D'après le Corollaire 1.1,
(L(E),+) est un groupe abélien.
D'après le Théorème 1.1(ii), la composée de deux endomorphismes de
E est un endomorphisme de
E, donc
∘ est une loi de composition interne sur
L(E).
Associativité de
∘ : pour
f,g,h∈L(E) et
x∈E,
((h∘g)∘f)(x)=h(g(f(x)))=(h∘(g∘f))(x), donc
∘ est associative.
Distributivité de
∘ sur
+ : d'après le Théorème 1.1(iii),
∘ est distributive à gauche et à droite sur
+.
Élément neutre :
IdE∈L(E) et pour tout
f∈L(E),
IdE∘f=f∘IdE=f (par définition de l'identité).
Donc
(L(E),+,∘) est un anneau d'élément neutre
IdE.