Soit A un anneau commutatif. Pour tout idéal I de A, on noteR(I)={x∈A,∃n∈N,xn∈I}L'ensemble R(I) est appelé radical de I. 1. Soit I un idéal de A. Montrer que R(I) est un idéal de A contenant I. 2. Soit I un idéal de A. Montrer que R(R(I))=R(I). 3. Soient I et J deux idéaux de A. Montrer que R(I∩J)=R(I)∩R(J).
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CCINP (ou CCP) MP 2015
Soit (A,+,×) un anneau commutatif. 1. Rappeler la définition d'un anneau et d'un idéal. 2. Soit I un idéal de A. Montrer que si 1A∈I, alors I=A. 3. On pose Ia={ax,x∈A}. Montrer que Ia est bien un idéal de A. 4. On suppose que A n'est pas l'anneau nul. Montrer que A est un corps si et seulement si les seuls idéaux de A sont {0A} et A.
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Norme et inversibles de Z[3]
On note Z[3] l'ensemble des réels de la forme a+b3 avec a,b∈Z.
Montrer que Z[3] est un sous-anneau de (R,+,×).
Montrer que 3 est irrationnel. On pourra raisonner par l'absurde en écrivant 3 sous la forme d'une fraction irréductible qp i.e. avec (p,q)∈Z×Z∗ tel que p∧q=1.
Montrer que f:{Z2⟶Z[3](a,b)⟼a+b3 est un isomorphisme du groupe (Z2,+) sur le groupe (Z[3],+).
Pour tout x∈Z[3], il existe donc, d'après la question précédente, un unique couple (a,b)∈Z2 tel que x=a+b3. Pour un tel x=a+b3, on appelle conjugué de x, noté x~, le réel a−b3. Montrer que g:{Z[3]⟶Z[3]x⟼x~ est un automorphisme d'anneau.
Pour tout réel x=a+b3∈Z[3] avec (a,b)∈Z2, on pose N(x)=xx~. Vérifier que pour tout (x,y)∈(Z[3])2, N(xy)=N(x)N(y).
Montrer que x∈Z[3] est inversible si et seulement si N(x)=1 ou N(x)=−1. Que vaut alors son inverse ? On distinguera les cas N(x)=1 et N(x)=−1.
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Pgcd de Xn−1 et Xp−1
Soient n,p∈N∗. Déterminer le pgcd de Xn−1 et Xp−1.
