Ensembles

Décrire les parties de $\mathbb{R}$ dans lesquelles évoluent $x$ pour que les assertions suivantes soient vraies :

• (a) $(x > 0$ et $x < 1)$ ou $x = 0$
• (b) $x > 3$ et $x < 5$ et $x \neq 4$
• (c) $(x \leq 0$ et $x > 1)$ ou $x = 4$
• (d) $x \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$

Étant donné $P$, $Q$ et $R$ trois assertions, vérifier en dressant la table de vérité :

• (a) $P$ ou $(Q$ et $R) \sim (P$ ou $Q)$ et $(P$ ou $R)$
• (b) non$(P \Rightarrow Q) \sim P$ et non$(Q)$

On dispose de neuf billes visuellement identiques, huit d'entre elles ont même masse mais la neuvième est plus lourde. Comment, en deux pesées sur une balance à deux plateaux, peut-on démasquer l'intrus ?

On dispose de neuf billes visuellement identiques, elles ont toutes la même masse sauf une.
Comment, à l'aide d'une balance à deux plateaux, démasquer l'intrus en trois pesées ?

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur $I$ à valeurs réelles.
Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes :

• (a) $\exists C \in \mathbb{R}, \forall x \in I, f(x) = C$
• (b) $\forall x \in I, f(x) = 0 \Rightarrow x = 0$
• (c) $\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in I, f(x) = y$
• (d) $\forall x, y \in I, x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)$
• (e) $\forall x, y \in I, f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur $I$ à valeurs réelles.
Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions suivantes :

• (a) la fonction $f$ s'annule
• (b) la fonction $f$ est la fonction nulle
• (c) $f$ n'est pas une fonction constante
• (d) $f$ ne prend jamais deux fois la même valeur
• (e) la fonction $f$ présente un minimum
• (f) $f$ prend des valeurs arbitrairement grandes
• (g) $f$ ne peut s'annuler qu'une seule fois

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction à valeurs réelles définie sur $I$.
Exprimer les négations des assertions suivantes :

• (a) $\forall x \in I, f(x) \neq 0$
• (b) $\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in I, f(x) = y$
• (c) $\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in I, |f(x)| \leq M$
• (d) $\forall x, y \in I, x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)$
• (e) $\forall x, y \in I, f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
• (f) $\forall x \in I, f(x) > 0 \Rightarrow x \leq 0$

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue.
On considère les assertions suivantes :
$$P \sim \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 0$$
$$Q \sim \exists x \in \mathbb{R}, f(x) = 0$$
et
$$R \sim (\forall x \in \mathbb{R}, f(x) > 0) \text{ ou } (\forall x \in \mathbb{R}, f(x) < 0)$$
Parmi les implications suivantes lesquelles sont exactes :

• (a) $P \Rightarrow Q$
• (b) $Q \Rightarrow P$
• (c) $Q \Rightarrow R$
• (d) non$(R) \Rightarrow Q$
• (e) non$(Q) \Rightarrow$ non$(P)$
• (f) non$(P) \Rightarrow$ non$(R)$ ?

Sachant $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$, montrer
$$\forall x \in \mathbb{Q}, x + \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$$

Montrer
$$\forall n \in \mathbb{N}, \dfrac{n(n^2 + 1)}{2} \in \mathbb{N}$$

Soit $P = \{2k \mid k \in \mathbb{Z}\}$ et $I = \{2k + 1 \mid k \in \mathbb{Z}\}$ les ensembles formés respectivement des entiers pairs et impairs. Écrire une démonstration de l'identité $P \cap I = \emptyset$.

Soit $a \in \mathbb{R}$. Montrer
$$\forall \varepsilon > 0, |a| \leq \varepsilon \Rightarrow a = 0$$

Soit $(u_n)$ la suite réelle déterminée par
$$u_0 = 2, u_1 = 3 \text{ et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n$$
Montrer
$$\forall n \in \mathbb{N}, u_n = 2^n + 1$$

Montrer que
$$\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}, 1 + \dfrac{1}{2^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} > \dfrac{3n}{2n + 1}$$

Montrer que
$$\forall n \in \mathbb{N}^*, 1! \cdot 3! \cdots (2n + 1)! \geq ((n + 1)!)^{n+1}$$

Le raisonnement suivant est erroné :

Montrons, par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$, la propriété :
$$P(n) = \text{"$n$ points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés"}$$
Pour $n = 1$ et $n = 2$, la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 2$.
Considérons alors $n + 1$ points deux à deux distincts $A_1, A_2, \ldots, A_n, A_{n+1}$.
(HR) Les points $A_1, A_2, \ldots, A_n$ sont alignés sur une droite $D$.
(HR) Les points $A_2, \ldots, A_n, A_{n+1}$ sont alignés sur une droite $D'$.
Or $D$ et $D'$ contiennent les deux points distincts $A_2$ et $A_n$, donc $D = D'$.
Par suite $A_1, A_2, \ldots, A_n, A_{n+1}$ sont alignés sur la droite $D = D'$.
Récurrence établie.

Où est l'erreur ?

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n \ge 0$, $u_{n+1} = u_0 + u_1 + \dots + u_n$. Démontrer que, pour tout $n \ge 1$, $u_n = 2^{n-1}$.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie par $u_1 = 3$ et pour tout $n \ge 1$, $u_{n+1} = \frac{2}{n} \sum_{k=1}^n u_k$. Démontrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a $u_n = 3n$.