quelconque. Par définition de l'inclusion (Définition 1.3) :

x \in E \overset{E \subset F}{\implies} x \in F \quad \text{et} \quad x \in F \overset{F \subset E}{\implies} x \in E.

Donc

x \in E \iff x \in F

, ce qui signifie, par la Définition 1.5, que

E = F

Méthode —Inclusion et égalité en pratique

Pour montrer que $E \subset F$ , on montre que tout élément de $E$ est un élément de $F$ . On rédige donc de la manière suivante : « Soit $x \in E$ . Montrons que $x \in F$ ».
Pour montrer que $E = F$ , on peut soit montrer que $x \in E$ si et seulement si $x \in F$ en raisonnant par équivalence, soit procéder par double inclusion en montrant que $E \subset F$ et $F \subset E$ . Dans ce cas, la rédaction se fait en deux étapes : \begin{itemize}
« Soit $x \in E$ . Montrons que $x \in F$ ».
« Soit $x \in F$ . Montrons que $x \in E$ ».

\end{itemize}

On peut également raisonner directement sur les ensembles sans considérer les éléments.

Application —Médiatrice

Soient

A

B

deux points du plan. Montrer que l'ensemble des points du plan équidistants de

A

B

est la droite orthogonale au segment

[AB]

en son milieu.

Correction

On veut montrer que la médiatrice

\mathcal{M}

[AB]

coïncide avec l'ensemble

F = \{M \in E \mid MA = MB\}

(en notant

MA = \|\overrightarrow{MA}\|

la distance euclidienne).

Par la Proposition 1.1, il suffit de montrer la double inclusion

\mathcal{M} \subset F

F \subset \mathcal{M}

.

$F \subset \mathcal{M}$ : Soit

M \in F

, c'est-à-dire

MA = MB

. Notons

I

le milieu de

[AB]

. On a

\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}

\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}

. Or

\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}

, donc :

MA^2 - MB^2 = \|\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\|^2 - \|\overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}\|^2 = 4 \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IA}.

Puisque

MA = MB

, on obtient

\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IA} = 0

, c'est-à-dire

\overrightarrow{MI} \perp \overrightarrow{AB}

M

est à distance égale de

A

B

. Donc

M

appartient à la médiatrice de

[AB]

M \in \mathcal{M}

.

$\mathcal{M} \subset F$ : Réciproquement, si

M \in \mathcal{M}

, alors

M

est équidistant de

A

B

par définition de la médiatrice, donc

MA = MB

, soit

M \in F

.

Conclusion :

F = \mathcal{M}

□

Application

Soient

A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2, 2x - y = 1\}

B = \{(t + 1, 2t + 1), t \in \mathbb{R}\}

. Montrer que

A = B

Correction

On a

A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = 2x + 1\}

B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = t,\, y = 2t+1,\, t \in \mathbb{R}\}

.

Par la Proposition 1.1, montrons

A = B

par double inclusion.

$B \subset A$ : Soit

(x, y) \in B

. Il existe

t \in \mathbb{R}

tel que

x = t

y = 2t + 1 = 2x + 1

. Donc

(x, y)

vérifie

y = 2x + 1

, soit

(x, y) \in A

.

$A \subset B$ : Soit

(x, y) \in A

, c'est-à-dire

y = 2x + 1

. En posant

t = x

, on a

x = t

y = 2t + 1

, donc

(x, y) \in B

.

Conclusion :

A = B

□

Ensembles

1. Appartenance et inclusion

1.1. Définitions de base