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Applications linéaires | The Maths Tailor

Applications linéaires

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Cours— 4 sections

1Définition et premiers exemples

1. Définition et premiers exemples

1.1. Définition

Définition —Application linéaire

Soient

E

F

deux

\mathbb{K}

-espaces vectoriels. On appelle application linéaire de

E

dans

F

toute application

f : E \to F

vérifiant :

(i)

\forall (x, y) \in E^2, f(x + y) = f(x) + f(y)

i.e.

f

est un morphisme du groupe

(E, +)

dans le groupe

(F, +)

;

(ii)

\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in E, f(\lambda \cdot x) = \lambda \cdot f(x)

.

Cette définition équivaut à la suivante :

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall (x, y) \in E^2, f(\lambda \cdot x + \mu \cdot y) = \lambda \cdot f(x) + \mu \cdot f(y)

L'ensemble des applications linéaires de

E

dans

F

est noté

\mathcal{L}(E, F)

.

Une application linéaire de

E

dans

E

est appelé un endomorphisme (linéaire) de

E

. L'ensemble des endomorphismes de

E

est noté

\mathcal{L}(E)

.

Une application linéaire de

E

dans

\mathbb{K}

est appelé une forme linéaire de

E

. L'ensemble des formes linéaires de

E

est noté

E^*

Remarque

• On a en particulier

f(0_E) = 0_F

.

• L'application nulle

\begin{cases} E \longrightarrow F \\ x \longmapsto 0_F \end{cases}

est une application linéaire de

E

dans

F

.

• L'identité

\text{Id}_E

est un endomorphisme de

E

1.2. Exemples

Exemple —Géométrie

On note

\vec{E}

l'ensemble des vecteurs de l'espace.

• Soit

\vec{v} \in \vec{E}

. L'application

\begin{cases} \vec{E} \longrightarrow \vec{E} \\ \vec{u} \longmapsto \vec{u} \wedge \vec{v} \end{cases}

est un endomorphisme de

\vec{E}

.

• Soit

\vec{v} \in \vec{E}

. L'application

\begin{cases} \vec{E} \longrightarrow \mathbb{R} \\ \vec{u} \longmapsto \vec{u} \cdot \vec{v} \end{cases}

est une forme linéaire de

\vec{E}

.

• Soit

\vec{v}, \vec{w}

. L'application

\begin{cases} \vec{E} \longrightarrow \mathbb{R} \\ \vec{u} \longmapsto \text{Det}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \end{cases}

est une forme linéaire de

\vec{E}

Exemple —Suites

• L'application

\begin{cases} \mathbb{C}^\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{C}^\mathbb{N} \\ (u_n) \longmapsto (u_{n+1}) \end{cases}

est un endomorphisme de

\mathbb{C}^\mathbb{N}

.

• Notons

E

\mathbb{R}

-espace vectoriel des suites convergentes. L'application qui à

(u_n) \in E

associe

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n

est une forme linéaire sur

E

Exemple —Espaces fonctionnels

Soit

I

un intervalle.

• L'application

\begin{cases} \mathcal{D}(I, \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^I \\ f \longmapsto f' \end{cases}

est linéaire.

• Soit

a \in \overline{I}

. Notons

E

\mathbb{R}

-espace vectoriel des fonctions définies sur

I

admettant une limite finie en

a

. L'application

\begin{cases} E \longrightarrow \mathbb{R} \\ f \longmapsto \displaystyle\lim_a f \end{cases}

est une forme linéaire de

E

.

• Soit

a \in I

. L'application

\begin{cases} \mathbb{R}^I \longrightarrow \mathbb{R} \\ f \longmapsto f(a) \end{cases}

est une forme linéaire de

\mathbb{R}^I

Exemple —Polynômes

• L'application

\begin{cases} \mathbb{K}[X] \longrightarrow \mathbb{K}[X] \\ P \longmapsto P' \end{cases}

est un endomorphisme de

\mathbb{K}[X]

.

• Soit

a \in \mathbb{K}

. L'application

\begin{cases} \mathbb{K}[X] \longrightarrow \mathbb{K} \\ P \longmapsto P(a) \end{cases}

est une forme linéaire de

\mathbb{K}[X]

.

• Soit

Q \in \mathbb{K}[X]

. L'application

\begin{cases} \mathbb{K}[X] \longrightarrow \mathbb{K}[X] \\ P \longmapsto PQ \end{cases}

est un endomorphisme de

\mathbb{K}[X]

Exemple —Espaces

\mathbb{K}^n

• L'application

\begin{cases} \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3 \\ (x, y) \longmapsto (y - 2x, 3y + x - 2z, x + z) \end{cases}

est linéaire.

• L'application

\begin{cases} \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) \longmapsto x + y + 1 \end{cases}

n'est pas linéaire.

• L'application

\begin{cases} \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) \longmapsto x^2 + y^2 \end{cases}

n'est pas linéaire.

1.3. Opérations sur les applications linéaires

Théorème —Opérations sur les applications linéaires

(i) Une combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire :

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall (f, g) \in \mathcal{L}(E, F)^2, \lambda f + \mu g \in \mathcal{L}(E, F)

(ii) La composée d'applications linéaires est linéaire.
Soient

E

F

G

trois

\mathbb{K}

-espaces vectoriels,

f \in \mathcal{L}(E, F)

g \in \mathcal{L}(F, G)

. Alors

g \circ f \in \mathcal{L}(E, G)

.

(iii) La composition à gauche et à droite est linéaire.
Soient

E

F

G

trois

\mathbb{K}

-espaces vectoriels.

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall f \in \mathcal{L}(E, F), \forall (g, h) \in \mathcal{L}(F, G)^2, (\lambda g + \mu h) \circ f = \lambda g \circ f + \mu h \circ f

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall (f, g) \in \mathcal{L}(E, F)^2, \forall h \in \mathcal{L}(F, G), h \circ (\lambda f + \mu g) = \lambda h \circ f + \mu h \circ g

Démonstration bientôt disponible

Corollaire —Espace vectoriel

\mathcal{L}(E, F)

Soient

E

F

deux

\mathbb{K}

-espaces vectoriels.

\mathcal{L}(E, F)

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel. Le vecteur nul de

\mathcal{L}(E, F)

est l'application nulle

\begin{cases} E \longrightarrow F \\ x \longmapsto 0_F \end{cases}

Démonstration bientôt disponible

Remarque

\mathcal{L}(E, F)

est un sous-espace vectoriel de

F^E

Corollaire —Anneau

\mathcal{L}(E)

(\mathcal{L}(E), +, \circ)

est un anneau (non commutatif et non intègre en général). De plus,

1_{\mathcal{L}(E)} = \text{Id}_E

Démonstration bientôt disponible

Remarque

u

v

sont deux endomorphismes d'un même espace vectoriel, la composée

u \circ v

sera parfois notée

uv

Exemple

Les applications

\begin{cases} \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}) \\ f \longmapsto f' \end{cases}

\begin{cases} \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}) \\ f \longmapsto (x \mapsto xf(x)) \end{cases}

sont deux endomorphismes de

\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})

qui ne commutent pas.

Exemple

Considérons

f : \begin{cases} \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 \\ (x, y) \longmapsto (x, 0) \end{cases}

g : \begin{cases} \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 \\ (x, y) \longmapsto (0, y) \end{cases}

. On a

f, g \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)

g \circ f = f \circ g = 0_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)}

et pourtant

f \neq 0_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)}

g \neq 0_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)}

2Noyau et image

3Applications linéaires en dimension finie

4Projecteurs, symétries, homothéties

RéflexeDémontrer qu'une application linéaire est injective

Pour démontrer qu'une application linéaire est injective, on montre que son noyau est réduit à

\{0\}

MCConstruire des endomorphismes vérifiant des propriétés particulières

TunnelDémontrer qu'une application linéaire est une projection

TunnelDétermination du noyau et de l'image

RéflexeInégalités sur les rangs (composition et somme)

MCColinéarité pour tout x implique homothétie

MCNoyaux et images itérés d'un endomorphisme

MCConstruction de base adaptée pour endomorphisme nilpotent

TunnelDimension d'espaces d'applications linéaires avec contraintes

Réflexerg(f²) = rg(f) implique Ker f ⊕ Im f = E

1 / 2

Exercices lies— 24

7Exercice 7

Soit

f \in \mathcal{L}(E)

tel que pour tout

x \in E

x

f(x)

soient colinéaires.
Montrer que

f

est une homothétie vectorielle.

8Exercice 8

Soient

f, g \in \mathcal{L}(E, F)

. On suppose

\forall x \in E, \exists \lambda_x \in \mathbb{K}, g(x) = \lambda_x f(x)

.
Montrer qu'il existe

\lambda \in \mathbb{K}

tel que

g = \lambda f

16Exercice 16

Déterminer une base du noyau et de l'image des applications linéaires suivantes :

17Exercice 17

Soient

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension

n \geq 1

f

un endomorphisme nilpotent non nul de

E

p

le plus petit entier tel que

f^p = \tilde{0}

19Exercice 19

Soient

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie et

f, g \in \mathcal{L}(E)

.
Montrer que

\operatorname{rg}(f + g) \leq \operatorname{rg}(f) + \operatorname{rg}(g)

puis que

|\operatorname{rg}(f) - \operatorname{rg}(g)| \leq \operatorname{rg}(f - g)

20Exercice 20

Soient

E

F

deux

\mathbb{K}

-espaces vectoriels de dimensions finies et

f \in \mathcal{L}(E, F)

g \in \mathcal{L}(F, E)

telles que

f \circ g \circ f = f

g \circ f \circ g = g

.
Montrer que

f

g

f \circ g

g \circ f

ont même rang.

21Exercice 21

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie $E$.

22Exercice 22

Soient $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimensions finies et $f, g \in \mathcal{L}(E, F)$. Montrer $$\operatorname{rg}(f + g) = \operatorname{rg}(f) + \operatorname{rg}(g) \iff \begin{cases} \operatorname{Im}(f) \cap \operatorname{Im}(g) = \{0\} \\ \operatorname{Ker}(f) + \operatorname{Ker}(g) = E \end{cases}.$$

23Exercice 23

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$. Montrer que :

24Exercice 24

(Images et noyaux itérés d'un endomorphisme) Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n \geq 1$ et $f$ un endomorphisme de $E$. Pour tout $p \in \mathbb{N}$, on pose $I_p = \operatorname{Im} f^p$ et $N_p = \operatorname{Ker} f^p$.

25Exercice 25

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie vérifiant $\operatorname{rg}(f^2) = \operatorname{rg}(f)$.

26Exercice 26

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n \in \mathbb{N}$. Montrer qu'il existe un endomorphisme $f$ tel que $\operatorname{Im} f = \operatorname{Ker} f$ si, et seulement si, $n$ est pair.

27Exercice 27

Justifier qu'il existe une unique application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ telle que : $f(1, 0, 0) = (0, 1)$, $f(1, 1, 0) = (1, 0)$ et $f(1, 1, 1) = (1, 1)$. Exprimer $f(x, y, z)$ et déterminer noyau et image de $f$.

28Exercice 28

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n > 1$ (avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Soit $f$ un endomorphisme de $E$ nilpotent d'ordre $n$. On note $C(f) = \{g \in \mathcal{L}(E) \mid g \circ f = f \circ g\}$.

29Exercice 29

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n \in \mathbb{N}^*$ et $\varphi$ une forme linéaire non nulle sur $E$. Montrer que pour tout $u \in E \setminus \operatorname{Ker} \varphi$, $\operatorname{Ker} \varphi$ et $\operatorname{Vect}(u)$ sont supplémentaires dans $E$.

30Exercice 30

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ et $(f_1, f_2, \ldots, f_n)$ une famille de formes linéaires sur $E$. On suppose qu'il existe un vecteur $x \in E$ non nul tel que pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, $f_i(x) = 0$. Montrer que la famille $(f_1, f_2, \ldots, f_n)$ est liée dans $E^*$.

31Exercice 31

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n \geq 1$. Montrer $$\forall x, y \in E,\, x \neq y \Rightarrow \exists \varphi \in E^*,\, \varphi(x) \neq \varphi(y).$$

32Exercice 32

Soit $E$ et $F$ des espaces vectoriels sur $\mathbb{K}$, de dimensions finies ou non. Montrer que $(E \times F)^*$ et $E^* \times F^*$ sont isomorphes.

33Exercice 33

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimensions finies et $G$ un sous-espace vectoriel de $E$. On pose $$A = \{u \in \mathcal{L}(E, F) \mid G \subset \operatorname{Ker}(u)\}.$$

34Exercice 34

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Montrer que l'ensemble des endomorphismes $g$ de $E$ tels que $f \circ g = 0$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ de dimension $\dim E \times \dim \operatorname{Ker} f$.

35Exercice 35

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimensions finies. Soit $W$ un sous-espace vectoriel de $E$. Soit $A$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ s'annulant sur $W$.

36Exercice 36

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $p$. On note $$A_F = \{f \in \mathcal{L}(E) \mid \operatorname{Im} f \subset F\} \quad \text{et} \quad B_F = \{f \in \mathcal{L}(E) \mid F \subset \operatorname{Ker} f\}.$$

37Exercice 37

Soient $E$ et $F$ des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimensions finies et $f \in \mathcal{L}(F, E)$. Exprimer la dimension de $\{g \in \mathcal{L}(E, F) \mid f \circ g \circ f = 0\}$ en fonction du rang de $f$ et des dimensions de $E$ et $F$.

38Exercice 38

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. Montrer que la suite $(P(n))_{n \in \mathbb{N}}$ vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

Cours

1Définition et premiers exemples

2Noyau et image

3Applications linéaires en dimension finie

4Projecteurs, symétries, homothéties

Méthodes17p.1/2

RéflexeDémontrer qu'une application linéaire est injective

Pour démontrer qu'une application linéaire est injective, on montre que son noyau est réduit à

\{0\}

MCConstruire des endomorphismes vérifiant des propriétés particulières