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Les suites | The Maths Tailor

Les suites

Cours Exercices

Cours

1Définition et représentation graphique

2Sens de variation d'une suite

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3Suites arithmétiques

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4Suites géométriques

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Méthodes12p.1/2

PavlovCalculer les termes d'une suite définie en fonction de n

Objectif : Calculer les premiers termes d'une suite $(u_{n})$ lorsque $u_{n}$ est donné par une expression explicite en fonction de $n$ .

Méthode

Pour calculer $u_{p}$ (le terme de rang $p$ ), on remplace $n$ par $p$ dans l'expression de $u_{n}$ , puis on effectue le calcul.

*Exemple :* Soit $(u_{n})$ définie pour tout entier $n$ par $u_{n} = 3 n^{2} - 1$ . Calculer les quatre premiers termes.

On remplace $n$ successivement par $0$ , $1$ , $2$ , $3$ :

$u_{0} = 3 \times 0^{2} - 1 = - 1$ $u_{1} = 3 \times 1^{2} - 1 = 2$ $u_{2} = 3 \times 2^{2} - 1 = 11$ $u_{3} = 3 \times 3^{2} - 1 = 26$

Point de vigilance : le rang $n$ est un entier naturel ; certaines suites démarrent au rang $1$ (ou à un autre rang) plutôt qu'au rang $0$ , il faut alors adapter le premier terme calculé.

PavlovCalculer les termes d'une suite définie par récurrence

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TunnelÉtudier le sens de variation d'une suite

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ClassiqueReconnaître qu'une suite est arithmétique

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TunnelDéterminer l'expression explicite d'une suite arithmétique

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TunnelDéterminer la raison d'une suite arithmétique ou géométrique à partir de deux termes

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ClassiqueDéterminer le sens de variation d'une suite arithmétique

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TunnelModéliser une situation par une suite arithmétique ou géométrique

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ClassiqueReconnaître qu'une suite est géométrique

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TunnelDéterminer l'expression explicite d'une suite géométrique

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Exercices

Compléter un tableau de valeurs puis représenter graphiquement une suite arithmétique

On considère la suite

(u_{n})

définie pour tout entier

n \geq 0

par

u_{n} = 2 n + 5

.

1. Compléter le tableau de valeurs suivant :

n u_{n} 0 \dots 1 \dots 2 \dots 3 \dots 4 \dots 5 \dots

2. On place, dans un repère, les points de coordonnées

(n; u_{n})

pour les valeurs du tableau. Que peut-on observer sur ces points ? Justifier à l'aide de la nature de la suite.

Trier cinq suites présentées sous des formes variées

Pour chacune des cinq suites suivantes, déterminer si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre, en justifiant à chaque fois par un calcul.

a)

(p_{n})

définie par

p_{0} = 6

et

p_{n + 1} = p_{n} - 2, 5

pour tout

n \geq 0

.

b)

(u_{n})

définie pour tout

n \geq 0

par

u_{n} = 7 \times 1, 2^{n}

.

c)

(c_{n})

donnée par le tableau de valeurs :

n c_{n} 0317213321

d)

(d_{n})

telle que chaque terme s'obtient en ajoutant

3 %

du terme précédent à lui-même, avec

d_{0} = 40

.

e)

(t_{n})

définie pour tout

n \geq 0

par

t_{n} = 2^{n} + 3

.

Identifier raison et sens de variation d'une suite arithmétique écrite sous forme non standard (carburant d'un avion)

La quantité de carburant restant dans le réservoir d'un avion, en litres, est modélisée par

u_{n} = 8000 - 150 n

, où

n

est le nombre de tranches de dix minutes écoulées depuis le décollage.

1. Vérifier que

(u_{n})

est arithmétique en calculant

u_{n + 1} - u_{n}

, et donner sa raison

r

(attention à l'écriture non standard de

u_{n}

).
2. En déduire le sens de variation de la suite.
3. Calculer

u_{0}

,

u_{1}

,

u_{2}

,

u_{3}

et

u_{4}

.

Reconnaître qu'une suite n'est ni arithmétique ni géométrique (jetons d'un jeu de société)

Dans un jeu de société, le nombre de jetons distribués au tour

n

est donné par

u_{n} = n^{2} + 3

, pour tout entier naturel

n

.

1. Calculer

u_{0}

,

u_{1}

,

u_{2}

et

u_{3}

.
2. Calculer les différences

u_{1} - u_{0}

,

u_{2} - u_{1}

et

u_{3} - u_{2}

. La suite peut-elle être arithmétique ?
3. Calculer les quotients

\frac{u _{1}}{u _{0}}

,

\frac{u _{2}}{u _{1}}

et

\frac{u _{3}}{u _{2}}

. La suite peut-elle être géométrique ?
4. Conclure.

Réfuter une conjecture fausse sur les suites décroissantes et positives

Un élève affirme : « Toute suite strictement décroissante et à termes strictement positifs est forcément géométrique, de raison

q

strictement comprise entre

0

et

1

. »

Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier la réponse à l'aide d'un contre-exemple chiffré précis.

Associer trois nuages de points à leur type de suite

On a représenté les premiers termes de trois suites

(a_{n})

,

(b_{n})

et

(c_{n})

par des points de coordonnées

(n; a_{n})

,

(n; b_{n})

et

(n; c_{n})

:

Suite

(a_{n})

:

A_{0} (0; 2)

,

A_{1} (1; 5)

,

A_{2} (2; 8)

,

A_{3} (3; 11)

, ces quatre points sont alignés.

Suite

(b_{n})

:

B_{0} (0; 1)

,

B_{1} (1; 2)

,

B_{2} (2; 4)

,

B_{3} (3; 8)

, ces points dessinent une courbe qui monte de plus en plus vite.

Suite

(c_{n})

:

C_{0} (0; 16)

,

C_{1} (1; 8)

,

C_{2} (2; 4)

,

C_{3} (3; 2)

, ces points dessinent une courbe qui descend en s'aplatissant.

Associer, en justifiant, chacune des trois suites à l'un des types suivants : arithmétique croissante, géométrique croissante, géométrique décroissante.