Calcul différentiel

Cadre : $f:{\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb{R}$, on étudie la limite en $(0,0)$ (même principe en un point quelconque par translation).

Montrer qu'il N'Y A PAS de limite : exhiber deux chemins (ou deux suites $(u_n),(v_n)\to (0,0)$) le long desquels $f$ tend vers des valeurs différentes, ou un seul chemin le long duquel $f$ n'a pas de limite. Chemins réflexes :

• les axes $f(t,0)$ et $f(0,t)$ quand $t\to 0$ ;
• les droites $f(t,\lambda t)$ : si la limite dépend de $\lambda$, c'est réglé ;
• une courbe $f(t,t^2)$ (ou autre) lorsque les droites ne suffisent pas.

Montrer qu'il Y A une limite $\ell$ : la deviner (via $f(t,0)$ ou $f(0,t)$), puis majorer $|f(x,y)-\ell |$ par une quantité qui tend vers $0$. Technique dominante ici : le passage en polaires $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ avec $r\to 0^{+}$. Si $|f(r\cos \theta ,r\sin \theta )-\ell |\le g(r)$ avec $g(r)\to 0$ indépendamment de $\theta$, alors la limite vaut $\ell$. On s'appuie sur $|x|,|y|\le r$ et les inégalités usuelles ($|\sin x|\le \min (1,|x|)$, $\ln (1+x)\le x$, ...).

Attention : une même limite le long de toutes les droites ne prouve PAS l'existence (contre-exemple $f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}$ : limite $0$ sur chaque droite, mais $\frac{1}{2}$ le long de $y=x^2$). Seule une majoration (typiquement polaire) établit l'existence.