The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Définition et premiers exemples

1.1. Définition

Définition—Application linéaire

Soient

E

F

deux

K

-espaces vectoriels. On appelle application linéaire de

E

dans

F

toute application

f : E \to F

vérifiant :

(i)

\forall (x, y) \in E^{2}, f (x + y) = f (x) + f (y)

i.e.

f

est un morphisme du groupe

(E, +)

dans le groupe

(F, +)

;

(ii)

\forall λ \in K, \forall x \in E, f (λ \cdot x) = λ \cdot f (x)

.

Cette définition équivaut à la suivante :

\forall (λ, μ) \in K^{2}, \forall (x, y) \in E^{2}, f (λ \cdot x + μ \cdot y) = λ \cdot f (x) + μ \cdot f (y)

L'ensemble des applications linéaires de

E

dans

F

est noté

L (E, F)

.

Une application linéaire de

E

dans

E

est appelé un endomorphisme (linéaire) de

E

. L'ensemble des endomorphismes de

E

est noté

L (E)

.

Une application linéaire de

E

dans

K

est appelé une forme linéaire de

E

. L'ensemble des formes linéaires de

E

est noté

E^{*}

Remarque

• On a en particulier

f (0_{E}) = 0_{F}

.

• L'application nulle

{E ⟶ F x ⟼ 0_{F}

est une application linéaire de

E

dans

F

.

• L'identité

Id_{E}

est un endomorphisme de

E

1.2. Exemples

Exemples

—Géométrie

On note

E

l'ensemble des vecteurs de l'espace.

• Soit

v \in E

. L'application

{E ⟶ E u ⟼ u \land v

est un endomorphisme de

E

.

• Soit

v \in E

. L'application

{E ⟶ R u ⟼ u \cdot v

est une forme linéaire de

E

.

• Soit

v, w

. L'application

{E ⟶ R u ⟼ Det (u, v, w)

est une forme linéaire de

E

1.3. Opérations sur les applications linéaires

Théorème—Opérations sur les applications linéaires

(i) Une combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire :

\forall (λ, μ) \in K^{2}, \forall (f, g) \in L (E, F)^{2}, λ f + μg \in L (E, F)

(ii) La composée d'applications linéaires est linéaire. Soient

E

F

G

trois

K

-espaces vectoriels,

f \in L (E, F)

g \in L (F, G)

. Alors

g \circ f \in L (E, G)

.

(iii) La composition à gauche et à droite est linéaire. Soient

E

F

G

trois

K

-espaces vectoriels.

\forall (λ, μ) \in K^{2}, \forall f \in L (E, F), \forall (g, h) \in L (F, G)^{2}, (λ g + μ h) \circ f = λ g \circ f + μ h \circ f

\forall (λ, μ) \in K^{2}, \forall (f, g) \in L (E, F)^{2}, \forall h \in L (F, G), h \circ (λ f + μg) = λh \circ f + μ h \circ g

Applications linéaires

1. Définition et premiers exemples

1.1. Définition

1.2. Exemples

1.3. Opérations sur les applications linéaires

1. Définition et premiers exemples

1.1. Définition

1.2. Exemples

1.3. Opérations sur les applications linéaires