Équations et inéquations

Un appartement compte $6$ pièces, décrites ci-dessous. Les dimensions sont données en cm, et les lettres $a$, $b$, $x$, $y$ et $z$ désignent des longueurs positives. Dans chaque pièce, une partie n'est pas recouverte de moquette (carrelage ou placard) ; tout le reste doit l'être.
- Pièce $1$ : un rectangle de $400$ sur $300$. Une bande de $x$ de large, le long d'un côté de $300$, n'est pas recouverte.
- Pièce $2$ : un rectangle de $a$ sur $300$. Une bande de $60$ de large, le long d'un côté de longueur $a$, n'est pas recouverte.
- Pièce $3$ : un rectangle de $b$ sur $180$. Un placard rectangulaire de $200$ sur $a$, dont le côté de $200$ longe un côté de longueur $b$, n'est pas recouvert.
- Pièce $4$ : un rectangle de $500$ sur $a$. Dans un coin, un rectangle de $x$ sur $y$ n'est pas recouvert.
- Pièce $5$ : deux rectangles accolés, l'un de $50$ sur $100$, l'autre de $80$ sur $100$. Dans chacun, une bande de $x$ de large n'est pas recouverte : le long de son côté de $50$ pour le premier, le long de son côté de $80$ pour le second.
- Pièce $6$ : un rectangle de $x+y$ sur $y+z$. Dans un coin, un rectangle de $x$ sur $y$ n'est pas recouvert.

1) a) L'expression « $180\times b-200\times a$ » représente la surface de moquette nécessaire pour recouvrir une pièce. Laquelle ?
b) Faire de même pour chacune des autres pièces en donnant une expression de la surface de moquette nécessaire en fonction des dimensions données.
2) Développer si possible et réduire chacune des expressions précédentes.
3) Pour cette question, on donnera tous les résultats en m${}^2$. Utiliser les expressions de la question 2) pour :
a) Calculer les surfaces de moquette nécessaires aux pièces $1$ et $2$ lorsque : $x=60$ et $a=500$.
b) Même question pour la pièce $4$ lorsque : $x=50$, $y=100$ et $a=160$.
c) Même question pour la pièce $6$ lorsque : $x=40$, $y=100$ et $z=90$.
4) a) Calculer la longueur $x$ pour que la surface de moquette de la pièce $1$ soit égale à $11,04$ m${}^2$.
b) Calculer la longueur $a$ pour que la surface de moquette de la pièce $2$ soit égale à $7,704$ m${}^2$.
c) Calculer la longueur $x$ pour que la surface de moquette de la pièce $5$ soit égale à $1,17$ m${}^2$.
5) Proposer des longueurs $a$ et $b$ pour que la surface de moquette de la pièce $3$ soit égale à $34760$ cm${}^2$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :$$5x-7=2x+8$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :$$3(2x-1)=5(x+2)-4$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :$$2,5x-3=0,5x+5$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :$$\frac{x+1}{3}=\frac{2x-1}{5}$$

Un opérateur téléphonique propose deux forfaits mensuels :
- Forfait A : $20$ euros d'abonnement fixe, puis $0,05$ euro par minute de communication.
- Forfait B : $35$ euros d'abonnement fixe, puis $0,02$ euro par minute de communication.

On note $x$ le nombre de minutes de communication dans le mois ($x\ge 0$).

1) Exprimer le coût mensuel $C_A(x)$ du forfait A et $C_B(x)$ du forfait B en fonction de $x$.
2) Déterminer, en résolvant une équation, le nombre de minutes pour lequel les deux forfaits ont le même coût.
3) En résolvant une inéquation, déterminer à partir de combien de minutes le forfait B devient strictement plus avantageux que le forfait A.