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Fonctions à valeurs vectorielles
Fonctions à valeurs vectorielles
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Cours
— 4 sections
1
Dérivabilité
1. Dérivabilité
1.1. Définition
Remarque
Dans tout ce chapitre, les fonctions considérées sont des fonctions définies sur un intervalle
I
I
I
de
R
\mathbb{R}
R
à valeurs dans un
K
\mathbb{K}
K
-espace vectoriel normé
E
E
E
de dimension finie (
K
=
R
\mathbb{K} = \mathbb{R}
K
=
R
ou
K
=
C
\mathbb{K} = \mathbb{C}
K
=
C
).
Définition
—
Dérivabilité en un point
Soit
f
:
I
→
E
f : I \to E
f
:
I
→
E
. On dit que
f
f
f
est
dérivable en
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
si
t
↦
f
(
t
)
−
f
(
a
)
t
−
a
t \mapsto \dfrac{f(t) - f(a)}{t - a}
t
↦
t
−
a
f
(
t
)
−
f
(
a
)
admet une limite en
a
a
a
. Dans ce cas, cette limite est notée
f
′
(
a
)
f'(a)
f
′
(
a
)
.
Proposition
—
Dérivabilité et continuité
Soit
f
:
I
→
E
f : I \to E
f
:
I
→
E
. Si
f
f
f
est dérivable en
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
, alors
f
f
f
est continue en
a
a
a
.
Démonstration bientôt disponible
Définition
—
Négligeabilité
Soient
f
f
f
une fonction à valeurs dans
E
E
E
et
g
g
g
une fonction à valeurs dans
K
\mathbb{K}
K
, toutes deux définies sur un voisinage de
a
a
a
(éventuellement non définies en
a
a
a
). On dit que
f
f
f
est
négligeable devant
g
g
g
en
a
a
a
si
lim
a
f
g
=
0
\displaystyle\lim_a \dfrac{f}{g} = 0
a
lim
g
f
=
0
. On note alors
f
=
a
o
(
g
)
f \underset{a}{=} o(g)
f
a
=
o
(
g
)
.
Proposition
—
Dérivabilité et développement limité
Une fonction
f
:
I
→
E
f : I \to E
f
:
I
→
E
est dérivable en
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
si et seulement si
f
f
f
admet un développement limité d'ordre 1 en
a
a
a
. Dans ce cas, ce développement limité est
f
(
t
)
=
t
→
a
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
t
−
a
)
+
o
(
t
−
a
)
f(t) \underset{t \to a}{=} f(a) + f'(a)(t-a) + o(t-a)
f
(
t
)
t
→
a
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
t
−
a
)
+
o
(
t
−
a
)
Démonstration bientôt disponible
Proposition
—
Dérivabilité et fonctions coordonnées
Soit
(
e
1
,
…
,
e
n
)
(e_1, \ldots, e_n)
(
e
1
,
…
,
e
n
)
une base de
E
E
E
. Alors
f
:
I
→
E
f : I \to E
f
:
I
→
E
est dérivable en
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
si et seulement si pour tout
i
∈
⟦
1
,
n
⟧
i \in \llbracket 1, n \rrbracket
i
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
f
i
=
e
i
∗
∘
f
f_i = e_i^* \circ f
f
i
=
e
i
∗
∘
f
est dérivable en
a
a
a
. Dans ce cas,
f
′
(
a
)
=
∑
i
=
1
n
f
i
′
(
a
)
e
i
f'(a) = \sum_{i=1}^n f_i'(a) e_i
f
′
(
a
)
=
i
=
1
∑
n
f
i
′
(
a
)
e
i
ou encore
∀
i
∈
⟦
1
,
n
⟧
,
(
e
i
∗
∘
f
)
′
(
a
)
=
e
i
∗
∘
f
′
(
a
)
\forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, \quad (e_i^* \circ f)'(a) = e_i^* \circ f'(a)
∀
i
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
(
e
i
∗
∘
f
)
′
(
a
)
=
e
i
∗
∘
f
′
(
a
)
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Le fait que
f
i
=
e
i
∗
∘
f
f_i = e_i^* \circ f
f
i
=
e
i
∗
∘
f
pour tout
i
∈
⟦
1
,
n
⟧
i \in \llbracket 1, n \rrbracket
i
∈
[
[
1
,
n
]
]
signifie que :
∀
t
∈
I
,
f
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
f
i
(
t
)
e
i
\forall t \in I, \quad f(t) = \sum_{i=1}^n f_i(t) e_i
∀
t
∈
I
,
f
(
t
)
=
i
=
1
∑
n
f
i
(
t
)
e
i
Définition
—
Dérivabilité à gauche, à droite
Soit
f
:
I
→
E
f : I \to E
f
:
I
→
E
.
Alors
f
f
f
est
dérivable à droite en
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
si
t
↦
f
(
t
)
−
f
(
a
)
t
−
a
t \mapsto \dfrac{f(t) - f(a)}{t - a}
t
↦
t
−
a
f
(
t
)
−
f
(
a
)
admet une limite à droite en
a
a
a
.
De même,
f
f
f
est
dérivable à gauche en
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
si
t
↦
f
(
t
)
−
f
(
a
)
t
−
a
t \mapsto \dfrac{f(t) - f(a)}{t - a}
t
↦
t
−
a
f
(
t
)
−
f
(
a
)
admet une limite à gauche en
a
a
a
.
1.2. Opérations sur les fonctions dérivables
Proposition
—
Combinaison linéaire
Soient
f
f
f
et
g
g
g
deux fonctions de
I
I
I
dans
E
E
E
dérivables en
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
(resp. sur
I
I
I
). Alors pour tout
(
λ
,
μ
)
∈
K
2
(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2
(
λ
,
μ
)
∈
K
2
,
λ
f
+
μ
g
\lambda f + \mu g
λ
f
+
μg
est dérivable en
a
a
a
(resp. sur
I
I
I
) et
(
λ
f
+
μ
g
)
′
=
λ
f
′
+
μ
g
′
(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'
(
λ
f
+
μg
)
′
=
λ
f
′
+
μ
g
′
.
Démonstration bientôt disponible
Proposition
Soient
f
:
I
→
E
f : I \to E
f
:
I
→
E
et
λ
:
I
→
K
\lambda : I \to \mathbb{K}
λ
:
I
→
K
dérivables en
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
(resp. sur
I
I
I
). Alors
λ
f
\lambda f
λ
f
est dérivable en
a
a
a
(resp. sur
I
I
I
) et
(
λ
f
)
′
=
λ
′
f
+
λ
f
′
(\lambda f)' = \lambda' f + \lambda f'
(
λ
f
)
′
=
λ
′
f
+
λ
f
′
.
Démonstration bientôt disponible
Proposition
—
Composition par une application linéaire
Soit
f
:
I
→
E
f : I \to E
f
:
I
→
E
dérivable en
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
(resp. sur
I
I
I
) et
L
∈
L
(
E
,
F
)
L \in \mathcal{L}(E, F)
L
∈
L
(
E
,
F
)
. Alors
L
∘
f
L \circ f
L
∘
f
est dérivable en
a
a
a
(resp. sur
I
I
I
). De plus,
(
L
∘
f
)
′
=
L
∘
f
′
(L \circ f)' = L \circ f'
(
L
∘
f
)
′
=
L
∘
f
′
.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
On retrouve le fait que si
(
e
1
,
…
,
e
n
)
(e_1, \ldots, e_n)
(
e
1
,
…
,
e
n
)
est une base de
E
E
E
et
f
:
I
→
E
f : I \to E
f
:
I
→
E
est dérivable alors, pour tout
i
∈
⟦
1
,
n
⟧
i \in \llbracket 1, n \rrbracket
i
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
f
i
=
e
i
∗
∘
f
f_i = e_i^* \circ f
f
i
=
e
i
∗
∘
f
est aussi dérivable et
(
e
i
∗
∘
f
)
′
=
e
i
∗
∘
f
′
(e_i^* \circ f)' = e_i^* \circ f'
(
e
i
∗
∘
f
)
′
=
e
i
∗
∘
f
′
.
Proposition
—
Dérivabilité et application bilinéaire
Soient
f
:
I
→
E
f : I \to E
f
:
I
→
E
et
g
:
I
→
F
g : I \to F
g
:
I
→
F
dérivables en
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
(resp. sur
I
I
I
). Soit
B
:
E
×
F
→
G
B : E \times F \to G
B
:
E
×
F
→
G
une application bilinéaire. Alors
B
(
f
,
g
)
B(f, g)
B
(
f
,
g
)
est dérivable en
a
a
a
(resp. sur
I
I
I
). De plus,
B
(
f
,
g
)
′
=
B
(
f
′
,
g
)
+
B
(
f
,
g
′
)
B(f, g)' = B(f', g) + B(f, g')
B
(
f
,
g
)
′
=
B
(
f
′
,
g
)
+
B
(
f
,
g
′
)
.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
E
E
E
et
F
F
F
sont deux
K
\mathbb{K}
K
-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Application
Soit
A
:
I
→
M
n
(
K
)
A : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{K})
A
:
I
→
M
n
(
K
)
une application dérivable. Montrer que si
A
(
t
)
A(t)
A
(
t
)
et
A
′
(
t
)
A'(t)
A
′
(
t
)
commutent pour tout
t
∈
I
t \in I
t
∈
I
, alors pour tout
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
,
A
n
A^n
A
n
est dérivable sur
I
I
I
et que
(
A
n
)
′
=
n
A
′
A
n
−
1
=
n
A
n
−
1
A
′
(A^n)' = nA'A^{n-1} = nA^{n-1}A'
(
A
n
)
′
=
n
A
′
A
n
−
1
=
n
A
n
−
1
A
′
.
Correction bientôt disponible
Corollaire
Soient
E
E
E
un espace euclidien,
f
:
I
→
E
f : I \to E
f
:
I
→
E
et
g
:
I
→
E
g : I \to E
g
:
I
→
E
deux fonctions dérivables en
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
(resp. sur
I
I
I
). Alors
⟨
f
,
g
⟩
\langle f, g \rangle
⟨
f
,
g
⟩
est dérivable en
a
a
a
(resp. sur
I
I
I
) et
⟨
f
,
g
⟩
′
=
⟨
f
′
,
g
⟩
+
⟨
f
,
g
′
⟩
\langle f, g \rangle' = \langle f', g \rangle + \langle f, g' \rangle
⟨
f
,
g
⟩
′
=
⟨
f
′
,
g
⟩
+
⟨
f
,
g
′
⟩
.
Démonstration bientôt disponible
Exemple
Si
E
E
E
est un espace euclidien et
f
:
I
→
E
f : I \to E
f
:
I
→
E
est une fonction dérivable sur
I
I
I
ne s'annulant pas sur
I
I
I
, alors
∥
f
∥
\|f\|
∥
f
∥
est dérivable sur
I
I
I
et
∥
f
∥
′
=
⟨
f
′
,
f
⟩
∥
f
∥
\|f\|' = \dfrac{\langle f', f \rangle}{\|f\|}
∥
f
∥
′
=
∥
f
∥
⟨
f
′
,
f
⟩
.
Proposition
—
Dérivabilité et application multilinéaire
Soient
f
1
:
I
→
E
1
,
…
,
f
p
:
I
→
E
p
f_1 : I \to E_1, \ldots, f_p : I \to E_p
f
1
:
I
→
E
1
,
…
,
f
p
:
I
→
E
p
dérivables en
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
(resp. sur
I
I
I
). Soit
M
:
∏
i
=
1
p
E
i
→
F
M : \displaystyle\prod_{i=1}^p E_i \to F
M
:
i
=
1
∏
p
E
i
→
F
une application multilinéaire. Alors
M
(
f
1
,
…
,
f
p
)
M(f_1, \ldots, f_p)
M
(
f
1
,
…
,
f
p
)
est dérivable en
a
a
a
(resp. sur
I
I
I
). De plus,
M
(
f
1
,
…
,
f
p
)
′
=
M
(
f
1
′
,
f
2
,
…
,
f
p
)
+
M
(
f
1
,
f
2
′
,
…
,
f
p
)
+
⋯
+
M
(
f
1
,
…
,
f
p
−
1
,
f
p
′
)
M(f_1, \ldots, f_p)' = M(f_1', f_2, \ldots, f_p) + M(f_1, f_2', \ldots, f_p) + \cdots + M(f_1, \ldots, f_{p-1}, f_p')
M
(
f
1
,
…
,
f
p
)
′
=
M
(
f
1
′
,
f
2
,
…
,
f
p
)
+
M
(
f
1
,
f
2
′
,
…
,
f
p
)
+
⋯
+
M
(
f
1
,
…
,
f
p
−
1
,
f
p
′
)
Démonstration bientôt disponible
Remarque
E
1
,
…
,
E
p
E_1, \ldots, E_p
E
1
,
…
,
E
p
sont des
K
\mathbb{K}
K
-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Corollaire
Soient
B
\mathcal{B}
B
une base de
E
E
E
et
f
1
,
…
,
f
p
f_1, \ldots, f_p
f
1
,
…
,
f
p
des applications de
I
I
I
dans
E
E
E
dérivables en
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
(resp. sur
I
I
I
). Alors
det
B
(
f
1
,
…
,
f
p
)
\det_{\mathcal{B}}(f_1, \ldots, f_p)
det
B
(
f
1
,
…
,
f
p
)
est dérivable en
a
a
a
(resp. sur
I
I
I
) et
det
B
(
f
1
,
…
,
f
p
)
′
=
det
B
(
f
1
′
,
f
2
,
…
,
f
p
)
+
det
B
(
f
1
,
f
2
′
,
…
,
f
p
)
+
⋯
+
det
B
(
f
1
,
…
,
f
p
−
1
,
f
p
′
)
\det_{\mathcal{B}}(f_1, \ldots, f_p)' = \det_{\mathcal{B}}(f_1', f_2, \ldots, f_p) + \det_{\mathcal{B}}(f_1, f_2', \ldots, f_p) + \cdots + \det_{\mathcal{B}}(f_1, \ldots, f_{p-1}, f_p')
B
det
(
f
1
,
…
,
f
p
)
′
=
B
det
(
f
1
′
,
f
2
,
…
,
f
p
)
+
B
det
(
f
1
,
f
2
′
,
…
,
f
p
)
+
⋯
+
B
det
(
f
1
,
…
,
f
p
−
1
,
f
p
′
)
Démonstration bientôt disponible
Proposition
—
Composition
Soient
I
I
I
et
J
J
J
deux intervalles de
R
\mathbb{R}
R
,
φ
:
I
→
J
\varphi : I \to J
φ
:
I
→
J
dérivable sur
I
I
I
et
f
:
J
→
E
f : J \to E
f
:
J
→
E
dérivable sur
J
J
J
. Alors
f
∘
φ
f \circ \varphi
f
∘
φ
est dérivable sur
I
I
I
et
(
f
∘
φ
)
′
=
φ
′
×
(
f
′
∘
φ
)
(f \circ \varphi)' = \varphi' \times (f' \circ \varphi)
(
f
∘
φ
)
′
=
φ
′
×
(
f
′
∘
φ
)
.
Démonstration bientôt disponible
1.3. Fonctions de classe
C
k
\mathcal{C}^k
C
k
Définition
—
Fonction de classe
C
k
\mathcal{C}^k
C
k
Soient
f
:
I
→
E
f : I \to E
f
:
I
→
E
et
k
∈
N
k \in \mathbb{N}
k
∈
N
. On dit que
f
f
f
est
de classe
C
k
\mathcal{C}^k
C
k
sur
I
I
I
si
f
f
f
est dérivable
k
k
k
fois sur
I
I
I
et si
f
(
k
)
f^{(k)}
f
(
k
)
est continue sur
I
I
I
. On dit que
f
f
f
est
de classe
C
∞
\mathcal{C}^\infty
C
∞
si
f
f
f
est indéfiniment dérivable sur
I
I
I
.
Remarque
On note
C
k
(
I
,
E
)
\mathcal{C}^k(I, E)
C
k
(
I
,
E
)
l'ensemble des fonctions de classe
C
k
\mathcal{C}^k
C
k
sur
I
I
I
à valeurs dans
E
E
E
.
Proposition
—
Combinaison linéaire
Soit
(
f
,
g
)
∈
C
k
(
I
,
E
)
2
(f, g) \in \mathcal{C}^k(I, E)^2
(
f
,
g
)
∈
C
k
(
I
,
E
)
2
, où
k
∈
N
∪
{
∞
}
k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}
k
∈
N
∪
{
∞
}
. Alors pour tout
(
λ
,
μ
)
∈
K
2
(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2
(
λ
,
μ
)
∈
K
2
,
λ
f
+
μ
g
∈
C
k
(
I
,
E
)
2
\lambda f + \mu g \in \mathcal{C}^k(I, E)^2
λ
f
+
μg
∈
C
k
(
I
,
E
)
2
. De plus, si
k
∈
N
k \in \mathbb{N}
k
∈
N
,
(
λ
f
+
μ
g
)
(
k
)
=
λ
f
(
k
)
+
μ
g
(
k
)
(\lambda f + \mu g)^{(k)} = \lambda f^{(k)} + \mu g^{(k)}
(
λ
f
+
μg
)
(
k
)
=
λ
f
(
k
)
+
μ
g
(
k
)
.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Ceci signifie que
C
k
(
I
,
E
)
\mathcal{C}^k(I, E)
C
k
(
I
,
E
)
est un
K
\mathbb{K}
K
-espace vectoriel et, plus précisément, un sous-espace vectoriel de
E
I
E^I
E
I
.
Proposition
—
Composition par une application linéaire
Soit
f
∈
C
k
(
I
,
E
)
f \in \mathcal{C}^k(I, E)
f
∈
C
k
(
I
,
E
)
, où
k
∈
N
∪
{
∞
}
k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}
k
∈
N
∪
{
∞
}
, et
L
∈
L
(
E
,
F
)
L \in \mathcal{L}(E, F)
L
∈
L
(
E
,
F
)
. Alors
L
∘
f
∈
C
k
(
I
,
F
)
L \circ f \in \mathcal{C}^k(I, F)
L
∘
f
∈
C
k
(
I
,
F
)
. De plus, si
k
∈
N
k \in \mathbb{N}
k
∈
N
,
(
L
∘
f
)
(
k
)
=
L
∘
f
(
k
)
(L \circ f)^{(k)} = L \circ f^{(k)}
(
L
∘
f
)
(
k
)
=
L
∘
f
(
k
)
.
Démonstration bientôt disponible
Proposition
—
Classe
C
k
\mathcal{C}^k
C
k
et application bilinéaire
Soient
f
∈
C
k
(
I
,
E
)
f \in \mathcal{C}^k(I, E)
f
∈
C
k
(
I
,
E
)
et
g
∈
C
k
(
I
,
F
)
g \in \mathcal{C}^k(I, F)
g
∈
C
k
(
I
,
F
)
. Soit
B
:
E
×
F
→
G
B : E \times F \to G
B
:
E
×
F
→
G
une application bilinéaire. Alors
B
(
f
,
g
)
∈
C
k
(
I
,
G
)
B(f, g) \in \mathcal{C}^k(I, G)
B
(
f
,
g
)
∈
C
k
(
I
,
G
)
. De plus, si
k
∈
N
k \in \mathbb{N}
k
∈
N
,
B
(
f
,
g
)
(
k
)
=
∑
j
=
0
k
(
k
j
)
B
(
f
(
j
)
,
g
(
k
−
j
)
)
B(f, g)^{(k)} = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} B(f^{(j)}, g^{(k-j)})
B
(
f
,
g
)
(
k
)
=
j
=
0
∑
k
(
j
k
)
B
(
f
(
j
)
,
g
(
k
−
j
)
)
Démonstration bientôt disponible
Proposition
—
Classe
C
k
\mathcal{C}^k
C
k
et application multilinéaire
Soient
f
1
∈
C
k
(
I
,
E
1
)
,
…
,
f
p
∈
C
k
(
I
,
E
p
)
f_1 \in \mathcal{C}^k(I, E_1), \ldots, f_p \in \mathcal{C}^k(I, E_p)
f
1
∈
C
k
(
I
,
E
1
)
,
…
,
f
p
∈
C
k
(
I
,
E
p
)
. Soit
M
:
∏
i
=
1
p
E
i
→
F
M : \displaystyle\prod_{i=1}^p E_i \to F
M
:
i
=
1
∏
p
E
i
→
F
une application multilinéaire. Alors
M
(
f
1
,
…
,
f
p
)
∈
C
k
(
I
,
F
)
M(f_1, \ldots, f_p) \in \mathcal{C}^k(I, F)
M
(
f
1
,
…
,
f
p
)
∈
C
k
(
I
,
F
)
.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
E
1
,
…
,
E
p
E_1, \ldots, E_p
E
1
,
…
,
E
p
sont des
K
\mathbb{K}
K
-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Proposition
—
Composition
Soient
I
I
I
et
J
J
J
deux intervalles de
R
\mathbb{R}
R
,
φ
∈
C
k
(
I
,
J
)
\varphi \in \mathcal{C}^k(I, J)
φ
∈
C
k
(
I
,
J
)
et
f
∈
C
k
(
J
,
E
)
f \in \mathcal{C}^k(J, E)
f
∈
C
k
(
J
,
E
)
, où
k
∈
N
∪
{
∞
}
k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}
k
∈
N
∪
{
∞
}
. Alors
f
∘
φ
∈
C
k
(
I
,
E
)
f \circ \varphi \in \mathcal{C}^k(I, E)
f
∘
φ
∈
C
k
(
I
,
E
)
.
Démonstration bientôt disponible
2
Intégration
3
Formules de Taylor
4
Suites et séries de fonctions
Cours
1
Dérivabilité
2
Intégration
3
Formules de Taylor
4
Suites et séries de fonctions
Méthodes
0
Pas encore de methodes
Exercices
