Fractions rationnelles | The Maths Tailor

Fractions rationnelles

Cours Exercices

Cours

0Introduction

1Corps des fractions rationnelles

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2Fonctions rationnelles, zéros et pôles

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3Décomposition en éléments simples

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4Calcul d'une décomposition en éléments simples

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Méthodes11p.1/2

PavlovArgument de degré pour impossibilité

Réflexe : Calculer le degré des deux membres de l'équation et chercher une contradiction.

Exemple canonique : $F^{2} = X$
- $de g (F^{2}) = 2 de g F$
- $de g (X) = 1$
- Donc $2 de g F = 1$ , impossible car $de g F \in Z$

Variante : Pour $de g F^{'} < de g F - 1$ , analyser les degrés du numérateur et dénominateur de $F^{'}$ .

TunnelÉtude des multiplicités des zéros et pôles

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PavlovDérivée logarithmique

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ClassiqueTraduire un problème en fraction rationnelle

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PavlovPassage à la limite après DES

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PavlovDérivée n-ième de

1/ (X - a)

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TunnelDécomposition en Éléments Simples dans

C (X)

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ClassiqueFormule du résidu pour pôle simple

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ClassiqueExploiter la parité ou symétrie

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ClassiqueInvariance par rotation (racines de l'unité)

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1 / 2

Exercices

Non-existence de F avec F^{2} = X

Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle

F

telle que

F^{2} = X

.

Indication

Degré de F^{'} et degré de F

Soit

F \in K (X)

. Montrer que

de g F^{'} < de g F - 1 ⟹ de g F = 0

.

Indication

de g F^{'} < de g F - 1 ⟹ de g F = 0

Montrer qu'il n'existe pas de

F \in C (X)

telle que

F^{'} = \frac{1}{X}

.

Indication

DES de 1/ X (X + 1) et téléscopage

Soit la fraction

F = \frac{1}{X ( X + 1 )}

.

Réaliser la décomposition en éléments simples de $F$ .
En déduire une simplification pour $n \geq 1$ de $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 1 )}$ .
Procéder de même pour calculer $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )}$ .

Indication