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Fractions rationnelles | The Maths Tailor
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Fractions rationnelles
Fractions rationnelles
Cours complet →
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Cours
— 5 sections
0
Introduction
0. Introduction
0.1. Convention
Remarque
Dans tout ce chapitre,
K
\mathbb{K}
K
désigne les corps
R
\mathbb{R}
R
ou
C
\mathbb{C}
C
.
1
Corps des fractions rationnelles
2
Fonctions rationnelles, zéros et pôles
3
Décomposition en éléments simples
4
Calcul d'une décomposition en éléments simples
Réflexe
Argument de degré pour impossibilité
Réflexe :
Calculer le degré des deux membres de l'équation et chercher une contradiction.
Exemple canonique :
F
2
=
X
F^2 = X
F
2
=
X
-
deg
(
F
2
)
=
2
deg
F
\deg(F^2) = 2\deg F
de
g
(
F
2
)
=
2
de
g
F
-
deg
(
X
)
=
1
\deg(X) = 1
de
g
(
X
)
=
1
- Donc
2
deg
F
=
1
2\deg F = 1
2
de
g
F
=
1
, impossible car
deg
F
∈
Z
\deg F \in \mathbb{Z}
de
g
F
∈
Z
Variante :
Pour
deg
F
′
<
deg
F
−
1
\deg F' < \deg F - 1
de
g
F
′
<
de
g
F
−
1
, analyser les degrés du numérateur et dénominateur de
F
′
F'
F
′
.
Réflexe
Dérivée logarithmique
Réflexe
Passage à la limite après DES
Réflexe
Dérivée n-ième de $1/(X-a)$
Tunnel
Décomposition en Éléments Simples dans $\\mathbb{C}(X)$
Tunnel
Étude des multiplicités des zéros et pôles
MC
Formule du résidu pour pôle simple
MC
Exploiter la parité ou symétrie
MC
Invariance par rotation (racines de l'unité)
MC
Déterminer un polynôme par évaluation aux $n$ racines
← Prec.
1 / 2
Suiv. →
Exercices lies
— 22
1
Exercice 1
Soit
F
∈
K
(
X
)
F \in \mathbb{K}(X)
F
∈
K
(
X
)
de représentant irréductible
P
/
Q
P/Q
P
/
Q
. Montrer que
F
F
F
est paire si, et seulement si, les polynômes
P
P
P
et
Q
Q
Q
sont tous deux pairs.
2
Exercice 2
Soient
n
∈
N
∗
n \in \mathbb{N}^*
n
∈
N
∗
et
ω
=
e
2
i
π
/
n
\omega = e^{2i\pi/n}
ω
=
e
2
iπ
/
n
.
3
Exercice 3
Soit
λ
1
,
…
,
λ
n
\lambda_1, \ldots, \lambda_n
λ
1
,
…
,
λ
n
des complexes deux à deux distincts et
P
=
(
X
−
λ
1
)
⋯
(
X
−
λ
n
)
P = (X - \lambda_1) \cdots (X - \lambda_n)
P
=
(
X
−
λ
1
)
⋯
(
X
−
λ
n
)
. Exprimer en fonction de
P
P
P
et de ses dérivées les fractions
F
=
∑
k
=
1
n
1
X
−
λ
k
,
G
=
∑
k
=
1
n
1
(
X
−
λ
k
)
2
et
H
=
∑
1
≤
k
,
ℓ
≤
n
k
≠
ℓ
1
(
X
−
λ
k
)
(
X
−
λ
ℓ
)
.
F = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{X - \lambda_k}, \quad G = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(X - \lambda_k)^2} \quad \text{et} \quad H = \sum_{\substack{1 \leq k, \ell \leq n \\ k \neq \ell}} \dfrac{1}{(X - \lambda_k)(X - \lambda_\ell)}.
F
=
k
=
1
∑
n
X
−
λ
k
1
,
G
=
k
=
1
∑
n
(
X
−
λ
k
)
2
1
et
H
=
1
≤
k
,
ℓ
≤
n
k
=
ℓ
∑
(
X
−
λ
k
)
(
X
−
λ
ℓ
)
1
.
4
Exercice 4
Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle
F
F
F
telle que
F
2
=
X
F^2 = X
F
2
=
X
.
5
Exercice 5
Soit
F
∈
K
(
X
)
F \in \mathbb{K}(X)
F
∈
K
(
X
)
. Montrer que
deg
F
′
<
deg
F
−
1
⟹
deg
F
=
0
\deg F' < \deg F - 1 \implies \deg F = 0
de
g
F
′
<
de
g
F
−
1
⟹
de
g
F
=
0
.
6
Exercice 6
Soient
p
p
p
et
q
q
q
deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Déterminer les racines et les pôles de
F
=
X
p
−
1
X
q
−
1
F = \dfrac{X^p - 1}{X^q - 1}
F
=
X
q
−
1
X
p
−
1
en précisant les multiplicités respectives.
7
Exercice 7
Soit
F
∈
K
(
X
)
F \in \mathbb{K}(X)
F
∈
K
(
X
)
.
8
Exercice 8
Montrer qu'il n'existe pas de
F
∈
C
(
X
)
F \in \mathbb{C}(X)
F
∈
C
(
X
)
telle que
F
′
=
1
X
F' = \dfrac{1}{X}
F
′
=
X
1
.
9
Exercice 9
Effectuer la décomposition en éléments simples dans
C
(
X
)
\mathbb{C}(X)
C
(
X
)
des fractions rationnelles suivantes :
10
Exercice 10
Soit la fraction
F
=
1
X
(
X
+
1
)
F = \dfrac{1}{X(X + 1)}
F
=
X
(
X
+
1
)
1
.
11
Exercice 11
Exprimer la dérivée d'ordre
n
n
n
de
1
X
(
X
2
+
1
)
\dfrac{1}{X(X^2 + 1)}
X
(
X
2
+
1
)
1
.
12
Exercice 12
Soit
F
=
1
X
2
+
1
∈
C
(
X
)
F = \dfrac{1}{X^2 + 1} \in \mathbb{C}(X)
F
=
X
2
+
1
1
∈
C
(
X
)
.
13
Exercice 13
Soit
F
=
1
(
X
−
1
)
3
(
X
+
1
)
3
F = \dfrac{1}{(X - 1)^3(X + 1)^3}
F
=
(
X
−
1
)
3
(
X
+
1
)
3
1
.
14
Exercice 14
On pose
ω
k
=
e
2
i
k
π
/
n
\omega_k = e^{2ik\pi/n}
ω
k
=
e
2
ikπ
/
n
avec
k
∈
{
0
,
…
,
n
−
1
}
k \in \{0, \ldots, n - 1\}
k
∈
{
0
,
…
,
n
−
1
}
et
n
≥
2
n \geq 2
n
≥
2
. Réduire au même dénominateur
F
=
∑
k
=
0
n
−
1
1
X
−
ω
k
F = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{X - \omega_k}
F
=
∑
k
=
0
n
−
1
X
−
ω
k
1
.
15
Exercice 15
Soient
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
tel que
n
≥
2
n \geq 2
n
≥
2
et
p
∈
{
0
,
1
,
…
,
n
−
1
}
p \in \{0, 1, \ldots, n - 1\}
p
∈
{
0
,
1
,
…
,
n
−
1
}
. On pose
ω
k
=
exp
(
2
i
k
π
n
)
\omega_k = \exp\left(\dfrac{2ik\pi}{n}\right)
ω
k
=
exp
(
n
2
ikπ
)
. Mettre sous forme irréductible la fraction
∑
k
=
0
n
−
1
ω
k
p
X
−
ω
k
\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{\omega_k^p}{X - \omega_k}
∑
k
=
0
n
−
1
X
−
ω
k
ω
k
p
.
16
Exercice 16
Soient
n
∈
N
∗
n \in \mathbb{N}^*
n
∈
N
∗
et
z
1
,
z
2
,
…
,
z
n
∈
C
z_1, z_2, \ldots, z_n \in \mathbb{C}
z
1
,
z
2
,
…
,
z
n
∈
C
deux à deux distincts. On pose
Q
=
∏
k
=
1
n
(
X
−
z
k
)
Q = \prod_{k=1}^{n} (X - z_k)
Q
=
∏
k
=
1
n
(
X
−
z
k
)
.
17
Exercice 17
Soit
P
∈
C
[
X
]
P \in \mathbb{C}[X]
P
∈
C
[
X
]
un polynôme scindé à racines simples
x
1
,
…
,
x
n
x_1, \ldots, x_n
x
1
,
…
,
x
n
.
19
Exercice 19
Soit
P
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n
P
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
un polynôme réel dont toutes les racines sont réelles.
20
Exercice 20
Soit
P
P
P
un polynôme de degré
n
n
n
vérifiant
∫
0
1
x
k
P
(
x
)
d
x
=
0
\int_0^1 x^k P(x) \, dx = 0
∫
0
1
x
k
P
(
x
)
d
x
=
0
pour tout
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
k \in \{1, \ldots, n\}
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
. Montrer
∫
0
1
∣
P
(
x
)
∣
2
d
x
=
(
n
+
1
)
2
(
∫
0
1
P
(
x
)
d
x
)
2
.
\int_0^1 |P(x)|^2 \, dx = (n + 1)^2 \left(\int_0^1 P(x) \, dx\right)^2.
∫
0
1
∣
P
(
x
)
∣
2
d
x
=
(
n
+
1
)
2
(
∫
0
1
P
(
x
)
d
x
)
2
.
21
Exercice 21
Soit $P \in \mathbb{R}_n[X]$ scindé à racines simples $(x_1, \ldots, x_n)$. Montrer $$\sum_{k=1}^{n} \dfrac{P''(x_k)}{P'(x_k)} = 0.$$
22
Exercice 22
Soit $p$ et $n$ deux entiers avec $0 \leq p < n$. Former la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{C}[X]$ de $\frac{X^p}{X^n - 1}$.
23
Exercice 23
Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$ la fraction rationnelle $$\dfrac{X^{n-1}}{X^n - 1}.$$
Cours
0
Introduction
1
Corps des fractions rationnelles
2
Fonctions rationnelles, zéros et pôles
3
Décomposition en éléments simples
4
Calcul d'une décomposition en éléments simples
Méthodes
11
p.1/2
Réflexe
Argument de degré pour impossibilité
Réflexe :
Calculer le degré des deux membres de l'équation et chercher une contradiction.
Exemple canonique :
F
2
=
X
F^2 = X
F
2
=
X
-
deg
(
F
2
)
=
2
deg
F
\deg(F^2) = 2\deg F
de
g
(
F
2
)
=
2
de
g
F
-
deg
(
X
)
=
1
\deg(X) = 1
de
g
(
X
)
=
1
- Donc
2
deg
F
=
1
2\deg F = 1
2
de
g
F
=
1
, impossible car
deg
F
∈
Z
\deg F \in \mathbb{Z}
de
g
F
∈
Z
Variante :
Pour
deg
F
′
<
deg
F
−
1
\deg F' < \deg F - 1
de
g
F
′
<
de
g
F
−
1
, analyser les degrés du numérateur et dénominateur de
F
′
F'
F
′
.
Réflexe
Dérivée logarithmique
Méthode complète avec le plan Élève
Voir les offres
Réflexe
Passage à la limite après DES
Méthode complète avec le plan Élève
Voir les offres
Réflexe
Dérivée n-ième de $1/(X-a)$
Méthode complète avec le plan Élève
Voir les offres
Tunnel
Décomposition en Éléments Simples dans $\\mathbb{C}(X)$
Méthode complète avec le plan Élève
Voir les offres
Tunnel
Étude des multiplicités des zéros et pôles
Méthode complète avec le plan Élève
Voir les offres
MC
Formule du résidu pour pôle simple
Méthode complète avec le plan Élève
Voir les offres
MC
Exploiter la parité ou symétrie
Méthode complète avec le plan Élève
Voir les offres
MC
Invariance par rotation (racines de l'unité)
Méthode complète avec le plan Élève
Voir les offres
MC
Déterminer un polynôme par évaluation aux $n$ racines
Méthode complète avec le plan Élève
Voir les offres
← Prec.
1 / 2
Suiv. →
Exercices
1
Exercice 1
2
Exercice 2
3
Exercice 3
4
Exercice 4
5
Exercice 5
6
Exercice 6
7
Exercice 7
8
Exercice 8
9
Exercice 9
10
Exercice 10
11
Exercice 11
12
Exercice 12
13
Exercice 13
14
Exercice 14
15
Exercice 15
16
Exercice 16
17
Exercice 17
19
Exercice 19
20
Exercice 20
21
Exercice 21
22
Exercice 22
23
Exercice 23
