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Généralités sur les suites | The Maths Tailor

Généralités sur les suites

Cours Exercices

Cours

1Définition et représentation graphique

2Sens de variation d'une suite numérique

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3Notion de limite d'une suite

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Méthodes12p.1/2

PavlovInterpréter une suite modélisant une situation concrète

Objectif : Donner du sens, dans le contexte d'un problème concret, au premier terme, au sens de variation et à la limite éventuelle d'une suite qui modélise une grandeur (population, capital, quantité...).

Méthode

1. Le rang $n$ correspond en général à une durée (année, mois, étape...) écoulée depuis un instant initial ; $u_{0}$ est la valeur initiale de la grandeur étudiée.

2. Le sens de variation de la suite traduit l'évolution de la grandeur : elle augmente si la suite est croissante, elle diminue si elle est décroissante.

3. Une limite finie $ℓ$ traduit une stabilisation de la grandeur autour de la valeur $ℓ$ à long terme ; une limite infinie traduit une évolution sans fin.

Exemple

Un capital de 5000 euros est placé à intérêts composés de 2 % par an. Le capital au bout de $n$ années est modélisé par une suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 5000$ et $u_{n + 1} = 1, 02 u_{n}$ .

- $u_{0} = 5000$ : c'est le capital initial, placé à l'année 0.

- La suite est croissante, car chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $1, 02 > 1$ : le capital augmente chaque année.

- Les termes de la suite semblent devenir de plus en plus grands sans se stabiliser : on conjecture $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ , ce qui signifie, dans ce contexte, que le capital croît indéfiniment, à taux constant et sans retrait.

TunnelCalculer les termes d'une suite définie par une expression explicite

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ClassiquePasser d'une écriture par récurrence à une expression explicite, et réciproquement

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TunnelCalculer les termes d'une suite définie par récurrence

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TunnelCalculer un terme éloigné d'une suite définie par récurrence à l'aide d'un algorithme

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ClassiqueReprésenter graphiquement une suite définie par récurrence à l'aide de la courbe et de la droite d'équation y = x

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TunnelReprésenter graphiquement une suite définie par une expression explicite

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ClassiqueÉtudier le sens de variation d'une suite à l'aide de la différence entre deux termes consécutifs

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ClassiqueÉtudier le sens de variation d'une suite strictement positive à l'aide du quotient de deux termes consécutifs

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ClassiqueÉtudier le sens de variation d'une suite à l'aide de la fonction associée

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Exercices

Lire les valeurs d'une suite dans un tableau (fréquentation d'une exposition)

Un musée relève chaque semaine le nombre de visiteurs venus voir une exposition temporaire. On note

u_{n}

le nombre de visiteurs reçus lors de la semaine

n

(la semaine

0

correspondant à la semaine d'ouverture). Voici les valeurs relevées :

n u_{n} 0240131022953350441053806425

1. Donner la valeur de

u_{4}

. Que représente ce nombre concrètement ?
2. Lors de quelle semaine le musée a-t-il reçu exactement

295

visiteurs ?
3. Calculer la différence

u_{6} - u_{0}

et interpréter le résultat dans le contexte de l'exposition.

Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction associée (temps d'attente à un guichet)

Dans une administration, on estime que le temps d'attente moyen à un guichet, en minutes, dépend du nombre de guichets supplémentaires ouverts. On modélise ce temps d'attente par la suite

(u_{n})

définie pour tout entier

n \geq 0

par

u_{n} = f (n)

, où

f

est la fonction définie sur

[0; + \infty [

par :

f (x) = \frac{20}{x + 2}

et

n

désigne le nombre de guichets supplémentaires ouverts par rapport à la situation initiale.

1. Rappeler le sens de variation de la fonction inverse sur

] 0; + \infty [

.
2. En déduire le sens de variation de

f

sur

[0; + \infty [

.
3. En déduire le sens de variation de la suite

(u_{n})

, puis interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.

Conjecturer le comportement d'une suite à partir d'un tableau de valeurs (population de renards)

On étudie l'évolution d'une population de renards dans une réserve naturelle, modélisée par la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 5

et, pour tout entier

n \geq 0

,

u_{n + 1} = 0, 6 u_{n} + 8

.

Un tableur a permis de calculer les valeurs suivantes, arrondies au millième :

n u_{n} 05111 2 14, 6 3 16, 76 4 18, 056 5 18, 834 6 19, 300 7 19, 580

1. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite

(u_{n})

à partir de ce tableau ?
2. Que peut-on conjecturer sur son comportement lorsque

n

devient grand ? Vers quelle valeur les termes semblent-ils se rapprocher ?
3. Cette conjecture est-elle, à ce stade, démontrée ? Justifier brièvement.

Étudier variation et conjecture de stabilisation (filtration d'un aquarium)

Un aquarium contient initialement une quantité de polluants dissous évaluée à

40

unités. Chaque jour, un filtre élimine

25 %

des polluants présents, mais un appareil de chauffage rejette, chaque jour également, une quantité fixe de

3

unités de polluants. On note

u_{n}

la quantité de polluants, en unités, présente dans l'aquarium au bout de

n

jours, avec

u_{0} = 40

.

1. Justifier que, pour tout entier

n \geq 0

,

u_{n + 1} = 0, 75 u_{n} + 3

.
2. Calculer

u_{1}

,

u_{2}

et

u_{3}

(arrondir au centième).
3. Calculer

u_{n + 1} - u_{n}

en fonction de

u_{n}

, et montrer que la suite est décroissante tant que

u_{n} > 12

.
4. Sachant que

u_{0} > 12

, et en observant que les termes calculés restent supérieurs à cette valeur, conjecturer le comportement de la suite

(u_{n})

lorsque

n

devient grand.

Problème ouvert de modélisation : réserve d'eau d'un forage agricole

Un agriculteur dispose d'un forage alimentant une réserve d'eau souterraine utilisée pour l'irrigation automatique de ses cultures. Le forage contient initialement

50000

litres. Chaque jour, l'irrigation prélève

3000

litres pour l'arrosage. Par ailleurs, la nappe phréatique réalimente naturellement le forage d'un volume égal à

4 %

de la réserve présente avant le prélèvement du jour. Un seuil de sécurité fixé à

15000

litres impose la mise au repos du forage dès que la réserve passe sous cette valeur, afin de permettre à la nappe de se régénérer.

Modéliser cette situation par une suite adaptée, puis déterminer, en argumentant votre démarche, au bout de combien de jours d'irrigation le forage devra être mis au repos pour la première fois. Vous préciserez notamment comment évolue la réserve d'eau au fil des jours, et vous pourrez vous appuyer sur un calcul itératif ou un algorithme pour trouver la réponse.

Calculer des termes de suite à l'aide d'un algorithme (taux de chlore d'une piscine)

On considère la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 5

et, pour tout entier

n \geq 0

,

u_{n + 1} = 0, 85 u_{n} + 2

, où

u_{n}

modélise le taux de chlore, en mg/L, mesuré dans une piscine au bout de

n

jours : chaque jour, le chlore se dégrade naturellement et il n'en reste que

85 %

, avant qu'une pastille n'en rajoute

2

mg/L.

Pour calculer certains termes de cette suite, on utilise l'algorithme suivant :

u

\leftarrow

5
Pour i allant de 0 à 3 :
u

\leftarrow

0.85 * u + 2
Afficher u

1. Calculer à la main

u_{1}

,

u_{2}

,

u_{3}

et

u_{4}

(arrondir au centième).
2. Combien de fois l'instruction contenue dans la boucle est-elle exécutée ? À quel terme de la suite correspond la valeur de u affichée après l'exécution complète du programme ?
3. En déduire la valeur de u à la fin de l'exécution du programme.