Anneaux et arithmétique

SPEalgebre

1. Compléments sur les anneaux

1.1. Produit d'anneaux

Proposition—Produit d'anneaux

Soient

(A_{i}, +_{i}, \times_{i})_{1 \leq i \leq n}

une famille finie d'anneaux. Alors on peut munir

i = 1 \prod n A_{i}

d'une structure d'anneaux en posant :

\forall (a, b) \in (i = 1 \prod n A_{i})^{2}, a + b = (a_{i} +_{i} b_{i})_{1 \leq i \leq n}

\forall (a, b) \in (i = 1 \prod n A_{i})^{2}, a \times b = (a_{i} \times_{i} b_{i})_{1 \leq i \leq n}

On a alors

0_{A} = (0_{A_{i}})_{1 \leq i \leq n}

et

1_{A} = (1_{A_{i}})_{1 \leq i \leq n}

.

Démonstration bientôt disponible

1.2. Idéaux d'un anneau commutatif

Définition—Idéal d'un anneau commutatif

Soit

(A, +, \times)

un anneau commutatif. On dit qu'une partie

I

de

A

est un idéal de

A

si

[(i)] $I$ est un sous-groupe de $(A, +)$ ;
[(ii)] $I$ est absorbant : pour tout $(a, x) \in A \times I$ , $a \times x \in I$ .

1.3. Divisibilité

Définition—Divisibilité

Soient

(A, +, \times)

un anneau commutatif et

(a, b) \in A^{2}

. On dit que

a

divise

b

ou que

b

est un multiple de

a

s'il existe

c \in A

tel que

b = c a

.

2. Anneaux usuels

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Structure d'algèbre

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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1. Compléments sur les anneaux

1.1. Produit d'anneaux

Proposition—Produit d'anneaux

Soient

(A_{i}, +_{i}, \times_{i})_{1 \leq i \leq n}

une famille finie d'anneaux. Alors on peut munir

i = 1 \prod n A_{i}

d'une structure d'anneaux en posant :

\forall (a, b) \in (i = 1 \prod n A_{i})^{2}, a + b = (a_{i} +_{i} b_{i})_{1 \leq i \leq n}

\forall (a, b) \in (i = 1 \prod n A_{i})^{2}, a \times b = (a_{i} \times_{i} b_{i})_{1 \leq i \leq n}

On a alors

0_{A} = (0_{A_{i}})_{1 \leq i \leq n}

et

1_{A} = (1_{A_{i}})_{1 \leq i \leq n}

.

Démonstration bientôt disponible

1.2. Idéaux d'un anneau commutatif

Définition—Idéal d'un anneau commutatif

Soit

(A, +, \times)

un anneau commutatif. On dit qu'une partie

I

de

A

est un idéal de

A

si

[(i)] $I$ est un sous-groupe de $(A, +)$ ;
[(ii)] $I$ est absorbant : pour tout $(a, x) \in A \times I$ , $a \times x \in I$ .

1.3. Divisibilité

Définition—Divisibilité

Soient

(A, +, \times)

un anneau commutatif et

(a, b) \in A^{2}

. On dit que

a

divise

b

ou que

b

est un multiple de

a

s'il existe

c \in A

tel que

b = c a

.

2. Anneaux usuels

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3. Structure d'algèbre

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Exemple

{0_{A}}

et

A

sont des idéaux de

A

.

Remarque

Si

1_{A} \in I

, alors

I = A

.

Attention

Un idéal n'est pas forcément un sous-anneau. Par exemple,

2 Z

est un idéal de

Z

mais n'est pas un sous-anneau de

Z

.

Un sous-anneau n'est pas forcément un idéal. Par exemple,

R

est un sous-anneau de

C

mais n'est pas un idéal de

C

.

En fait, la seule partie d'un anneau qui est à la fois un sous-anneau et un idéal est l'anneau lui-même.

Proposition

Soit

(A, +, \times)

un anneau commutatif. Une partie

I

de

A

est un idéal de

A

si et seulement si

[(i)] $0_{A} \in I$ ;
[(ii)] $\forall (x, y) \in I^{2}, x + y \in I$ ;
[(iii)] $\forall (a, x) \in A \times I, a \times x \in I$ .

Démonstration bientôt disponible

Application

Montrer que si

I

et

J

sont des idéaux d'un anneau commutatif

A

, alors

I \cap J

et

I + J

sont également des idéaux de

A

.

Correction bientôt disponible

Définition—Idéal engendré par une partie

Soit

(A, +, \times)

un anneau commutatif. On appelle idéal engendré par une partie $X$ de

A

le plus petit idéal contenant

X

.

Proposition

Soient

(A, +, \times)

un anneau commutatif et

X

une partie de

A

. L'idéal engendré par

X

est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de

X

, c'est-à-dire d'éléments de la forme

x \in X \sum a_{x} x

où

(a_{x})_{x \in X}

est une famille presque nulle d'éléments de

A

.

Démonstration bientôt disponible

Remarques

En particulier, l'idéal engendré par un unique élément

x \in A

est

x A

.

On dit qu'un idéal

I

d'un anneau commutatif

A

est principal s'il existe

x \in A

tel que

I = x A

.

On dit qu'un anneau commutatif

A

est principal si tous ses idéaux sont principaux.

Proposition

Soit

f : A \to B

un morphisme d'anneaux commutatifs. Alors

ker f

est un idéal de

A

.

Démonstration bientôt disponible

Proposition

La relation de divisibilité est réflexive et transitive.

Démonstration bientôt disponible

Application

Soient

a

et

b

deux éléments d'un anneau commutatif intègre

A

. Montrer que si

a

divise

b

et

b

divise

a

, alors il existe

u \in A^{\times}

(groupe des éléments inversibles de

A

) tel que

b = a u

.

Correction bientôt disponible

Proposition—Divisibilité et idéaux

Soient

(A, +, \times)

un anneau commutatif et

(a, b) \in A^{2}

. Alors

a

divise

b

si et seulement si

b A \subset a A

.

Démonstration bientôt disponible

Encadré—Idéaux et éléments premiers entre eux

Soit

(A, +, \times)

un anneau commutatif.

On dit que deux idéaux $I$ et $J$ de $A$ sont premiers entre eux si $I + J = A$ .
On dit que deux éléments $a$ et $b$ de $A$ sont premiers entre eux si $a A + b A = A$ , ce qui équivaut à dire que les diviseurs communs de $a$ et $b$ sont les inversibles de $A$ (c'est une version générale du théorème de Bézout).

On peut étendre ces notions à plus de deux idéaux ou plus de deux éléments.

On dit que des idéaux $I_{1}, \dots, I_{n}$ de $A$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si $i = 1 \sum n I_{i} = A$ .
On dit que des éléments $a_{1}, \dots, a_{n}$ de $A$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si $i = 1 \sum n a_{i} A = A$ , ce qui équivaut à dire que les diviseurs communs de $a_{1}, \dots, a_{n}$ sont les inversibles de $A$ (c'est à nouveau une version générale du théorème de Bézout).

Encadré—Idéaux et éléments premiers

Soit

(A, +, \times)

un anneau commutatif.

On dit qu'un idéal $I$ de $A$ est premier si $I \neq = A$ et $\forall (a, b) \in A^{2}, ab \in I ⟹ (a \in I ou b \in I)$ .
Un élément $a$ de $A$ est dit premier si l'idéal $a A$ est premier et non nul.