Applications linéaires | The Maths Tailor

Applications linéaires

Cours Exercices

Cours

1Définition et premiers exemples

2Noyau et image

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3Applications linéaires en dimension finie

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4Projecteurs, symétries, homothéties

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Méthodes19p.1/2

PavlovRéflexe : écrire f(λx+μy) = λf(x)+μf(y)

Face à « montrer que $f$ est linéaire » : écrire immédiatement $f (λ x + μ y)$ et développer pour retrouver $λ f (x) + μ f (y)$ .

ClassiqueConstruire des endomorphismes vérifiant des propriétés particulières

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TunnelDétermination du noyau et de l'image

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ClassiqueNoyaux et images itérés d'un endomorphisme

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ClassiqueConstruction de base adaptée pour endomorphisme nilpotent

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PavlovRéflexe : inclusions Ker et Im par composition

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PavlovDémontrer qu'une application linéaire est injective

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ClassiqueTrouver une base de l'image d'une application linéaire

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PavlovInégalités sur les rangs (composition et somme)

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Pavlovrg(f²) = rg(f) implique Ker f ⊕ Im f = E

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Exercices

Linéarité : liste d'applications

Les applications entre

R

-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires :

$f : R^{3} \to R$ définie par $f (x, y, z) = x + y + 2 z$
$f : R^{2} \to R$ définie par $f (x, y) = x + y + 1$
$f : R^{2} \to R$ définie par $f (x, y) = x y$
$f : R^{3} \to R$ définie par $f (x, y, z) = x - z$

Indication

Automorphisme de R^{2}

Soit

f : R^{2} \to R^{2}

définie par

f (x, y) = (x + y, x - y)

. Montrer que

f

est un automorphisme de

R^{2}

et déterminer son automorphisme réciproque.

Indication

Forme linéaire intégrale sur [0; 1]

Soit

J : C ([0; 1], R) \to R

définie par

J (f) = \int_{0}^{1} f (t) d t

. Montrer que

J

est une forme linéaire.

Indication

Endomorphisme différentiel, noyau

Soit

φ : C^{\infty} (R, R) \to C^{\infty} (R, R)

définie par

φ (f) = f^{''} - 3 f^{'} + 2 f

. Montrer que

φ

est un endomorphisme et préciser son noyau.

Indication