Soient E et F deux ensembles. On appelle application de E dans F un objet mathématique f qui à tout élément x de E associe un élément f(x) de F. Une telle application est notée f:{E⟶Fx⟼f(x).
E et F s'appellent respectivement ensemble de départ et ensemble d'arrivée de f.
Exemple
f:{C⟶Rz⟼∣z∣ est une application de C dans R.
f:{R⟶Cx⟼eix est une application de R dans C.
Remarque
Une application n'a pas toujours comme ensembles d'arrivée et de départ des ensembles de réels ou même de nombres. On pourrait par exemple considérer E l'ensemble des élèves de la classe, F l'ensemble des entiers naturels et f l'application de E dans F qui à un élève associe son âge.
Définition—Image et antécédent
Soit f une application de E dans F.
Soit x∈E. f(x) s'appelle l'image de x par f.
Soit y∈F. S'il existe x tel que y=f(x), x est appelé un antécédent de y par f.
Remarque
Un élément de E admet toujours une unique image par f.
Un élément de F peut admettre zéro, un ou plusieurs antécédents par f.
Exemple
Soit f:{R⟶Rx⟼x2.
2 admet pour image 4 par f.
−1 n'admet aucun antécédent par f.
0 admet 0 comme unique antécédent par f.
4 admet 2 et −2 comme antécédents par f.
Attention
Il ne faut surtout pas confondre f et f(x).
f est une application tandis que f(x) est un élément.
Par exemple, on parlera de l'application (ou de la fonction) sin mais jamais de l'application (ou de la fonction) sinx.
De même, on peut parler de l'application (ou de la fonction) x↦x2cos(x3) mais pas de l'application (ou de la fonction) x2cos(x3).
Si vous faites la confusion entre ces deux écritures, c'est que vous n'avez sans doute rien compris à ce qu'est une application (ou une fonction).
Définition—Graphe
Soit f:E→F une application. On appelle graphe de f l'ensemble {(x,f(x)),x∈E}={(x,y)∈E×F,y=f(x)}
C'est une partie de E×F.
Remarque
Γ est le graphe d'une application de E dans F si et seulement si Γ est une partie de E×F et si ∀x∈E,∃!y∈F,(x,y)∈Γ
Définition—Image d'une application
Soit f:E→F une application. On appelle image de f l'ensemble noté Im(f) des images des éléments de E i.e. des éléments de F qui ont un antécédent par f dans E. Plus formellement Im(f)={y∈F∣∃x∈E,y=f(x)}={f(x),x∈E}
Remarque
Si on vous demande de montrer qu'une application f:{E⟶Fx⟼f(x) est bien définie, il s'agit de montrer que pour tout x∈E, f(x)∈F, autrement dit que Im f⊂F. Par exemple, l'application {R+∗⟶R+x⟼lnx est mal définie tandis que {R+∗⟶Rx⟼lnx est bien définie.
Encadré—Différence entre application et fonction
Bien que le programme officiel stipule de ne pas faire de différence entre applications et fonctions, il existe néanmoins une nuance. Une application est toujours définie sur son ensemble de départ, ce qui n'est pas le cas d'une fonction. Par exemple, {R⟶Rx⟼x est une fonction mais pas une application. En revanche, {R+⟶Rx⟼x est bien une application.
Si f:E→F est une fonction, on appelle ensemble de définition de f l'ensemble des x∈E tels que f(x) est défini. On le note généralement Df. Par exemple, si f est la fonction racine carrée, l'ensemble de définition de f est R+.
Encadré—Représentation graphique
Si f est une application (resp. une fonction) dont l'ensemble de départ (resp. l'ensemble de définition) E est une partie de R (typiquement un intervalle) et dont l'ensemble d'arrivée est R (ou une partie de R), on peut représenter graphiquement le graphe de f. Si on munit le plan d'un repère (orthonormé), l'ensemble des points de coordonnées (x,f(x)) où x décrit E est une « courbe » du plan.
Exemple
La courbe ci-contre n'est pas un graphe d'application ou de fonction. En effet, l'argument x est associé à plusieurs valeurs, ce qui contredit la contrainte imposée sur un graphe (un élément de l'espace de départ n'a qu'une image dans l'espace d'arrivée).
Remarque—Ensemble des applications
L'ensemble des applications d'un ensemble E dans un ensemble F se note FE.
Encadré—Notion de famille
Soient E et I deux ensembles. Une application de I dans E est aussi appelée une famille d'éléments deEindexée surI. En particulier, l'ensemble des familles d'éléments de E indexées sur I se note EI.
Les notions de famille et d'application sont deux visions du même objet. Une application est la manière de passer d'un ensemble à un autre tandis qu'une famille est une « collection d'objets ».
Exemple
Une suite de réels est au choix une famille d'éléments de R indexée sur N ou une application de N dans R. L'ensemble des suites réelles se note donc RN.
Remarque
Un n-uplet d'un produit cartésien En peut être vu comme une famille d'éléments de E indexée sur un ensemble à n éléments.
Définition—Égalité d'applications
Deux applications f et g sont égales si elles ont même ensembles de départ E et d'arrivée F et même graphe Γ. L'égalité des graphes est équivalente à la condition suivante : ∀x∈E,f(x)=g(x)
Attention
En toute rigueur, les applications {R⟶Rx⟼x2, {R+⟶Rx⟼x2 et {R⟶R+x⟼x2 sont trois applications différentes puisque leur ensemble de départ ou d'arrivée diffère.
La première et la dernière ont pourtant le même graphe.
Encadré—Fonction indicatrice
On considère un ensemble E. Pour A∈P(E), on définit l'application 1A:⎩⎨⎧E⟶{0,1}x⟼{10si x∈Asi x∈/A appelée fonction indicatrice de A.
Une fonction indicatrice caractérise complètement une partie de E dans le sens où si A,B∈P(E), 1A=1B⟺A=B
On peut également prouver les relations suivantes :
1A2=1A
1A=1−1A
1A∩B=1A1B
1A∪B=1A+1B−1A1B
On peut alors prouver des égalités d'ensembles uniquement par le calcul.
Ainsi 1A∩(B∪C)=1(A∩B)∪(A∩C) et donc A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).
2Composition3Image directe, image réciproque4Restriction et prolongement5Injectivité, surjectivité et bijectivité
Distinguer appartenance et inclusion
C'est un concept fondamental. Un élément 'a' appartient à un ensemble E, noté a∈E. Un ensemble A est inclus dans un ensemble E si tous les éléments de A sont aussi dans E, noté A⊂E. Par exemple, pour E={a,b,c}, on a a∈E mais pas a⊂E. En revanche, {a}⊂E. L'ensemble vide ∅ est inclus dans tout ensemble.
Description d'ensembles en compréhension et en extensionManipulation des opérations ensemblistesUtilisation des fonctions caractéristiquesRésolution d'équations ensemblistesManipulation de l'ensemble des partiesDémonstration des propriétés d'une application (Injectivité, Surjectivité)Analyse des propriétés par composition d'applicationsRaisonnement sur les images directes et réciproquesDémonstration d'une relation d'équivalence (R-S-T)
1 / 2
Exercices lies— 26
1Exercice 1
Soit E={a,b,c} un ensemble. Peut-on écrire :
(a) a∈E
(b) a⊂E
(c) {a}⊂E
(d) ∅∈E
(e) ∅⊂E
(f) {∅}⊂E ?
2Exercice 2
Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu'il réunit les éléments d'un ensemble vérifiant une propriété. Un ensemble est dit décrit en extension lorsqu'on cite ses éléments. Par exemple, {n∈Z∣∃k∈Z,n=2k} et {2k∣k∈Z} sont des descriptions respectivement en compréhension et en extension de l'ensemble des entiers pairs.
(a) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble {1,3,5,7,…}
(b) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble {1,10,100,1000,…}
(c) Décrire en extension l'ensemble des nombres rationnels
(d) Décrire en compréhension l'ensemble ]0,1]
(e) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble des valeurs prises par une fonction f:R→R
(f) Décrire en compréhension l'ensemble des antécédents d'un réel y par une fonction f:R→R
3Exercice 3
Décrire P(P({a})) où a désigne un élément.
4Exercice 4
Étant donné A et B deux parties de E, justifier ∁EA∖∁EB=B∖A
5Exercice 5
Étant donné A, B et C trois parties de E, justifier les équivalences suivantes :
(a) A⊂B⇔A∪B=B
(b) A=B⇔A∩B=A∪B
(c) A∪B=A∩C⇔B⊂A⊂C
(d) {A∪B=A∪CA∩B=A∩C⇔B=C
6Exercice 6
Soient A et B deux parties de E, on appelle différence symétrique de A et B, l'ensemble A△B=(A∖B)∪(B∖A) Montrer A△B=(A∪B)∖(A∩B)
7Exercice 7
Étant données A, B et C trois parties d'un ensemble E, montrer que :
(a) A△B=A△C⇔B=C
(b) A∖B=A⇔B∖A=B
(c) A△B=A∩B⇒A=B=∅
8Exercice 8
Soient A, B deux parties de E. Discuter et résoudre l'équation A∩X=B d'inconnue X∈P(E).
9Exercice 9
Soit A une partie d'un ensemble E. On appelle fonction caractéristique de la partie A dans E, l'application 1A:E→R définie par : 1A(x)={10si x∈Asinon De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions caractéristiques ?
(a) min(1A,1B)
(b) max(1A,1B)
(c) 1A⋅1B
(d) 1−1A
(e) 1A+1B−1A⋅1B
(f) (1A−1B)2
10Exercice 10
Soient f:N→N et g:N→N les applications définies par : ∀k∈N,f(k)=2k et g(k)={k/2(k−1)/2si k est pairsi k est impair
(a) Étudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité de f et de g
(b) Préciser les applications g∘f et f∘g. Étudier leur injectivité, surjectivité et bijectivité
11Exercice 11
Soit f:N→Z définie par f(n)=⎩⎨⎧n/2−2n+1si n est pairsinon Montrer que f est bien définie et bijective.
12Exercice 12
Soient E, F, G trois ensembles, f:E→F, g:F→G et h:G→E. Établir que si h∘g∘f est injective et que g∘f∘h et f∘h∘g sont surjectives alors f, g et h sont bijectives.
13Exercice 13
Soient f:E→F et g:F→E deux applications telles que f∘g∘f soit bijective. Montrer que f et g sont bijectives.
14Exercice 14
Soient E, F, G trois ensembles, f1,f2:E→F et g:F→G. On suppose g∘f1=g∘f2 et g injective. Montrer que f1=f2.
15Exercice 15
Soient E, F, G trois ensembles, f:E→F et g1,g2:F→G. On suppose f surjective et g1∘f=g2∘f. Montrer que g1=g2.
16Exercice 16
Décrire l'image directe de R par la fonction exponentielle. Déterminer l'image réciproque de l'intervalle [−1,4] par la fonction f:x↦x2 définie sur R.
17Exercice 17
Soit f:E→F une application. Établir ∀A∈P(E),A⊂f−1(f(A)) et ∀B∈P(F),f(f−1(B))⊂B
18Exercice 18
Soient E et F deux ensembles et f:E→F. Montrer que f est injective si, et seulement si, ∀A,A′∈P(E),f(A∩A′)=f(A)∩f(A′)
19Exercice 19
Soit f:E→F une application. Montrer que :
(a) f est injective ⇔∀A∈P(E),A=f−1(f(A))
(b) f est surjective ⇔∀B∈P(F),f(f−1(B))=B
20Exercice 20
Soit f:E→I une application surjective. On pose, pour tout i∈I, Ai=f−1({i}). Montrer que les Ai sont non vides, deux à deux disjoints, de réunion égale à E.
1. Soient \(E, F, G\) des ensembles, \(f \in \mathcal{F}(E, F)\) et \(g \in \mathcal{F}(F, G)\). Montrer que :
\begin{itemize}
\item \(g \circ f\) injective \(\implies\) \(f\) injective.
\item \(g \circ f\) surjective \(\implies\) \(g\) surjective.
\end{itemize}
2. Soient \(f \in \mathcal{F}(E, F)\), \(g \in \mathcal{F}(F, G)\) et \(h \in \mathcal{F}(G, H)\). Déduire de la question précédente que si \(g \circ f\) et \(h \circ g\) sont bijectives, alors \(f\), \(g\) et \(h\) le sont aussi.
23Exercice 23
Soient \(I\) et \(J\) deux intervalles de \(\mathbb{R}\) et \(f : I \to J\).
Montrer que si \(f\) est strictement monotone sur \(I\), alors \(f\) est injective.
24Exercice 24
Sur $\mathbb{R}^2$, on définit la relation d'équivalence $\mathcal{R}$ par
$$(x, y)\mathcal{R}(x', y') \iff x = x'.$$
Démontrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence, puis déterminer la classe d'équivalence d'un élément $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$.
25Exercice 25
On définit sur $\mathbb{Z}$ la relation $x\mathcal{R}y$ si et seulement si $x + y$ est pair. Montrer qu'on définit ainsi une relation d'équivalence. Quelles sont les classes d'équivalence de cette relation?
26Exercice 26
On définit sur $\mathbb{R}$ la relation $x\mathcal{R}y$ si et seulement si $x^2 - y^2 = x - y$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence.
\item Calculer la classe d'équivalence d'un élément $x$ de $\mathbb{R}$. Combien y-a-t-il d'éléments dans cette classe?
\end{enumerate}
Cours
1Applications : définitions ensemblistes
2Composition
3Image directe, image réciproque
4Restriction et prolongement
5Injectivité, surjectivité et bijectivité
Méthodes11p.1/2
Distinguer appartenance et inclusion
C'est un concept fondamental. Un élément 'a' appartient à un ensemble E, noté a∈E. Un ensemble A est inclus dans un ensemble E si tous les éléments de A sont aussi dans E, noté A⊂E. Par exemple, pour E={a,b,c}, on a a∈E mais pas a⊂E. En revanche, {a}⊂E. L'ensemble vide ∅ est inclus dans tout ensemble.
Description d'ensembles en compréhension et en extension
