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Représentations paramétriques et équations cartésiennes | The Maths Tailor

Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Cours Exercices

Cours

1Représentation paramétrique d'une droite

2Équation cartésienne d'un plan

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3Applications

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Méthodes12p.1/2

TunnelCaractérisation d'un point sur une droite paramétrée

L'espace est muni d'un repère $(O; i, j, k)$ . Soit $d$ la droite passant par $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ et de vecteur directeur $u (a, b, c)$ non nul. Pour tout point $M (x, y, z)$ : $M \in d ⟺ \exists t \in R : ⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t z = z_{0} + c t$ Ce système, où $t$ décrit $R$ , s'appelle une représentation paramétrique de $d$ . Elle n'est jamais unique : changer de point sur $d$ ou remplacer $u$ par un vecteur colinéaire non nul (voir vecteurs-droites-et-plans-de-lespace pour la notion de vecteur directeur) donne un système différent qui décrit la même droite.

Pourquoi ça marche

Démontrons l'équivalence en revenant à la définition d'un vecteur directeur.

Étape 1. Traduire l'appartenance à $d$ en colinéarité.

Par définition, $d$ est l'ensemble des points $M$ tels que $A M$ soit colinéaire à $u$ (cf. vecteurs-droites-et-plans-de-lespace). Ainsi : $M \in d ⟺ A M et u sont colin \overset{e}{ˊ} aires .$

Étape 2. Traduire la colinéarité par un réel $t$ .

Comme $u \neq = 0$ , $A M$ et $u$ sont colinéaires si et seulement s'il existe $t \in R$ tel que $A M = t u$ (un vecteur colinéaire à un vecteur non nul en est toujours un multiple, y compris le vecteur nul obtenu pour $t = 0$ ).

Étape 3. Passer aux coordonnées.

Le repère étant fixé, $A M$ a pour coordonnées $(x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0})$ et $t u$ pour coordonnées $(t a, t b, t c)$ . L'égalité vectorielle $A M = t u$ équivaut donc, coordonnée par coordonnée, à $⎩ ⎨ ⎧ x - x_{0} = a t y - y_{0} = b t z - z_{0} = c t ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t z = z_{0} + c t .$

En combinant les trois étapes, $M \in d$ si et seulement s'il existe un même réel $t$ vérifiant simultanément les trois égalités : c'est exactement la représentation paramétrique annoncée. Le point à retenir est que les trois équations partagent un seul et même paramètre $t$ , ce qui distingue une représentation paramétrique d'un simple triplet d'équations indépendantes.

ClassiqueDéterminer une représentation paramétrique d'une droite

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ClassiqueVérifier qu'un point appartient à une droite paramétrée

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TunnelReconnaître deux représentations paramétriques d'une même droite

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TunnelÉtudier par le calcul la position relative de deux droites

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PavlovÉquation cartésienne d'un plan

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ClassiqueExploiter une équation cartésienne de plan

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TunnelDiscuter l'intersection d'une droite et d'un plan par substitution

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ClassiqueDéterminer le point d'intersection d'une droite et d'un plan sécants

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TunnelJustifier que deux plans sont sécants et vérifier une représentation de leur droite d'intersection

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Exercices

Un unique point d'une droite équidistant de deux points

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite

D

admettant la représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = - 1 + 2 t z = 3 - t

,

t \in R

, ainsi que les points

A (3; 1; 4)

et

B (- 1; 3; 2)

. Démontrer qu'il existe un unique point de la droite

D

équidistant des points

A

et

B

, puis déterminer ses coordonnées.

Représentation paramétrique d'une droite avec point et vecteur directeur

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère le point

C (2, - 1, 4)

et le vecteur

v - 3 5 - 1

.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite

d

passant par

C

et de vecteur directeur

v

.

Lecture des éléments caractéristiques d'une droite paramétrée

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère la droite

Δ

définie par la représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + 4 t y = 3 - 2 t z = 5

(

t \in R

).

1. Déterminer les coordonnées d'un point

A

de la droite

Δ

et les coordonnées d'un vecteur directeur

u

de

Δ

.
2. Déterminer les coordonnées du point

B

de la droite

Δ

associé à la valeur du paramètre

t = 2

.

Déterminer les coordonnées d'un point A de la droite Delta et les coordonnées d'un vecteur directeur u de Delta.
Déterminer les coordonnées du point $B$ de la droite $Δ$ associé à la valeur du paramètre $t = 2$ .

Distance minimale entre une sonde spatiale et un émetteur fixe

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, une sonde spatiale suit une trajectoire rectiligne modélisée par la droite

Δ

de représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + 2 t y = 3 - 2 t z = 2 + t

(

t \in R

).
Un émetteur radio fixe est situé au point

E (3, 1, 4)

.

1. Exprimer la distance

E M (t)^{2}

en fonction de

t

, où

M (t)

est la position de la sonde à l'instant

t

.
2. Démontrer que la fonction

f : t \mapsto E M (t)^{2}

admet un minimum en un unique réel

t_{0}

que l'on précisera.
3. En déduire la position

M (t_{0})

de la sonde au moment où elle est au plus près de l'émetteur, ainsi que la valeur de cette distance minimale.
4. Vérifier que le vecteur

E M (t_{0})

est orthogonal au vecteur directeur

u

de la droite

Δ

.

Exprimer la distance $E M (t)^{2}$ en fonction de $t$ , où $M (t)$ est la position de la sonde à l'instant $t$ .
Démontrer que la fonction $f : t \mapsto E M (t)^{2}$ admet un minimum en un unique réel $t_{0}$ que l'on précisera.
En déduire la position $M (t_{0})$ de la sonde au moment où elle est au plus près de l'émetteur, ainsi que la valeur de cette distance minimale.
Vérifier que le vecteur $E M (t_{0})$ est orthogonal au vecteur directeur $u$ de la droite $Δ$ .

Identifier un point et une direction dans une paramétrisation

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Une droite

d

admet pour représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - 3 t y = 2 + t z = - 4 + 5 t

,

t \in R

.

Donner les coordonnées d'un point de la droite

d

et celles d'un vecteur directeur de

d

, puis déterminer les coordonnées du point de

d

associé au paramètre

t = 2

.

Donner les coordonnées d'un point de la droite $d$ .
Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de $d$ .
Déterminer les coordonnées du point de $d$ de paramètre $t = 2$ .

Unicité d'un point dont le projeté sur une autre droite est imposé

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soit

d

la droite de représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 2 - t z = 4 + 2 t

,

t \in R

,
et soit

d^{'}

la droite passant par le point

A (3; 0; 0)

et de vecteur directeur

v (0; 1; 1)

.

Démontrer qu'il existe un unique point

M

de la droite

d

dont le projeté orthogonal sur la droite

d^{'}

est le point

A

, puis déterminer ses coordonnées.