On pose, pour tout n∈N, fn:R→R, x↦n!xne−x (avec la convention 00=1) et un=∫01fn(x)dx.
Soit n∈N∗. Exprimer fn′ en fonction de fn et de fn−1.
Soit n∈N∗. Calculer ∫01fn′(x)dx.
Calculer u0.
Montrer que, pour tout n∈N∗, un=un−1−en!1.
Montrer que la suite (un)n∈N est decroissante.
Montrer que, pour tout n∈N, un≥0.
En deduire que la suite (un)n∈N converge.
Montrer que, pour tout n∈N, un≤n!1.
En deduire la limite de la suite (un)n∈N.
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