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Géométrie dans l'espace | The Maths Tailor
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Géométrie dans l'espace
Géométrie dans l'espace
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Cours
— 3 sections
1
Repérage
1. Repérage
1.1. Vecteurs coplanaires
Définition
—
Vecteurs coplanaires
Trois vecteurs de l'espace sont
coplanaires
s'ils possèdent des représentants appartenant à un même plan.
1.2. Repère de l'espace
Définition
—
Repère de l'espace
Soit
i
⃗
\vec{i}
i
,
j
⃗
\vec{j}
j
et
k
⃗
\vec{k}
k
trois vecteurs non coplanaires de l'espace.
O
O
O
est un point de l'espace. On appelle
repère de l'espace
le quadruplet
(
O
;
i
⃗
,
j
⃗
,
k
⃗
)
(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})
(
O
;
i
,
j
,
k
)
.
Remarque
—
Coordonnées dans un repère
O
O
O
est appelé l'origine du repère.
La décomposition
O
M
→
=
x
i
⃗
+
y
j
⃗
+
z
k
⃗
\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}
OM
=
x
i
+
y
j
+
z
k
donne les coordonnées
(
x
,
y
,
z
)
(x, y, z)
(
x
,
y
,
z
)
du point
M
M
M
.
Exemple
—
Coordonnées dans un cube
A
B
C
D
E
F
G
H
ABCDEFGH
A
BC
D
EFG
H
est un cube. On considère le repère
(
B
;
B
A
→
,
B
C
→
,
B
F
→
)
(B ; \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BF})
(
B
;
B
A
,
BC
,
BF
)
.
On a alors :
A
(
1
,
0
,
0
)
A(1, 0, 0)
A
(
1
,
0
,
0
)
,
B
(
0
,
0
,
0
)
B(0, 0, 0)
B
(
0
,
0
,
0
)
,
C
(
0
,
1
,
0
)
C(0, 1, 0)
C
(
0
,
1
,
0
)
,
F
(
0
,
0
,
1
)
F(0, 0, 1)
F
(
0
,
0
,
1
)
,
G
(
0
,
1
,
1
)
G(0, 1, 1)
G
(
0
,
1
,
1
)
.
1.3. Distance entre deux points
Théorème
—
Formule de la distance
Soit
A
(
x
A
;
y
A
;
z
A
)
A(x_A ; y_A ; z_A)
A
(
x
A
;
y
A
;
z
A
)
et
B
(
x
B
;
y
B
;
z
B
)
B(x_B ; y_B ; z_B)
B
(
x
B
;
y
B
;
z
B
)
deux points de l'espace.
On a :
A
B
=
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
+
(
z
B
−
z
A
)
2
\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}}
A
B
=
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
+
(
z
B
−
z
A
)
2
Démonstration bientôt disponible
Exemple
—
Calcul de distance
On reprend l'exemple précédent. Ainsi, par exemple :
A
G
=
(
0
−
1
)
2
+
(
1
−
0
)
2
+
(
1
−
0
)
2
=
(
−
1
)
2
+
1
2
+
1
2
=
3
\begin{align*} AG &= \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} \\ &= \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} \\ &= \sqrt{3} \end{align*}
A
G
=
(
0
−
1
)
2
+
(
1
−
0
)
2
+
(
1
−
0
)
2
=
(
−
1
)
2
+
1
2
+
1
2
=
3
2
Perspective cavalière
3
Sections de solides par un plan
Cours
1
Repérage
2
Perspective cavalière
3
Sections de solides par un plan
Méthodes
0
Pas encore de methodes
Exercices
