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Nombres réels | The Maths Tailor

Nombres réels

Cours Exercices

Cours

1Approximations d'un réel

2Relation d'ordre sur

R

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3Intervalles de

R

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Méthodes8

ClassiqueDémontrer l'irrationalité

Méthodes principales :
(1) Par l'absurde : supposer $x = \frac{p}{q}$ irréductible et aboutir à une contradiction.
(2) Exprimer un irrationnel connu en fonction du nombre étudié.
(3) Utiliser l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.

ClassiqueRécurrence pour propriétés sur ensembles de nombres

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PavlovFormules et propriétés de la partie entière

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ClassiqueRésolution d'équations fonctionnelles

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PavlovSomme nulle de termes positifs

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ClassiqueDémontrer des inégalités sur les nombres réels

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ClassiqueTrouver la borne supérieure d'un ensemble A

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ClassiqueÉquations et inéquations avec valeurs absolues

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Exercices

Irrationalité de 2

Montrer que

2

n'est pas un nombre rationnel.

Indication

Expression cubique simplifiée

Montrer que

(\frac{2}{3} + \frac{41}{81} 3 \frac{5}{3})^{1/3} + (\frac{2}{3} - \frac{41}{81} 3 \frac{5}{3})^{1/3}

est un rationnel. On conseille d'effectuer les calculs par ordinateur.

Indication

Irrationalité de e^{r} rationnel

(Irrationalité de

e^{r}

pour

r \in Q^{*}

)

(a) Pour $a, b \in N^{*}$ , montrer que la fonction polynomiale $P_{n} (x) = \frac{1}{n !} x^{n} (b x - a)^{n}$ et ses dérivées successives prennent en $x = 0$ des valeurs entières.
(b) Établir la même propriété en $x = a / b$ .
(c) On pose $r = a / b$ et pour $n \in N^{*}$ $I_{n} = \int_{0}^{r} P_{n} (t) e^{t} d t .$ Montrer que $I_{n} \to 0$ .
(d) En supposant $e^{r} = p / q$ avec $p, q \in N^{*}$ , montrer que $q I_{n} \in Z$ . Conclure.

Montrer que $P_{n}$ et ses dérivées prennent en $x = 0$ des valeurs entières
Établir la même propriété en $x = a / b$
Montrer que $I_{n} \to 0$
Montrer que $q I_{n} \in Z$ et conclure

Indication

Irrationalité de 2 + 33

Montrer que

2 + 33

est un nombre irrationnel.

Indication

Irrationalité de ln (2) / ln (3)

Prouver que le nombre

\frac{ln ( 2 )}{ln ( 3 )}

est irrationnel.

Indication

Rationalité de 2 + 3

Le réel

r = 2 + 3

est-il rationnel ?

Indication

Racines carrées d'entiers

Montrer que si

n \in N

,

n

est rationnel si et seulement si

n

est un carré parfait (i.e. de la forme

m^{2}

avec

m \in N

).

Indication

Bornes sup et inf d'ensembles

Étudier l'existence puis déterminer le cas échéant les bornes supérieure et inférieure des ensembles suivants :

$A = {1 - \frac{2}{n}, n \in N^{*}}$ ;
$B = {1 - \frac{1}{m} - \frac{1}{n}, (m, n) \in (Z^{*})^{2}}$ ;
$C = {1 - \frac{1}{n - m}, (m, n) \in Z^{2}, m \neq = n}$ ;
$D = {\frac{pq}{p ^{2} + q ^{2}}, (p, q) \in (N^{*})^{2}}$ ;
$E = {\frac{2 ^{n}}{2 ^{m} + 3 ^{n + m}}, (m, n) \in N^{2}}$ ;
$F = {\frac{n + 2}{n + 1} + \frac{q - 1}{q + 1}, (n, q) \in N^{2}}$ ;
$G = {\frac{mn}{m ^{2} + mn + n ^{2}}, (m, n) \in (N^{*})^{2}}$ .

Indication

Inéquations réelles