Soient
E et
F deux
K-espaces vectoriels. On appelle
application linéaire de
E dans
F toute application
f:E→F vérifiant :
(i)
∀(x,y)∈E2,f(x+y)=f(x)+f(y) i.e.
f est un morphisme du groupe
(E,+) dans le groupe
(F,+) ;
(ii)
∀λ∈K,∀x∈E,f(λ⋅x)=λ⋅f(x).
Cette définition équivaut à la suivante :
∀(λ,μ)∈K2,∀(x,y)∈E2,f(λ⋅x+μ⋅y)=λ⋅f(x)+μ⋅f(y)L'ensemble des applications linéaires de
E dans
F est noté
L(E,F).
Une application linéaire de
E dans
E est appelé un
endomorphisme (linéaire) de
E. L'ensemble des endomorphismes de
E est noté
L(E).
Une application linéaire de
E dans
K est appelé une
forme linéaire de
E. L'ensemble des formes linéaires de
E est noté
E∗.
