THE MATHS TAILOR

Fonctions trigonométriques | The Maths Tailor

Fonctions trigonométriques

Cours Exercices

Cours

1Cercle trigonométrique et radian

2Mesure d'un angle orienté

Contenu réservé aux abonnés

3Cosinus et sinus d'un nombre réel

Contenu réservé aux abonnés

4Fonctions cosinus et sinus

Contenu réservé aux abonnés

Méthodes12p.1/2

ClassiquePlacer un point sur le cercle trigonométrique par enroulement

Objectif : Placer sur le cercle trigonométrique le point associé à un réel donné, même lorsque ce réel est grand ou négatif, en utilisant le principe de l'enroulement.

Principe

Enrouler la droite réelle autour du cercle trigonométrique revient à faire correspondre à un réel $x$ un unique point du cercle, mais plusieurs réels différents (qui diffèrent d'un multiple entier de $2 π$ ) peuvent correspondre au même point : faire un tour complet supplémentaire (dans un sens ou dans l'autre) ne change pas la position du point.

Méthode

1. Repérer, dans l'écriture du réel $x$ (souvent une fraction de $π$ ), un multiple de $2 π$ caché : chercher le multiple du double du dénominateur le plus proche du numérateur, car $2 π$ a pour numérateur le double du dénominateur (par exemple $2 π = \frac{8 π}{4}$ ).
2. Écrire $x = k \times 2 π + r$ , où $k$ est un entier relatif et $r$ le reste.
3. Le point associé à $x$ occupe la même position que le point associé à $r$ , car $k \times 2 π$ représente $k$ tours complets (dans le sens direct si $k > 0$ , indirect si $k < 0$ ).
4. Placer le point associé à $r$ sur le cercle.

*Exemple a)* Placer le point $B$ associé à $\frac{9 π}{4}$ .

$\frac{9 π}{4} = \frac{8 π}{4} + \frac{π}{4} = 2 π + \frac{π}{4}$

$B$ occupe donc la même position que le point associé à $\frac{π}{4}$ .

*Exemple b)* Placer le point $D$ associé à $- \frac{9 π}{2}$ .

$- \frac{9 π}{2} = - \frac{8 π}{2} - \frac{π}{2} = - 4 π - \frac{π}{2}$

$- 4 π$ représente deux tours complets dans le sens indirect : $D$ occupe donc la même position que le point associé à $- \frac{π}{2}$ .

TunnelConvertir une mesure d'angle des degrés en radians et réciproquement

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

PavlovLire la mesure d'un angle associée à un point du cercle trigonométrique

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

ClassiqueDéterminer la mesure principale d'un angle orienté

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

TunnelUtiliser la relation cos carré plus sin carré égal 1

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

PavlovConnaître les valeurs remarquables de cosinus et de sinus

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

ClassiqueUtiliser les formules des angles associés

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

ClassiqueRésoudre une équation du type cos(x) = a sur un intervalle donné

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

ClassiqueRésoudre une équation du type sin(x) = a sur un intervalle donné

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

TunnelÉtudier la périodicité des fonctions cosinus et sinus

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

1 / 2

Exercices

Repérer des points sur le cercle trigonométrique

On considère les réels suivants, chacun étant la mesure d'un point image sur le cercle trigonométrique :

x_{1} = \frac{2 π}{3}; x_{2} = - \frac{π}{4}; x_{3} = \frac{7 π}{6}; x_{4} = \frac{5 π}{2}

Pour chacun de ces réels, indiquer dans quel quadrant du cercle trigonométrique se situe son point image (préciser si le point se situe sur l'un des axes), en justifiant à l'aide de l'enroulement de la droite réelle sur le cercle.

Trouver des réels associés au même point du cercle

Le réel

x_{0} = \frac{5 π}{3}

est associé à un point

M

du cercle trigonométrique.

a) Donner, sous forme de fractions de

π

, trois autres réels associés au point

M

.

b) Le réel

\frac{5 π}{3} - 8 π

est-il associé au point

M

? Justifier.

Calculer cosinus et sinus d'un réel après réduction

Calculer les valeurs exactes de

cos (\frac{29 π}{4})

et

sin (\frac{29 π}{4})

.

Localiser des points image sur le cercle trigonométrique

On considère les réels suivants, chacun étant la mesure d'un point image sur le cercle trigonométrique :

x_{1} = - \frac{5 π}{6}; x_{2} = \frac{3 π}{4}; x_{3} = - \frac{11 π}{6}; x_{4} = \frac{9 π}{2}

Pour chacun de ces réels, indiquer dans quel quadrant du cercle trigonométrique se situe son point image (préciser si le point se situe sur l'un des axes), en justifiant à l'aide de l'enroulement de la droite réelle sur le cercle.

QCM transversal : cercle, valeurs, équations et périodicité

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer la bonne réponse, sans justifier.

1) La valeur exacte de

cos (\frac{5 π}{6})

est :
a)

\frac{3}{2}

b)

- \frac{3}{2}

c)

\frac{1}{2}

d)

- \frac{1}{2}

2) Le réel

- \frac{7 π}{4}

a la même image sur le cercle trigonométrique que :
a)

\frac{π}{4}

b)

- \frac{π}{4}

c)

\frac{3 π}{4}

d)

\frac{7 π}{4}

3) Sur l'intervalle

] π; \frac{3 π}{2} [

, le signe de

sin (x)

est :
a) toujours positif b) toujours négatif c) variable selon

x

d) toujours nul
4) L'ensemble des solutions de

sin (x) = 1

sur

[0; 2 π [

est :
a)

{\frac{π}{2}}

b)

{\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}}

c)

{0}

d)

\emptyset

5) La fonction sinus est :
a) paire b) impaire c) ni paire ni impaire d) à la fois paire et impaire
6) La plus petite période positive de la fonction

x \mapsto cos (3 x)

est :
a)

2 π

b)

\frac{2 π}{3}

c)

\frac{π}{3}

d)

6 π

Exercice

En utilisant le cercle trigonométrique, retrouver les valeurs suivantes :

1.

cos (\frac{π}{6})

,

sin (\frac{π}{6})

2.

cos (\frac{π}{4})

,

sin (\frac{π}{4})

3.

cos (\frac{π}{3})

,

sin (\frac{π}{3})

4. En déduire

cos (\frac{2 π}{3})

,

sin (\frac{2 π}{3})

,

cos (- \frac{π}{4})

et

sin (- \frac{π}{6})

.