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Fonction logarithme décimal | The Maths Tailor
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Fonction logarithme décimal
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Cours
— 5 sections
1
Fonction exponentielle de base 10 et fonction logarithme décimal
1. Fonction exponentielle de base 10 et fonction logarithme décimal
1.1. Définition
Encadré
—
Historique
En 1614, le mathématicien écossais John Napier (1550 ; 1617), plus connu sous le nom francisé de
Neper
, publie un ouvrage présentant un outil permettant de simplifier les calculs opératoires : le
logarithme
. Le mot est construit à partir des mots grecs
logos
(logique) et
arithmos
(nombre). L'intérêt des tables logarithmiques est de substituer une multiplication par une addition.
Définition
—
Logarithme décimal
On appelle
logarithme décimal
d'un réel strictement positif
b
b
b
l'unique solution de l'équation
10
x
=
b
10^x = b
1
0
x
=
b
. On la note
log
(
b
)
\log(b)
lo
g
(
b
)
.
La
fonction logarithme décimal
, notée
log
\log
lo
g
, est la fonction définie sur
]
0
;
+
∞
[
]0\,;\,+\infty[
]
0
;
+
∞
[
par
x
⟼
log
(
x
)
x \longmapsto \log(x)
x
⟼
lo
g
(
x
)
.
1.2. Variations et propriétés de base
Proposition
—
Sens de variation
La fonction logarithme décimal
x
⟼
log
(
x
)
x \longmapsto \log(x)
x
⟼
lo
g
(
x
)
est
strictement croissante
sur
]
0
;
+
∞
[
]0\,;\,+\infty[
]
0
;
+
∞
[
.
Valeurs particulières à connaître :
log
(
1
)
=
0
log
(
10
)
=
1
log
(
1
10
)
=
−
1
\log(1) = 0 \qquad \log(10) = 1 \qquad \log\!\left(\dfrac{1}{10}\right) = -1
lo
g
(
1
)
=
0
lo
g
(
10
)
=
1
lo
g
(
10
1
)
=
−
1
Démonstration bientôt disponible
Proposition
—
Propriétés fondamentales
Si
x
≥
1
x \geq 1
x
≥
1
:
log
(
x
)
≥
0
\log(x) \geq 0
lo
g
(
x
)
≥
0
Si
0
<
x
≤
1
0 < x \leq 1
0
<
x
≤
1
:
log
(
x
)
≤
0
\log(x) \leq 0
lo
g
(
x
)
≤
0
Pour
b
>
0
b > 0
b
>
0
:
10
x
=
b
⟺
x
=
log
(
b
)
10^x = b \iff x = \log(b)
1
0
x
=
b
⟺
x
=
lo
g
(
b
)
log
(
10
x
)
=
x
\log(10^x) = x
lo
g
(
1
0
x
)
=
x
pour tout
x
∈
R
x \in \mathbb{R}
x
∈
R
Pour
x
>
0
x > 0
x
>
0
:
10
log
(
x
)
=
x
10^{\log(x)} = x
1
0
l
o
g
(
x
)
=
x
Exemples :
log
(
1,1
)
≥
0
\log(1{,}1) \geq 0
lo
g
(
1
,
1
)
≥
0
car
1,1
≥
1
1{,}1 \geq 1
1
,
1
≥
1
log
(
0,7
)
≤
0
\log(0{,}7) \leq 0
lo
g
(
0
,
7
)
≤
0
car
0,7
<
1
0{,}7 < 1
0
,
7
<
1
10
5
=
100
000
⟺
5
=
log
(
100
000
)
10^5 = 100\,000 \iff 5 = \log(100\,000)
1
0
5
=
100
000
⟺
5
=
lo
g
(
100
000
)
log
(
10
6
)
=
6
\log(10^6) = 6
lo
g
(
1
0
6
)
=
6
;
log
(
1
000
)
=
log
(
10
3
)
=
3
\log(1\,000) = \log(10^3) = 3
lo
g
(
1
000
)
=
lo
g
(
1
0
3
)
=
3
;
log
(
0,01
)
=
log
(
10
−
2
)
=
−
2
\log(0{,}01) = \log(10^{-2}) = -2
lo
g
(
0
,
01
)
=
lo
g
(
1
0
−
2
)
=
−
2
10
log
(
7
)
=
7
10^{\log(7)} = 7
1
0
l
o
g
(
7
)
=
7
Démonstration bientôt disponible
2
Propriétés d'opération de la fonction logarithme décimal
3
Équations et inéquations
4
Taux d'évolution moyen
5
L'échelle logarithmique
Cours
1
Fonction exponentielle de base 10 et fonction logarithme décimal
2
Propriétés d'opération de la fonction logarithme décimal
3
Équations et inéquations
4
Taux d'évolution moyen
5
L'échelle logarithmique
Méthodes
0
Pas encore de methodes
Exercices
