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Variables Aléatoires | The Maths Tailor

Variables Aléatoires

Cours Exercices

Cours

1Variable aléatoire et loi de probabilité

2Espérance, variance, écart-type

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Méthodes11p.1/2

PavlovReconnaître et définir une variable aléatoire sur un univers

Pour reconnaître une variable aléatoire $X$ associée à une expérience aléatoire :

Étape 1 : Identifier l'univers $Ω$ de l'expérience, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les issues possibles.

Étape 2 : Vérifier que $X$ associe un nombre réel à chaque issue de $Ω$ : c'est la définition d'une variable aléatoire.

Étape 3 : Lister l'ensemble des valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ que $X$ peut prendre, en regroupant les issues qui donnent la même valeur.

*Exemple* : On lance un dé équilibré à six faces. Si le résultat est pair, on gagne 3 points ; si le résultat est impair, on perd 1 point.

L'univers est $Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ . La variable aléatoire $X$ associe à chaque issue le gain obtenu :
- $X = 3$ pour les issues $2$ , $4$ , $6$ ;
- $X = - 1$ pour les issues $1$ , $3$ , $5$ .

Les valeurs possibles de $X$ sont donc $- 1$ et $3$ .

TunnelDéterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire

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PavlovCalculer une probabilité P(X supérieur ou égal à k) à partir de la loi

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TunnelCalculer l'espérance d'une variable aléatoire

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TunnelCalculer la variance d'une variable aléatoire par les deux formules

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ClassiqueCalculer et interpréter l'écart-type d'une variable aléatoire

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TunnelDéterminer une valeur inconnue de la loi connaissant l'espérance

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ClassiqueInterpréter l'espérance : gain moyen et jeu équitable

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ClassiqueComparer deux variables aléatoires par l'espérance et l'écart-type

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TunnelUtiliser une loi de probabilité pour un problème de décision

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Exercices

Identifier les valeurs prises par une variable aléatoire

Une urne contient 8 jetons indiscernables au toucher, numérotés de 1 à 8. On tire un jeton au hasard et on note

n

son numéro. On définit une variable aléatoire

X

de la façon suivante :
- si

n

est un multiple de 3,

X = 4

;
- si

n

est un multiple de 2 mais pas de 3,

X = 1

;
- sinon,

X = - 2

.

1) Donner l'univers

Ω

de cette expérience aléatoire.
2) Pour chaque valeur prise par

X

, préciser les jetons correspondants.
3) En déduire l'ensemble des valeurs prises par

X

.

Identifier les valeurs prises par une variable aléatoire (carrés et nombres premiers)

Une urne contient 12 jetons indiscernables au toucher, numérotés de 1 à 12. On tire un jeton au hasard et on note

n

son numéro. On définit une variable aléatoire

X

de la façon suivante :
- si

n

est un carré parfait,

X = 5

;
- si

n

est un nombre premier,

X = 2

;
- sinon,

X = 0

.

1) Donner l'univers

Ω

de cette expérience aléatoire.
2) Pour chaque valeur prise par

X

, préciser les jetons correspondants.
3) En déduire l'ensemble des valeurs prises par

X

.

Repérer les valeurs prises par une variable aléatoire dans un escape game

Dans un jeu d'évasion (escape game), 9 salles sont numérotées de 1 à 9. Une équipe tire au sort une salle de départ. On définit une variable aléatoire

X

de la façon suivante :
- si le numéro est un multiple de 3,

X = 6

(bonus de temps) ;
- si le numéro est pair mais pas multiple de 3,

X = 2

;
- sinon,

X = - 1

(pénalité).

1) Donner l'univers

Ω

de cette expérience aléatoire.
2) Pour chaque valeur prise par

X

, préciser les numéros de salle correspondants.
3) En déduire l'ensemble des valeurs prises par

X

.

Identifier les valeurs prises par une variable aléatoire (dé tétraédrique)

On dispose d'un dé tétraédrique équilibré dont les quatre faces sont numérotées de 1 à 4. On lance ce dé et on note

n

le numéro obtenu. On définit une variable aléatoire

X

de la façon suivante :
- si

n

est un multiple de 2,

X = 3

;
- si

n = 1

,

X = - 1

;
- si

n = 3

,

X = 6

.

1) Donner l'univers

Ω

de cette expérience aléatoire.
2) Pour chaque valeur prise par

X

, préciser la ou les faces correspondantes.
3) En déduire l'ensemble des valeurs prises par

X

.

Lire une probabilité ponctuelle et une probabilité cumulée

La loi de probabilité d'une variable aléatoire

X

est donnée par le tableau :

x_{i} P (X = x_{i}) - 5 \frac{1}{12} - 1 \frac{3}{12} 2 \frac{4}{12} 4 \frac{2}{12} 7 \frac{2}{12}

1) Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité.
2) Donner

P (X = 2)

.
3) Calculer

P (X ⩽ 2)

.

Lire des probabilités ponctuelle et cumulée dans un tableau

Aux heures creuses, on modélise par une variable aléatoire

X

le nombre de clients se présentant à la caisse d'un petit commerce durant une minute donnée. Sa loi de probabilité est :

x_{i} P (X = x_{i}) 0 \frac{1}{10} 1 \frac{2}{10} 2 \frac{3}{10} 3 \frac{2}{10} 4 \frac{2}{10}

1) Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité.
2) Donner

P (X = 2)

.
3) Calculer

P (X ⩽ 2)

.