Soient f:U→F, a∈U et v∈E. On dit que f est dérivable en a selon le vecteur v si l'application φa,v:t↦f(a+tv) est dérivable en 0. Dans ce cas, on appelle dérivée de f en a selon le vecteur v le vecteur φa,v′(0), que l'on note Dvf(a).
Remarque
Si on note (f1,…,fn) les coordonnées de f:U→F dans une base (f1,…,fn) de F (i.e. fi=fi∗∘f), alors f est dérivable en a selon le vecteur v si et seulement si les fi le sont. De plus,Dvf(a)=i=1∑nDvfi(a)fi
Exemple
L'application f:(x,y)∈R2↦(x2+y2,2xy) est dérivable en tout point (a,b)∈R2 selon tout vecteur (u,v)∈R2 etD(u,v)f(a,b)=2(au+bv,av+bu)
Définition—Dérivées partielles dans une base
Soient (e1,…,ep) une base de E, f:U→F et a∈U. On appelle dérivées partielles de f dans la base (e1,…,ep) les applications Dejf si elles sont définies. On les note ∂xj∂f ou ∂jf.
Remarques
Si E=Rp et qu'on ne précise pas la base dans laquelle on considère les dérivées partielles, c'est qu'on considère implicitement la base canonique de Rp.
Si on note (e1,…,ep) une base de E et (f1,…,fn) les coordonnées de f:U→F dans une base (f1,…,fn) de F, alors f admet des dérivées partielles en a dans la base (e1,…,ep) si et seulement si c'est également le cas pour les fi. De plus,∀j∈[[1,p]],∂jf(a)=i=1∑n∂jfi(a)fi
Méthode—Calculer des dérivées partielles
Lorsque E=Rp et F=Rn, il est très aisé de calculer des dérivées partielles dans la base canonique. Il suffit de dériver chaque composante de la fonction par rapport à une variable les autres étant fixées. Autrement dit, ∂xj∂f est la dérivée de l'application xj↦f(x1,…,xn).
Exemples
L'application f:(x,y)∈R2↦(x2+y2,2xy) admet des dérivées partielles dans la base canonique de R2 en tout point (a,b)∈R2 et∂x∂f(a,b)=2(a,b)et∂y∂f(a,b)=2(b,a)
Attention
Une fonction peut admettre des dérivées partielles sans être continue.
Exemple
Considérons la fonctionf:(x,y)∈R2↦⎩⎨⎧x2+y2xy0si (x,y)=(0,0)sinonAlors f admet des dérivées partielles en tout point de R2 mais n'est pas continue en (0,0).
Par opérations, f admet clairement des dérivées partielles en tout point de R2∖{(0,0)}. De plus, ∂x∂f(0,0)=∂y∂f(0,0)=0.
Par contre, f n'est pas continue en (0,0) puisque f(t,t)=21 pour tout t∈R∗. Ainsi (t,t)t→0(0,0) mais f(t,t)t→021=f(0,0).
Attention
Une fonction peut même admettre des dérivées directionnelles selon tout vecteur sans être continue.
Exemple
Considérons la fonctionf:(x,y)∈R2↦⎩⎨⎧x2+y4xy20si (x,y)=(0,0)sinonAlors f admet des dérivées directionnelles selon tout vecteur en tout point de R2 mais n'est pas continue en (0,0).
Soit u=(h,k) un vecteur non nul de R2. Alors
tf(tu)−f(0,0)=h2+t2k4hk2t→0⎩⎨⎧hk20si k=0si k=0
Donc f admet bien une dérivée directionnelle selon le vecteur u en (0,0).
Par contre, f n'est pas continue en (0,0) puisque f(t2,t)=21 pour tout t∈R∗.
1.2. Différentiabilité
Définition—Négligeabilité
Soit f:U→F. On suppose que 0E∈U. Écrire que f(h)h→0E=o(h) signifie que h→0Elim∥h∥f(h)=0F.
1.3. Lien avec les dérivées partielles
Proposition—Lien entre différentielle et dérivées partielles
Soient (e1,…,ep) une base de E et f:U→F. Si f est différentiable en a, alors f admet des dérivées partielles en a dans la base (e1,…,ep) et∀v∈E,df(a)⋅v=j=1∑p∂jf(a)ej∗(v)ou plus simplement df(a)=j=1∑p∂jf(a)ej∗.
1.4. Gradient d'une fonction numérique
Définition—Gradient
On suppose que E est un espace euclidien. Soit f:U→R. Si f est différentiable en a∈U, on appelle gradient de f en a, l'unique vecteur ∇f(a) de E tel que∀v∈E,df(a)⋅v=⟨∇f(a),v⟩
Si E=R2, les variables d'une application f:R2→F sont notées plus volontiers x et y que x1 et x2. Les dérivées partielles dans la base canonique de R2 seront alors notées ∂x∂f et ∂y∂f plutôt que ∂1f et ∂2f. De même, si E=R3, les dérivées partielles dans la base canonique seront plutôt notées ∂x∂f, ∂y∂f et ∂z∂f.
On pose U={(x,y,z)∈R3,x+y2>0}. L'application f:(x,y,z)∈U↦(ln(x+y2),exz) admet des dérivées partielles sur U et∂x∂f(x,y,z)=(x+y21,zexz)∂y∂f(x,y,z)=(x+y22y,0)∂z∂f(x,y,z)=(0,xexz)
Les applications πi:(x1,…,xp)∈Rp↦xi admettent des dérivées partielles en tout point de Rp et∂xj∂πi(x1,…,xp)=δi,j
Remarque
Les normes que l'on choisit sur E et F n'importent pas car toutes les normes sur un espace de dimension finie sont équivalentes.
Définition—Développement limité à l'ordre 1
Soit f:U→F. Une écriture du typef(a+h)h→0E=c+L(h)+o(h)avec c∈F et L∈L(E,F) s'appelle un développement limité de f à l'ordre 1 en a. Si un tel développement limité existe, il est unique i.e. le vecteur c et l'application linéaire L sont uniques.
Remarque
Ceci signifie que h→0Elim∥h∥f(a+h)−c−L(h)=0F
Définition—Différentiabilité en un point
Soit f:U→F. On dit que f est différentiable en a∈U si f admet un développement limité à l'ordre 1 en a. Dans ce cas, il existe une unique application linéaire L∈L(E,F) telle quef(a+h)h→0E=f(a)+L(h)+o(h)Cette application linéaire s'appelle la différentielle de f en a et se note df(a).
Remarques
La différentielle de f en a est également appelée l'application linéaire tangente à f en a.
Par souci de lisibilité, l'image d'un vecteur v par la différentielle de f en a se notera df(a)⋅v plutôt que df(a)(v).
Proposition
Si on note (f1,…,fn) les coordonnées de f:U→F dans une base (f1,…,fn) de F, alors f est différentiable en a si et seulement si les fi le sont. De plus,∀v∈E,df(a)⋅v=i=1∑n(dfi(a)⋅v)fi
Démonstration bientôt disponible
Exemples
Soit f:(x,y)∈R2↦(x2+y2,2xy). Soit (a,b)∈R2.∀(h,k)∈R2,f((a,b)+(h,k))=f(a,b)+2(ah+bk,bh+ak)+(h2+k2,2hk)L'application L:(h,k)∈R2↦2(ah+bk,bh+ak) est bien linéaire et (h2+k2,2hk)=o((h,k)). On en déduit que f est différentiable en (a,b) et que df(a,b) est l'endomorphisme (h,k)∈R2↦2(ah+bk,bh+ak).
—Différentielle de l'inversion matricielle
On considère l'application f:M∈GLn(R)↦M−1. On va montrer que f est différentiable sur GLn(R) et calculer sa différentielle. Soit M∈GLn(R). On munit Mn(R) d'une norme d'algèbre ∥⋅∥. On montre quef(M+H)H→0=f(M)−M−1HM−1+o(H)L'application H↦−M−1HM−1 est clairement linéaire : f est donc différentiable en M et df(M) est l'application H↦−M−1HM−1.
Proposition
Si f:U→F est différentiable en a∈U, alors
f est continue en a ;
f admet des dérivées en a selon tout vecteur v∈E ;
∀v∈E,df(a)⋅v=Dvf(a).
Démonstration bientôt disponible
Définition—Différentiabilité sur un ouvert
Soit f:U→F. On dit que f est différentiable sur U si f est différentiable en tout point de U. L'applicationdf:{U→L(E,F)a↦df(a)s'appelle la différentielle de f sur U.
Proposition—Cas particuliers
Soit f:U→F.
Si f est constante sur U, alors f est différentiable sur U et df est nulle sur U.
Si f est la restriction à U d'une application linéaire de E dans F, alors f est différentiable sur U et pour tout a∈U, df(a)=f.
Si U est un intervalle ouvert de E=R, alors f est différentiable en a∈U si et seulement si f est dérivable en a et, dans ce cas, f′(a)=df(a)⋅1 ou encore df(a)⋅h=f′(a)h pour tout h∈R.
Démonstration bientôt disponible
Exemple
Les applications πi:(x1,…,xp)∈Rp↦xi sont différentiables sur Rp et pour tout x∈Rp, dπi(x)=πi.
Attention
Une fonction peut être continue et admettre des dérivées selon tout vecteur sans pour autant être différentiable.
Exemple
Considérons la fonctionf:(x,y)∈R2↦⎩⎨⎧x2+y2x2y0si (x,y)=(0,0)sinonAlors f admet des dérivées partielles en tout point de R2 et est continue mais n'est pas différentiable en (0,0).
f est continue en (0,0) car ∣f(x,y)∣≤21∣y∣.
f admet une dérivée en (0,0) selon tout vecteur u=(h,k) non nul et Duf(0,0)=f(u).
Si f était différentiable en (0,0), on aurait Duf(0,0)=h∂x∂f(0,0)+k∂y∂f(0,0)=0. Mais D(1,1)f(0,0)=21=0.
Démonstration bientôt disponible
Remarques
On en déduit un lien entre les dérivées directionnelles et les dérivées partielles si la fonction est différentiable :∀v∈E,Dvf(a)=df(a)⋅v=j=1∑p∂jf(a)ej∗(v)
Dans le cas où E=Rn, les formes linéaires (x1,…,xn)∈Rn↦xi sont souvent notées dxi. Dans ce cas, on peut écrire pour f:U→F différentiable en a∈U,df(a)=i=1∑n∂xi∂f(a)dxi
Exemple
Soit f:(x,y)∈R2↦(x2+y2,2xy). Soit (a,b)∈R2. On a vu que ∂x∂f(a,b)=2(a,b) et ∂y∂f(a,b)=2(b,a). Comme f est différentiable sur R2,df(a,b)⋅(h,k)=2h(a,b)+2k(b,a)=2(ah+bk,bh+ak)
Proposition—Matrice d'une différentielle dans un couple de bases
Soient E=(e1,…,ep) une base de E, F=(f1,…,fn) une base de F et f:U→F. Notons (f1,…,fn) les coordonnées de f dans la base (f1,…,fn). Si f est différentiable en a∈U, alors la matrice de df(a) dans les bases E et F est (∂jfi(a))1≤i≤n1≤j≤p.
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Définition—Matrice jacobienne
Supposons E=Rp et F=Rn. Si f:U→Rn est différentiable en a, la matrice de df(a) dans les bases canoniques de Rp et Rn s'appelle la matrice jacobienne de f en a.
Exemples
L'application f:(x,y)∈R2↦(x2+y2,xy) est différentiable sur R2. Sa matrice jacobienne en un point (a,b)∈R2 est (2ab2ba).
On pose U={(x,y,z)∈R3,x+y2>0}. L'application f:(x,y,z)∈U↦(ln(x+y2),exz) est différentiable sur U. Sa matrice jacobienne en un point (x,y,z)∈U estx+y21zexzx+y22y00xexz
Remarque
On peut toujours munir un R-espace vectoriel de dimension finie d'une structure d'espace euclidien. En effet, si (e1,…,ep) est une base de E, l'application(x,y)∈E2↦k=1∑pek∗(x)ek∗(y)est un produit scalaire. De plus, (e1,…,ep) est alors une base orthonormale pour ce produit scalaire.
Exemple—Gradient du carré de la norme
Soit E un espace euclidien. Posons f:x∈E↦∥x∥2. Fixons a∈E.∀h∈E,f(a+h)=f(a)+2⟨a,h⟩+∥h∥2donc f(a+h)h→0E=f(a)+2⟨a,h⟩+o(h). Ainsi f est différentiable en a et ∇f(a)=2a.
Proposition—Coordonnées du gradient dans une base orthonormale
On suppose que E est un espace euclidien. Soit f:U→R différentiable en a∈U. Les coordonnées de ∇f(a) dans une base orthonormale (e1,…,ep) de E sont les dérivées partielles de f dans cette base :∇f(a)=j=1∑p∂jf(a)ej
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Si E=Rp est muni de son produit scalaire usuel, la base canonique est orthonormale. Par conséquent, si f:U→R est différentiable en a∈U, alors∇f(a)=(∂xj∂f(a))1≤j≤n
Encadré—Interprétation géométrique du gradient
Si ∇f(a)=0E, ∇f(a) est colinéaire et de même sens que le vecteur unitaire selon lequel la dérivée de f en a est maximale. Il suffit en effet de remarquer que pour tout vecteur v unitaireDvf(a)=⟨∇f(a),v⟩≤∥∇f(a)∥∥v∥=∥∇f(a)∥avec égalité si et seulement si v et ∇f(a) sont colinéaires et de même sens (inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité).
Exemples
Considérons l'application f:(x,y)∈R2↦x2+y2. f est différentiable sur R2 car polynomiale. On munit R2 de son produit scalaire usuel. Alors∇f(x,y)=(2x,2y)On peut retrouver la différentielle de f :∀(h,k)∈R2,df(x,y)⋅(h,k)=⟨∇f(x,y),(h,k)⟩=2(xh+yk)
—Gradient et différentielle du déterminant
On munit Mn(R) de son produit scalaire usuel (A,B)↦tr(A⊤B) et on considère l'application det:M∈Mn(R)↦det(M). Cette application est différentiable sur Mn(R) car polynomiale en les coefficients de la matrice. On montre que∀(i,j)∈[[1,n]]2,∂(i,j)det(M)=com(M)i,jd'où ∇det(M)=com(M). On peut alors retrouver la différentielle du déterminant :∀H∈Mn(R),d(det)(M)⋅H=⟨∇det(M),H⟩=tr(com(M)⊤H)
