Vecteurs, droites et plans de l'espace

Un vecteur de l'espace est défini, comme dans le plan, par une direction, un sens et une norme (longueur). Toutes les règles du calcul vectoriel plan restent valables sans changement dans l'espace :

Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ pour tous points $A$, $B$, $C$.

Somme de deux vecteurs et produit d'un vecteur par un réel obéissent aux mêmes règles de calcul (associativité, commutativité de la somme, distributivité par rapport à l'addition des vecteurs et des réels).

Étant donnés des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ de l'espace, tout vecteur de la forme$$a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w},(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$$est appelé combinaison linéaire de $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$.

Technique de base : pour exprimer un vecteur imposé par une figure (diagonale d'un solide, milieu, point défini par une relation vectorielle) en combinaison linéaire de vecteurs de référence, on insère systématiquement, par la relation de Chasles, les points par lesquels transitent les vecteurs de référence. Chaque insertion doit faire apparaître un vecteur déjà connu : $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{AY}$, où $A$ est choisi pour que $\overrightarrow{XA}$ et $\overrightarrow{AY}$ se lisent directement sur la figure.