Probabilités conditionnelles et indépendance

Un opérateur téléphonique propose trois forfaits : Éco, souscrit par 50 % de la clientèle, Confort, souscrit par 30 % de la clientèle, et Premium, souscrit par les 20 % restants. Chaque client peut en plus souscrire une option « assurance casse » (évènement $S$). Le taux de souscription à cette option est de 10 % chez les clients Éco et de 40 % chez les clients Premium. On sait par ailleurs que la probabilité qu'un client choisi au hasard soit à la fois abonné au forfait Confort et ait souscrit l'assurance vaut $0,075$.

1) Calculer le taux de souscription à l'assurance casse chez les clients du forfait Confort.
2) Calculer la probabilité qu'un client choisi au hasard ait souscrit l'assurance casse.
3) Un client a souscrit l'assurance casse. Calculer, pour chacun des trois forfaits, la probabilité qu'il soit dans ce forfait sachant qu'il a souscrit l'assurance.
4) Quel est le forfait le plus probable pour un client ayant souscrit l'assurance casse ? Ce forfait est-il le même que le forfait le plus souscrit dans l'ensemble de la clientèle ?

Un parc zoologique étudie la fréquentation d'une journée. On note $E$ l'évènement « le visiteur choisi au hasard est un enfant (moins de 12 ans) » et $V$ l'évènement « le visiteur a participé à la visite guidée ». Une étude statistique donne :$$P(E\cap V)=0,22\text{et}{P}_E(V)=0,55$$1) Traduire chacune de ces deux égalités par une phrase en français.
2) En déduire la valeur de $P(E)$.

3) Sachant de plus que $P(V)=0,40$, calculer $P_V(E)$, la probabilité qu'un visiteur ayant participé à la visite guidée soit un enfant.

Soit $A$ et $B$ deux évènements d'un même univers, tels que :$$P(A)=0,4P(B)=0,3P(A\cup B)=0,58$$1) Calculer $P(A\cap B)$.

2) Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.

3) Calculer $P_A(B)$ et retrouver le résultat de la question 2) par une seconde méthode.

Une application mobile étudie le comportement de ses utilisateurs. On note $P$ l'évènement « l'utilisateur a activé les notifications push » et $N$ l'évènement « l'utilisateur est abonné à la newsletter ». Une étude sur l'ensemble des utilisateurs donne :$$P(P)=0,60P(N)=0,25P(P\cap N)=0,20$$1) Calculer $P(P)\times P(N)$ et le comparer à $P(P\cap N)$.

2) Les évènements $P$ et $N$ sont-ils indépendants ? Justifier avec précision.

3) Calculer $P_P(N)$ et interpréter, dans le contexte de l'énoncé, le lien entre $P_P(N)$ et $P(N)$.

Sur une boutique en ligne de vêtements, 40 % des visiteurs ajoutent un article à leur panier (évènement $A$). On sait que la probabilité qu'un visiteur ajoute un article au panier ET finalise son achat (évènement $F$) vaut $P(A\cap F)=0,14$.

1) Calculer $P_A(F)$, la probabilité de finaliser l'achat sachant qu'un article a été ajouté au panier.

2) On sait par ailleurs que $P(F)=0,17$ au global, tous visiteurs confondus. En déduire $P(\bar{A}\cap F)$, puis $P_{\bar{A}}(F)$.

3) Comparer $P_A(F)$ et $P_{\bar{A}}(F)$, et conclure sur le lien entre l'ajout au panier et la finalisation de l'achat.

Dans une fête foraine, une roue de loterie fait gagner avec la probabilité $0,3$ à chaque tour. Un joueur fait deux tours de suite ; les deux tours sont indépendants. On note $G_1$ : « le joueur gagne au premier tour » et $G_2$ : « le joueur gagne au second tour ».

1. Construire l'arbre pondéré de cette succession de deux épreuves. Que remarque-t-on sur les probabilités du second niveau ?
2. Calculer la probabilité que le joueur gagne aux deux tours.
3. Calculer la probabilité que le joueur gagne exactement une fois.
4. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une fois.