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Polynômes | The Maths Tailor

Polynômes

Cours

0Introduction

1Polynômes à une indéterminée à coefficients dans

K

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2Division euclidienne

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4Factorisation

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5Compléments

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Méthodes34p.1/4

PavlovRaisonnement par le degré

Comparer les degrés des deux membres pour obtenir une équation sur $de g P$ .

Si $P$ non constant, cette équation contraint fortement $de g P$ (souvent une seule valeur possible).

Puis chercher par coefficients indéterminés dans l'espace de dimension finie correspondant.

PavlovChangement de variable dans les équations polynomiales

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TunnelRecherche et utilisation de racines évidentes

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PavlovForme canonique d'un polynôme du second degré

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ClassiqueRacines multiples ↔ racines communes avec la dérivée

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ClassiqueIntroduire

f (x) = P (x) e^{α x}

pour étudier

P^{'} + α P

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Classique

(X - a_{1}) ... (X - a_{k}) ∣ P - c

quand

P (a_{i}) = c

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ClassiqueMultiplicité

\geq k

ssi annulation des

k - 1

premières dérivées

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ClassiqueÉquations fonctionnelles

P (X^{2}) = P (X) Q (X)

→ racines de module 1

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ClassiqueFormule de Leibniz pour les dérivées de produits

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Exercices

Équations dans K [X] (I)

Résoudre les équations suivantes :

$Q^{2} = X P^{2}$ d'inconnues $P, Q \in K [X]$
$P \circ P = P$ d'inconnue $P \in K [X]$ .

Indication

Polynômes P (X^{2}) = (X^{2} + 1) P (X)

Trouver les

P \in R [X]

tels que

P (X^{2}) = (X^{2} + 1) P (X)

Indication

Équations dans K [X] (II)

Résoudre les équations suivantes :

$P^{'2} = 4 P$ d'inconnue $P \in K [X]$
$(X^{2} + 1) P^{''} - 6 P = 0$ d'inconnue $P \in K [X]$ .

Indication