Fractions rationnelles | The Maths Tailor

Fractions rationnelles

Cours Exercices

Cours— 5 sections

0Introduction

0. Introduction

0.1. Convention

Remarque

Dans tout ce chapitre,

\mathbb{K}

désigne les corps

\mathbb{R}

ou

\mathbb{C}

.

1Corps des fractions rationnelles

2Fonctions rationnelles, zéros et pôles

3Décomposition en éléments simples

4Calcul d'une décomposition en éléments simples

Cours

0Introduction

1Corps des fractions rationnelles

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2Fonctions rationnelles, zéros et pôles

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3Décomposition en éléments simples

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4Calcul d'une décomposition en éléments simples

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Méthodes11

PavlovArgument de degré pour impossibilité

Réflexe : Calculer le degré des deux membres de l'équation et chercher une contradiction.

Exemple canonique :

F^2 = X

-

\deg(F^2) = 2\deg F

-

\deg(X) = 1

- Donc

2\deg F = 1

, impossible car

\deg F \in \mathbb{Z}

Variante : Pour

\deg F' < \deg F - 1

, analyser les degrés du numérateur et dénominateur de

F'

.

TunnelÉtude des multiplicités des zéros et pôles

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PavlovDérivée logarithmique

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ClassiqueTraduire un problème en fraction rationnelle

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PavlovPassage à la limite après DES

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PavlovDérivée n-ième de

1/(X-a)

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TunnelDécomposition en Éléments Simples dans

\mathbb{C}(X)

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ClassiqueFormule du résidu pour pôle simple

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ClassiqueExploiter la parité ou symétrie

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ClassiqueInvariance par rotation (racines de l'unité)

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ClassiqueDéterminer un polynôme par évaluation aux

n

racines

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Exercices

1

F

Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle

F

telle que

F^2 = X

.

Indication

Appliquer la Argument de degré pour impossibilité : si

F^2 = X

alors

2\deg F = \deg X = 1

, or

\deg F \in \mathbb{Z}

donc

2\deg F

ne peut pas valoir

1

: contradiction.

2

F'

Soit

F \in \mathbb{K}(X)

. Montrer que

\deg F' < \deg F - 1 \implies \deg F = 0

.

Indication

Appliquer la Argument de degré pour impossibilité par l'absurde : si

\deg F > 0

, calculer

\deg F'

et montrer qu'il ne peut satisfaire

\deg F' < \deg F - 1

que si

\deg A = \deg B

, ce qui donne

\deg F = 0

.

3

1/X

Montrer qu'il n'existe pas de

F \in \mathbb{C}(X)

telle que

F' = \dfrac{1}{X}

.

Indication

Utiliser la Étude des multiplicités des zéros et pôles par l'absurde : si

F' = 1/X

, alors

0

est pole simple de

F'

; mais la Étude des multiplicités des zéros et pôles implique que

0

est pole d'ordre

\alpha + 1 \geq 2

de

F'

si

0

est pole d'ordre

\alpha \geq 1

de

F

: contradiction.

4

1/X(X+1)

Soit la fraction

F = \dfrac{1}{X(X + 1)}

.

Réaliser la décomposition en éléments simples de $F$ .
En déduire une simplification pour $n \geq 1$ de $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$ .
Procéder de même pour calculer $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$ .

Indication

Appliquer la Décomposition en Éléments Simples dans

\mathbb{C}(X)

pour la DES de

F

, puis utiliser le telescopage (Passage à la limite après DES : evaluation et passage a la limite) pour calculer la somme.