The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Applications : définitions ensemblistes

1.1. Définitions de base

Définition—Application

Soient

E

F

deux ensembles. On appelle application de

E

dans

F

un objet mathématique

f

qui à tout élément

x

E

associe un élément

f(x)

F

. Une telle application est notée

f : \begin{cases} E \longrightarrow F \\ x \longmapsto f(x) \end{cases}

E

F

s'appellent respectivement ensemble de départ et ensemble d'arrivée de

f

Exemple

f : \begin{cases} \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{R} \\ z \longmapsto |z| \end{cases}

est une application de

\mathbb{C}

dans

\mathbb{R}

f : \begin{cases} \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C} \\ x \longmapsto e^{ix} \end{cases}

est une application de

\mathbb{R}

dans

\mathbb{C}

Remarque

Une application n'a pas toujours comme ensembles d'arrivée et de départ des ensembles de réels ou même de nombres. On pourrait par exemple considérer

E

l'ensemble des élèves de la classe,

F

l'ensemble des entiers naturels et

f

l'application de

E

dans

F

qui à un élève associe son âge.

Définition—Image et antécédent

Soit

f

une application de

E

dans

F

Soit $x \in E$ . $f(x)$ s'appelle l'image de $x$ par $f$ .
Soit $y \in F$ . S'il existe $x$ tel que $y = f(x)$ , $x$ est appelé un antécédent de $y$ par $f$ .

Remarque

Un élément de

E

admet toujours une unique image par

f

.

Un élément de

F

peut admettre zéro, un ou plusieurs antécédents par

f

Exemple

Soit

f : \begin{cases} \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto x^2 \end{cases}

$2$ admet pour image $4$ par $f$ .
$-1$ n'admet aucun antécédent par $f$ .
$0$ admet $0$ comme unique antécédent par $f$ .
$4$ admet $2$ et $-2$ comme antécédents par $f$ .

Attention

Il ne faut surtout pas confondre

f

f(x)

f

est une application tandis que

f(x)

est un élément.

Par exemple, on parlera de l'application (ou de la fonction)

\sin

mais jamais de l'application (ou de la fonction)

\sin x

.

De même, on peut parler de l'application (ou de la fonction)

x \mapsto x^2 \cos(x^3)

mais pas de l'application (ou de la fonction)

x^2 \cos(x^3)

.

Si vous faites la confusion entre ces deux écritures, c'est que vous n'avez sans doute rien compris à ce qu'est une application (ou une fonction).

Définition—Graphe

Soit

f : E \to F

une application. On appelle graphe de

f

l'ensemble

\{(x, f(x)), x \in E\} = \{(x, y) \in E \times F, y = f(x)\}

C'est une partie de

E \times F

Remarque

\Gamma

est le graphe d'une application de

E

dans

F

si et seulement si

\Gamma

est une partie de

E \times F

et si

\forall x \in E, \exists! y \in F, (x, y) \in \Gamma

Définition—Image d'une application

Soit

f : E \to F

une application. On appelle image de

f

l'ensemble noté

\text{Im}(f)

des images des éléments de

E

i.e. des éléments de

F

qui ont un antécédent par

f

dans

E

. Plus formellement

\text{Im}(f) = \{y \in F \mid \exists x \in E, y = f(x)\} = \{f(x), x \in E\}

Remarque

Si on vous demande de montrer qu'une application

f : \begin{cases} E \longrightarrow F \\ x \longmapsto f(x) \end{cases}

est bien définie, il s'agit de montrer que pour tout

x \in E

f(x) \in F

, autrement dit que

\text{Im } f \subset F

. Par exemple, l'application

\begin{cases} \mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R}_+ \\ x \longmapsto \ln x \end{cases}

est mal définie tandis que

\begin{cases} \mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto \ln x \end{cases}

est bien définie.

Encadré—Différence entre application et fonction

Bien que le programme officiel stipule de ne pas faire de différence entre applications et fonctions, il existe néanmoins une nuance. Une application est toujours définie sur son ensemble de départ, ce qui n'est pas le cas d'une fonction. Par exemple,

\begin{cases} \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto \sqrt{x} \end{cases}

est une fonction mais pas une application. En revanche,

\begin{cases} \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto \sqrt{x} \end{cases}

est bien une application.

Si

f : E \to F

est une fonction, on appelle ensemble de définition de

f

l'ensemble des

x \in E

tels que

f(x)

est défini. On le note généralement

D_f

. Par exemple, si

f

est la fonction racine carrée, l'ensemble de définition de

f

est

\mathbb{R}_+

Encadré—Représentation graphique

f

est une application (resp. une fonction) dont l'ensemble de départ (resp. l'ensemble de définition)

E

est une partie de

\mathbb{R}

(typiquement un intervalle) et dont l'ensemble d'arrivée est

\mathbb{R}

(ou une partie de

\mathbb{R}

), on peut représenter graphiquement le graphe de

f

. Si on munit le plan d'un repère (orthonormé), l'ensemble des points de coordonnées

(x, f(x))

où

x

décrit

E

est une « courbe » du plan.

Exemple

La courbe ci-contre n'est pas un graphe d'application ou de fonction. En effet, l'argument

x

est associé à plusieurs valeurs, ce qui contredit la contrainte imposée sur un graphe (un élément de l'espace de départ n'a qu'une image dans l'espace d'arrivée).

Remarque—Ensemble des applications

L'ensemble des applications d'un ensemble

E

dans un ensemble

F

se note

F^E

Encadré—Notion de famille

Soient

E

I

deux ensembles. Une application de

I

dans

E

est aussi appelée une famille d'éléments de

E

indexée sur

I

. En particulier, l'ensemble des familles d'éléments de

E

indexées sur

I

se note

E^I

.

Les notions de famille et d'application sont deux visions du même objet. Une application est la manière de passer d'un ensemble à un autre tandis qu'une famille est une « collection d'objets ».

Exemple

Une suite de réels est au choix une famille d'éléments de

\mathbb{R}

indexée sur

\mathbb{N}

ou une application de

\mathbb{N}

dans

\mathbb{R}

. L'ensemble des suites réelles se note donc

\mathbb{R}^\mathbb{N}

Remarque

n

-uplet d'un produit cartésien

E^n

peut être vu comme une famille d'éléments de

E

indexée sur un ensemble à

n

éléments.

Définition—Égalité d'applications

Deux applications

f

g

sont égales si elles ont même ensembles de départ

E

et d'arrivée

F

et même graphe

\Gamma

. L'égalité des graphes est équivalente à la condition suivante :

\forall x \in E, f(x) = g(x)

Attention

En toute rigueur, les applications

\begin{cases} \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto x^2 \end{cases}

\begin{cases} \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto x^2 \end{cases}

\begin{cases} \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}_+ \\ x \longmapsto x^2 \end{cases}

sont trois applications différentes puisque leur ensemble de départ ou d'arrivée diffère.

La première et la dernière ont pourtant le même graphe.

Encadré—Fonction indicatrice

On considère un ensemble

E

. Pour

A \in \mathcal{P}(E)

, on définit l'application

\mathbb{1}_A : \begin{cases} E \longrightarrow \{0, 1\} \\ x \longmapsto \begin{cases} 1 & \text{si } x \in A \\ 0 & \text{si } x \notin A \end{cases} \end{cases}

appelée fonction indicatrice de

A

.

Une fonction indicatrice caractérise complètement une partie de

E

dans le sens où si

A, B \in \mathcal{P}(E)

\mathbb{1}_A = \mathbb{1}_B \iff A = B

On peut également prouver les relations suivantes :

$\mathbb{1}_A^2 = \mathbb{1}_A$
$\mathbb{1}_{\overline{A}} = 1 - \mathbb{1}_A$
$\mathbb{1}_{A\cap B} = \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B$
$\mathbb{1}_{A\cup B} = \mathbb{1}_A + \mathbb{1}_B - \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B$

On peut alors prouver des égalités d'ensembles uniquement par le calcul.

Exemple

Soient

A, B, C \in \mathcal{P}(E)

\mathbb{1}_{A\cap(B\cup C)} = \mathbb{1}_A \mathbb{1}_{B\cup C}

= \mathbb{1}_A(\mathbb{1}_B + \mathbb{1}_C - \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C)

= \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B + \mathbb{1}_A \mathbb{1}_C - \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C

\mathbb{1}_{(A\cap B)\cup(A\cap C)} = \mathbb{1}_{A\cap B} + \mathbb{1}_{A\cap C} - \mathbb{1}_{A\cap B} \mathbb{1}_{A\cap C}

= \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B + \mathbb{1}_A \mathbb{1}_C - \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B \mathbb{1}_A \mathbb{1}_C

= \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B + \mathbb{1}_A \mathbb{1}_C - \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C

Ainsi

\mathbb{1}_{A\cap(B\cup C)} = \mathbb{1}_{(A\cap B)\cup(A\cap C)}

et donc

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

1. Applications : définitions ensemblistes

1.1. Définitions de base

Définition—Application

Soient

E

F

deux ensembles. On appelle application de

E

dans

F

un objet mathématique

f

qui à tout élément

x

E

associe un élément

f(x)

F

. Une telle application est notée

f : \begin{cases} E \longrightarrow F \\ x \longmapsto f(x) \end{cases}

E

F

s'appellent respectivement ensemble de départ et ensemble d'arrivée de

f

Exemple

f : \begin{cases} \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{R} \\ z \longmapsto |z| \end{cases}

est une application de

\mathbb{C}

dans

\mathbb{R}

f : \begin{cases} \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C} \\ x \longmapsto e^{ix} \end{cases}

est une application de

\mathbb{R}

dans

\mathbb{C}

Remarque

Une application n'a pas toujours comme ensembles d'arrivée et de départ des ensembles de réels ou même de nombres. On pourrait par exemple considérer

E

l'ensemble des élèves de la classe,

F

l'ensemble des entiers naturels et

f

l'application de

E

dans

F

qui à un élève associe son âge.

Définition—Image et antécédent

Soit

f

une application de

E

dans

F

Soit $x \in E$ . $f(x)$ s'appelle l'image de $x$ par $f$ .
Soit $y \in F$ . S'il existe $x$ tel que $y = f(x)$ , $x$ est appelé un antécédent de $y$ par $f$ .

Remarque

Un élément de

E

admet toujours une unique image par

f

.

Un élément de

F

peut admettre zéro, un ou plusieurs antécédents par

f

Exemple

Soit

f : \begin{cases} \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto x^2 \end{cases}

$2$ admet pour image $4$ par $f$ .
$-1$ n'admet aucun antécédent par $f$ .
$0$ admet $0$ comme unique antécédent par $f$ .
$4$ admet $2$ et $-2$ comme antécédents par $f$ .

Attention

Il ne faut surtout pas confondre

f

f(x)

f

est une application tandis que

f(x)

est un élément.

Par exemple, on parlera de l'application (ou de la fonction)

\sin

mais jamais de l'application (ou de la fonction)

\sin x

.

De même, on peut parler de l'application (ou de la fonction)

x \mapsto x^2 \cos(x^3)

mais pas de l'application (ou de la fonction)

x^2 \cos(x^3)

.

Si vous faites la confusion entre ces deux écritures, c'est que vous n'avez sans doute rien compris à ce qu'est une application (ou une fonction).

Définition—Graphe

Soit

f : E \to F

une application. On appelle graphe de

f

l'ensemble

\{(x, f(x)), x \in E\} = \{(x, y) \in E \times F, y = f(x)\}

C'est une partie de

E \times F

Remarque

\Gamma

est le graphe d'une application de

E

dans

F

si et seulement si

\Gamma

est une partie de

E \times F

et si

\forall x \in E, \exists! y \in F, (x, y) \in \Gamma

Définition—Image d'une application

Soit

f : E \to F

une application. On appelle image de

f

l'ensemble noté

\text{Im}(f)

des images des éléments de

E

i.e. des éléments de

F

qui ont un antécédent par

f

dans

E

. Plus formellement

\text{Im}(f) = \{y \in F \mid \exists x \in E, y = f(x)\} = \{f(x), x \in E\}

Remarque

Si on vous demande de montrer qu'une application

f : \begin{cases} E \longrightarrow F \\ x \longmapsto f(x) \end{cases}

est bien définie, il s'agit de montrer que pour tout

x \in E

f(x) \in F

, autrement dit que

\text{Im } f \subset F

. Par exemple, l'application

\begin{cases} \mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R}_+ \\ x \longmapsto \ln x \end{cases}

est mal définie tandis que

\begin{cases} \mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto \ln x \end{cases}

est bien définie.

Encadré—Différence entre application et fonction

\begin{cases} \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto \sqrt{x} \end{cases}

est une fonction mais pas une application. En revanche,

\begin{cases} \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto \sqrt{x} \end{cases}

est bien une application.

Si

f : E \to F

est une fonction, on appelle ensemble de définition de

f

l'ensemble des

x \in E

tels que

f(x)

est défini. On le note généralement

D_f

. Par exemple, si

f

est la fonction racine carrée, l'ensemble de définition de

f

est

\mathbb{R}_+

Encadré—Représentation graphique

f

est une application (resp. une fonction) dont l'ensemble de départ (resp. l'ensemble de définition)

E

est une partie de

\mathbb{R}

(typiquement un intervalle) et dont l'ensemble d'arrivée est

\mathbb{R}

(ou une partie de

\mathbb{R}

), on peut représenter graphiquement le graphe de

f

. Si on munit le plan d'un repère (orthonormé), l'ensemble des points de coordonnées

(x, f(x))

où

x

décrit

E

est une « courbe » du plan.

Exemple

La courbe ci-contre n'est pas un graphe d'application ou de fonction. En effet, l'argument

x

est associé à plusieurs valeurs, ce qui contredit la contrainte imposée sur un graphe (un élément de l'espace de départ n'a qu'une image dans l'espace d'arrivée).

Remarque—Ensemble des applications

L'ensemble des applications d'un ensemble

E

dans un ensemble

F

se note

F^E

Encadré—Notion de famille

Soient

E

I

deux ensembles. Une application de

I

dans

E

est aussi appelée une famille d'éléments de

E

indexée sur

I

. En particulier, l'ensemble des familles d'éléments de

E

indexées sur

I

se note

E^I

Exemple

Une suite de réels est au choix une famille d'éléments de

\mathbb{R}

indexée sur

\mathbb{N}

ou une application de

\mathbb{N}

dans

\mathbb{R}

. L'ensemble des suites réelles se note donc

\mathbb{R}^\mathbb{N}

Remarque

n

-uplet d'un produit cartésien

E^n

peut être vu comme une famille d'éléments de

E

indexée sur un ensemble à

n

éléments.

Définition—Égalité d'applications

Deux applications

f

g

sont égales si elles ont même ensembles de départ

E

et d'arrivée

F

et même graphe

\Gamma

. L'égalité des graphes est équivalente à la condition suivante :

\forall x \in E, f(x) = g(x)

Attention

En toute rigueur, les applications

\begin{cases} \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto x^2 \end{cases}

\begin{cases} \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto x^2 \end{cases}

\begin{cases} \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}_+ \\ x \longmapsto x^2 \end{cases}

sont trois applications différentes puisque leur ensemble de départ ou d'arrivée diffère.

La première et la dernière ont pourtant le même graphe.

Encadré—Fonction indicatrice

On considère un ensemble

E

. Pour

A \in \mathcal{P}(E)

, on définit l'application

\mathbb{1}_A : \begin{cases} E \longrightarrow \{0, 1\} \\ x \longmapsto \begin{cases} 1 & \text{si } x \in A \\ 0 & \text{si } x \notin A \end{cases} \end{cases}

appelée fonction indicatrice de

A

.

Une fonction indicatrice caractérise complètement une partie de

E

dans le sens où si

A, B \in \mathcal{P}(E)

\mathbb{1}_A = \mathbb{1}_B \iff A = B

On peut également prouver les relations suivantes :

$\mathbb{1}_A^2 = \mathbb{1}_A$
$\mathbb{1}_{\overline{A}} = 1 - \mathbb{1}_A$
$\mathbb{1}_{A\cap B} = \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B$
$\mathbb{1}_{A\cup B} = \mathbb{1}_A + \mathbb{1}_B - \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B$

On peut alors prouver des égalités d'ensembles uniquement par le calcul.

Exemple

Soient

A, B, C \in \mathcal{P}(E)

\mathbb{1}_{A\cap(B\cup C)} = \mathbb{1}_A \mathbb{1}_{B\cup C}

= \mathbb{1}_A(\mathbb{1}_B + \mathbb{1}_C - \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C)

= \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B + \mathbb{1}_A \mathbb{1}_C - \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C

\mathbb{1}_{(A\cap B)\cup(A\cap C)} = \mathbb{1}_{A\cap B} + \mathbb{1}_{A\cap C} - \mathbb{1}_{A\cap B} \mathbb{1}_{A\cap C}

= \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B + \mathbb{1}_A \mathbb{1}_C - \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B \mathbb{1}_A \mathbb{1}_C

= \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B + \mathbb{1}_A \mathbb{1}_C - \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C

Ainsi

\mathbb{1}_{A\cap(B\cup C)} = \mathbb{1}_{(A\cap B)\cup(A\cap C)}

et donc

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

Ensembles et applications

1. Applications : définitions ensemblistes

1.1. Définitions de base

1. Applications : définitions ensemblistes

1.1. Définitions de base