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Applications linéaires | The Maths Tailor

Applications linéaires

SUPalgebre

Méthodes Exercices

1. Définition et premiers exemples

1.1. Définition

Définition—Application linéaire

Soient

E

F

deux

\mathbb{K}

-espaces vectoriels. On appelle application linéaire de

E

dans

F

toute application

f : E \to F

vérifiant :

(i)

\forall (x, y) \in E^2, f(x + y) = f(x) + f(y)

i.e.

f

est un morphisme du groupe

(E, +)

dans le groupe

(F, +)

;

(ii)

\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in E, f(\lambda \cdot x) = \lambda \cdot f(x)

.

Cette définition équivaut à la suivante :

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall (x, y) \in E^2, f(\lambda \cdot x + \mu \cdot y) = \lambda \cdot f(x) + \mu \cdot f(y)

L'ensemble des applications linéaires de

E

dans

F

est noté

\mathcal{L}(E, F)

.

Une application linéaire de

E

dans

E

est appelé un endomorphisme (linéaire) de

E

. L'ensemble des endomorphismes de

E

est noté

\mathcal{L}(E)

.

Une application linéaire de

E

dans

\mathbb{K}

est appelé une forme linéaire de

E

. L'ensemble des formes linéaires de

E

est noté

E^*

Remarque

• On a en particulier

f(0_E) = 0_F

.

• L'application nulle

\begin{cases} E \longrightarrow F \\ x \longmapsto 0_F \end{cases}

est une application linéaire de

E

dans

F

.

• L'identité

\text{Id}_E

est un endomorphisme de

E

1.2. Exemples

Exemples

—Géométrie

On note

\vec{E}

l'ensemble des vecteurs de l'espace.

• Soit

\vec{v} \in \vec{E}

. L'application

\begin{cases} \vec{E} \longrightarrow \vec{E} \\ \vec{u} \longmapsto \vec{u} \wedge \vec{v} \end{cases}

est un endomorphisme de

\vec{E}

.

• Soit

\vec{v} \in \vec{E}

. L'application

\begin{cases} \vec{E} \longrightarrow \mathbb{R} \\ \vec{u} \longmapsto \vec{u} \cdot \vec{v} \end{cases}

est une forme linéaire de

\vec{E}

.

• Soit

\vec{v}, \vec{w}

. L'application

\begin{cases} \vec{E} \longrightarrow \mathbb{R} \\ \vec{u} \longmapsto \text{Det}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \end{cases}

est une forme linéaire de

\vec{E}

1.3. Opérations sur les applications linéaires

Théorème—Opérations sur les applications linéaires

(i) Une combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire :

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall (f, g) \in \mathcal{L}(E, F)^2, \lambda f + \mu g \in \mathcal{L}(E, F)

(ii) La composée d'applications linéaires est linéaire.
Soient

E

F

G

trois

\mathbb{K}

-espaces vectoriels,

f \in \mathcal{L}(E, F)

g \in \mathcal{L}(F, G)

. Alors

g \circ f \in \mathcal{L}(E, G)

.

(iii) La composition à gauche et à droite est linéaire.
Soient

E

F

G

trois

\mathbb{K}

-espaces vectoriels.

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall f \in \mathcal{L}(E, F), \forall (g, h) \in \mathcal{L}(F, G)^2, (\lambda g + \mu h) \circ f = \lambda g \circ f + \mu h \circ f

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall (f, g) \in \mathcal{L}(E, F)^2, \forall h \in \mathcal{L}(F, G), h \circ (\lambda f + \mu g) = \lambda h \circ f + \mu h \circ g

2. Noyau et image

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Applications linéaires en dimension finie

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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4. Projecteurs, symétries, homothéties

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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1. Définition et premiers exemples

1.1. Définition

Définition—Application linéaire

Soient

E

F

deux

\mathbb{K}

-espaces vectoriels. On appelle application linéaire de

E

dans

F

toute application

f : E \to F

vérifiant :

(i)

\forall (x, y) \in E^2, f(x + y) = f(x) + f(y)

i.e.

f

est un morphisme du groupe

(E, +)

dans le groupe

(F, +)

;

(ii)

\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in E, f(\lambda \cdot x) = \lambda \cdot f(x)

.

Cette définition équivaut à la suivante :

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall (x, y) \in E^2, f(\lambda \cdot x + \mu \cdot y) = \lambda \cdot f(x) + \mu \cdot f(y)

L'ensemble des applications linéaires de

E

dans

F

est noté

\mathcal{L}(E, F)

.

Une application linéaire de

E

dans

E

est appelé un endomorphisme (linéaire) de

E

. L'ensemble des endomorphismes de

E

est noté

\mathcal{L}(E)

.

Une application linéaire de

E

dans

\mathbb{K}

est appelé une forme linéaire de

E

. L'ensemble des formes linéaires de

E

est noté

E^*

Remarque

• On a en particulier

f(0_E) = 0_F

.

• L'application nulle

\begin{cases} E \longrightarrow F \\ x \longmapsto 0_F \end{cases}

est une application linéaire de

E

dans

F

.

• L'identité

\text{Id}_E

est un endomorphisme de

E

1.2. Exemples

Exemples

—Géométrie

On note

\vec{E}

l'ensemble des vecteurs de l'espace.

• Soit

\vec{v} \in \vec{E}

. L'application

\begin{cases} \vec{E} \longrightarrow \vec{E} \\ \vec{u} \longmapsto \vec{u} \wedge \vec{v} \end{cases}

est un endomorphisme de

\vec{E}

.

• Soit

\vec{v} \in \vec{E}

. L'application

\begin{cases} \vec{E} \longrightarrow \mathbb{R} \\ \vec{u} \longmapsto \vec{u} \cdot \vec{v} \end{cases}

est une forme linéaire de

\vec{E}

.

• Soit

\vec{v}, \vec{w}

. L'application

\begin{cases} \vec{E} \longrightarrow \mathbb{R} \\ \vec{u} \longmapsto \text{Det}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \end{cases}

est une forme linéaire de

\vec{E}

1.3. Opérations sur les applications linéaires

Théorème—Opérations sur les applications linéaires

(i) Une combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire :

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall (f, g) \in \mathcal{L}(E, F)^2, \lambda f + \mu g \in \mathcal{L}(E, F)

(ii) La composée d'applications linéaires est linéaire.
Soient

E

F

G

trois

\mathbb{K}

-espaces vectoriels,

f \in \mathcal{L}(E, F)

g \in \mathcal{L}(F, G)

. Alors

g \circ f \in \mathcal{L}(E, G)

.

(iii) La composition à gauche et à droite est linéaire.
Soient

E

F

G

trois

\mathbb{K}

-espaces vectoriels.

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall f \in \mathcal{L}(E, F), \forall (g, h) \in \mathcal{L}(F, G)^2, (\lambda g + \mu h) \circ f = \lambda g \circ f + \mu h \circ f

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall (f, g) \in \mathcal{L}(E, F)^2, \forall h \in \mathcal{L}(F, G), h \circ (\lambda f + \mu g) = \lambda h \circ f + \mu h \circ g

2. Noyau et image

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3. Applications linéaires en dimension finie

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4. Projecteurs, symétries, homothéties

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Démonstration

Point (i) — combinaison linéaire.

Soient

f, g \in \mathcal{L}(E, F)

\lambda, \mu \in \mathbb{K}

. Posons

h = \lambda f + \mu g

. Soient

\alpha, \beta \in \mathbb{K}

x, y \in E

.

Par définition de

h

et par linéarité de

f

g

(d'après la Définition 1.1) :

h(\alpha x + \beta y) = \lambda f(\alpha x + \beta y) + \mu g(\alpha x + \beta y)

= \lambda (\alpha f(x) + \beta f(y)) + \mu (\alpha g(x) + \beta g(y))

= \alpha (\lambda f(x) + \mu g(x)) + \beta (\lambda f(y) + \mu g(y))

= \alpha h(x) + \beta h(y)

Donc

h \in \mathcal{L}(E, F)

.

Point (ii) — composée.

Soient

f \in \mathcal{L}(E, F)

g \in \mathcal{L}(F, G)

\alpha, \beta \in \mathbb{K}

x, y \in E

. Par définition de la composition et par linéarité de

f

puis de

g

(d'après la Définition 1.1) :

(g \circ f)(\alpha x + \beta y) = g(f(\alpha x + \beta y)) = g(\alpha f(x) + \beta f(y))

= \alpha g(f(x)) + \beta g(f(y)) = \alpha (g \circ f)(x) + \beta (g \circ f)(y)

Donc

g \circ f \in \mathcal{L}(E, G)

.

Point (iii) — linéarité de la composition à droite.

Soient

\lambda, \mu \in \mathbb{K}

f \in \mathcal{L}(E, F)

g, h \in \mathcal{L}(F, G)

x \in E

((\lambda g + \mu h) \circ f)(x) = (\lambda g + \mu h)(f(x)) = \lambda g(f(x)) + \mu h(f(x))

= (\lambda g \circ f + \mu h \circ f)(x)

La linéarité à gauche se démontre de la même façon : pour

h \in \mathcal{L}(F, G)

f, g \in \mathcal{L}(E, F)

(h \circ (\lambda f + \mu g))(x) = h(\lambda f(x) + \mu g(x)) = \lambda h(f(x)) + \mu h(g(x)) = (\lambda h \circ f + \mu h \circ g)(x)

en utilisant la linéarité de

h