On munit R2 de deux lois internes + et × de la manière suivante. Pour (a,b,c,d)∈R4, on pose (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)×(c,d)=(ac−bd,ad+bc) On vérifie que R2 muni de ces deux lois est un corps. On peut alors identifier le sous-corps R×{0} de R2 au corps R.
On convient de noter C le corps R2 et on appelle nombres complexes ses éléments. On convient également de noter un couple (a,b)∈R2 sous la forme a+ib. En particulier, i=(0,1) et i2=(0,1)2=(−1,0)=−1.
Remarque
L'écriture d'un complexe z sous la forme a+ib s'appelle la forme cartésienne ou algébrique de z. La construction de C montre que la forme cartésienne est unique. Autrement dit, pour (a,b,c,d)∈R4 a+ib=c+id⟺{a=cb=d
Règles de calcul : (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d) (a+ib)×(c+id)=(ac−bd)+i(ad+bc)
Définition—Parties réelle et imaginaire
Soit z=a+ib∈C avec (a,b)∈R2. Les réels a et b sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de z. On note : a=Re(z) et b=Im(z).
Remarque
Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un réel et un nombre complexe de partie réelle nulle est un imaginaire pur.
Proposition
Soit (z1,z2)∈C2. Alors Re(z1+z2)=Re(z1)+Re(z2) Im(z1+z2)=Im(z1)+Im(z2) Soient λ∈R et z∈C. Alors Re(λz)=λRe(z) Im(λz)=λIm(z)
On dira plus tard que les applications Re et Im sont des formes R-linéaires.
Attention
Soit (z1,z2)∈C2. En général, Re(z1z2)=Re(z1)Re(z2) et Im(z1z2)=Im(z1)Im(z2).
Définition—Puissances d'un nombre complexe
Soit z∈C. On pose z0=1 et ∀n∈N∗,zn=n foisz×⋯×z. Si z=0, on pose ∀n∈N,z−n=zn1.
Attention
On ne peut parler que de puissances entières d'un nombre complexe. Si z∈C, des notations telles que z31 ou z−23 n'ont AUCUN SENS.
1.2. Le plan complexe
Définition—Image d'un complexe et affixe d'un point ou d'un vecteur
On munit le plan euclidien E d'un repère orthonormé R=(O,i,j).
On appelle image du complexe z le point M de coordonnées (Re(z),Im(z)) dans le repère R.
On appelle affixe du point M de coordonnées (x,y) dans le repère R le complexe z=x+iy.
On appelle affixe du vecteur u=xi+yj le complexe z=x+iy.
1.3. Conjugué d'un nombre complexe
Définition—Conjugué d'un nombre complexe
Soit z∈C. On appelle conjugué de z le nombre complexe zˉ défini par : zˉ=Re(z)−iIm(z) On a par conséquent Re(zˉ)=Re(z) et Im(zˉ)=−Im(z).
1.4. Module d'un nombre complexe
Définition—Module d'un nombre complexe
Soit z∈C. Alors zzˉ est un réel positif. On appelle module de z le réel positif défini par : ∣z∣=zzˉ
Soient (z1,z2)∈C2. Posons z1=a1+ib1 et z2=a2+ib2 avec (a1,b1,a2,b2)∈R4.
D'après les règles de calcul de C (résultant de la construction présentée en 1.1) : z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2)
Par la Définition 1.1, Re(z1+z2)=a1+a2=Re(z1)+Re(z2) et Im(z1+z2)=b1+b2=Im(z1)+Im(z2).
Soient maintenant λ∈R et z=a+ib∈C. D'après les règles de calcul : λz=λ(a+ib)=λa+i(λb)
Par la Définition 1.1, Re(λz)=λa=λRe(z) et Im(λz)=λb=λIm(z).
Remarque
On parle de plan complexe plutôt que de plan euclidien quand on identifie les points par leur affixe plutôt que par leurs coordonnées.
Application
Géométriquement, à quoi correspond l'ensemble des points M d'affixe z tels que Re(z)=a ou Im(z)=b où a et b sont des réels ?
Correction
D'après la Définition 1.3, un point M d'affixe z a pour coordonnées (Re(z),Im(z)) dans le repère orthonormé R=(O,i,j).
Ensemble M:Re(z)=a. La condition Re(z)=a signifie que la première coordonnée du point M est égale à a. L'ensemble des points d'abscisse constante a est une droite verticale, parallèle à l'axe des ordonnées. C'est donc la droite d'équation x=a.
Ensemble M:Im(z)=b. De même, la condition Im(z)=b signifie que la deuxième coordonnée du point M est égale à b. L'ensemble des points d'ordonnée constante b est une droite horizontale, parallèle à l'axe des abscisses. C'est la droite d'équation y=b.
Conclusion : L'ensemble M:Re(z)=a est la droite verticale d'équation x=a (parallèle à l'axe imaginaire), et l'ensemble M:Im(z)=b est la droite horizontale d'équation y=b (parallèle à l'axe réel).
Proposition
Soient A et B deux points d'affixes respectifs a et b. Alors le vecteur AB a pour affixe b−a.
Démonstration
Soient A et B deux points d'affixes respectifs a et b. Par la Définition 1.3, A a pour coordonnées (Re(a),Im(a)) et B a pour coordonnées (Re(b),Im(b)) dans le repère R=(O,i,j).
Le vecteur AB a pour coordonnées (Re(b)−Re(a),Im(b)−Im(a)).
D'après la Proposition 1.1 (linéarité des parties réelle et imaginaire), on a Re(b−a)=Re(b)−Re(a) et Im(b−a)=Im(b)−Im(a).
Donc le vecteur AB a pour coordonnées (Re(b−a),Im(b−a)), ce qui signifie, par la Définition 1.3, que son affixe est b−a.
Proposition—Propriétés de la conjugaison
Soit z∈C. On a les propriétés suivantes.
Re(zˉ)=Re(z) et Im(zˉ)=−Im(z).
Re(z)=2z+zˉ et Im(z)=2iz−zˉ.
zˉˉ=z.
Démonstration
Soit z=a+ib∈C avec (a,b)∈R2. Par la Définition 1.4, zˉ=a−ib.
Première propriété. D'après la Définition 1.1, Re(zˉ)=a=Re(z) et Im(zˉ)=−b=−Im(z).
Deuxième propriété. On calcule directement : z+zˉ=(a+ib)+(a−ib)=2a=2Re(z) d'où Re(z)=2z+zˉ.
De même : z−zˉ=(a+ib)−(a−ib)=2ib d'où 2iz−zˉ=2i2ib=b=Im(z).
Troisième propriété. Par la Définition 1.4 appliquée à zˉ=a−ib : zˉ=a−i(−b)=a+ib=z.
Donc zˉˉ=z.
Méthode—Caractérisation des réels et des imaginaires purs
Pour caractériser les réels et les imaginaires purs, on utilise souvent les propriétés suivantes.
z est réel si et seulement si zˉ=z.
z est imaginaire pur si et seulement si zˉ=−z.
Proposition—Conjugaison et opérations
Soit (z1,z2)∈C2. Alors
z1+z2=z1+z2
z1−z2=z1−z2
z1z2=z1z2
(z2z1)=z2z1 si z2=0
Démonstration
Soient (z1,z2)∈C2. Posons z1=a1+ib1 et z2=a2+ib2 avec (a1,b1,a2,b2)∈R4. Par la Définition 1.4, zˉ1=a1−ib1 et zˉ2=a2−ib2.
Somme. D'après les règles de calcul de 1.1 : z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2), donc par la Définition 1.4 : z1+z2=(a1+a2)−i(b1+b2)=(a1−ib1)+(a2−ib2)=zˉ1+zˉ2.
Différence. De même, z1−z2=(a1−a2)+i(b1−b2), donc : z1−z2=(a1−a2)−i(b1−b2)=zˉ1−zˉ2.
Produit. D'après les règles de calcul de 1.1 : z1z2=(a1a2−b1b2)+i(a1b2+a2b1), donc : z1z2=(a1a2−b1b2)−i(a1b2+a2b1). D'autre part : zˉ1zˉ2=(a1−ib1)(a2−ib2)=(a1a2−b1b2)−i(a1b2+a2b1). Donc z1z2=zˉ1zˉ2.
Quotient (si z2=0). On applique la propriété du produit à z1=z2⋅z2z1 : zˉ1=z2⋅z2z1=zˉ2⋅(z2z1). Comme z2=0, on a zˉ2=0 (par la Proposition 1.5 qui sera établie, mais on peut vérifier directement : z2=0⇒a22+b22>0⇒a2−ib2=0), donc on peut diviser : (z2z1)=zˉ2zˉ1.□
Remarque
Ces propriétés signifient que la conjugaison est un morphisme de corps.
Interprétation géométrique du conjugué : Si z est l'affixe d'un point M, alors zˉ est l'affixe du symétrique M′ de M par rapport à l'axe des abscisses.
Proposition—Propriétés du module
Soit z∈C. On a les propriétés suivantes.
∣z∣=Re(z)2+Im(z)2.
zˉ=0 si et seulement si ∣z∣=0.
∣zˉ∣=∣z∣.
Si z=0, z1=∣z∣2zˉ.
∣Re(z)∣≤∣z∣ et ∣Im(z)∣≤∣z∣.
Démonstration
Soit z=a+ib∈C avec (a,b)∈R2. Par la Définition 1.5, ∣z∣=zzˉ, et par la Définition 1.4, zˉ=a−ib.
Première propriété. On calcule zzˉ=(a+ib)(a−ib)=a2+b2, d'où ∣z∣=a2+b2=Re(z)2+Im(z)2.
Deuxième propriété. Par la première propriété, ∣z∣=0⟺a2+b2=0⟺a=0 et b=0⟺z=0.
Troisième propriété. Par la Définition 1.4, zˉ=a−ib, donc ∣zˉ∣=a2+(−b)2=a2+b2=∣z∣.
Quatrième propriété. Si z=0, alors ∣z∣2=zzˉ=0. On vérifie que z⋅∣z∣2zˉ=∣z∣2zzˉ=∣z∣2∣z∣2=1, donc z1=∣z∣2zˉ.
Cinquième propriété. Par la première propriété, a2≤a2+b2, d'où ∣a∣≤a2+b2=∣z∣, soit ∣Re(z)∣≤∣z∣. De même b2≤a2+b2, d'où ∣Im(z)∣≤∣z∣.
Proposition—Module et opérations
Soit (z1,z2)∈C2. Inégalités triangulaires ∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣ ∣z1−z2∣≥∣∣z1∣−∣z2∣∣ De plus, ∣z1+z2∣=∣z1∣+∣z2∣ si et seulement si il existe λ∈R+ tel que z1=λz2 ou z2=λz1. Module d'un produit et d'un quotient ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣ z2z1=∣z2∣∣z1∣ si z2=0 Par récurrence, on prouve également que pour z∈C et n∈N, ∣zn∣=∣z∣n.
Démonstration
Soient (z1,z2)∈C2.
Module d'un produit. Par la Définition 1.5 et la Proposition 1.4 (conjugaison et opérations) : ∣z1z2∣2=(z1z2)(z1z2)=z1z2zˉ1zˉ2=(z1zˉ1)(z2zˉ2)=∣z1∣2∣z2∣2. Comme ∣z1z2∣≥0 et ∣z1∣∣z2∣≥0, on conclut ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣.
Module d'un quotient. Si z2=0, on applique la propriété du produit à z1=z2⋅z2z1 : ∣z1∣=z2⋅z2z1=∣z2∣⋅z2z1. Come z2=0, on a ∣z2∣>0 (par la Proposition 1.5), donc z2z1=∣z2∣∣z1∣.
Inégalité triangulaire directe. On calcule : ∣z1+z2∣2=(z1+z2)(z1+z2)=(z1+z2)(zˉ1+zˉ2)=∣z1∣2+z1zˉ2+zˉ1z2+∣z2∣2. Or z1zˉ2+zˉ1z2=2Re(z1zˉ2) (car zˉ1z2=z1zˉ2 par la Proposition 1.4 et w+wˉ=2Re(w) par la Proposition 1.3). D'après la Proposition 1.5, Re(z1zˉ2)≤∣z1zˉ2∣=∣z1∣∣z2∣. Donc : ∣z1+z2∣2≤∣z1∣2+2∣z1∣∣z2∣+∣z2∣2=(∣z1∣+∣z2∣)2. En prenant la racine carrée (les deux membres sont positifs) : ∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣.
Inégalité triangulaire inverse. En appliquant l'inégalité directe à z1=(z1−z2)+z2 : ∣z1∣≤∣z1−z2∣+∣z2∣,soit∣z1∣−∣z2∣≤∣z1−z2∣. En échangeant z1 et z2 : ∣z2∣−∣z1∣≤∣z1−z2∣. En combinant les deux : ∣z1∣−∣z2∣≤∣z1−z2∣.
Attention
On a bien ∣z1+z2∣=∣z1∣+∣z2∣⟺∃λ∈R+(z1=λz2 ou z2=λz1).
Méthode—Forme algébrique d'une fraction
Pour mettre une fraction de deux complexes sous forme algébrique, on multiplie le dénominateur par son conjugué et on utilise le fait que pour z∈C, zzˉ=∣z∣2.
Application
Mettre sous forme algébrique les fractions suivantes. 3−2i2−i3,2−i(2+i)(3+2i),(2+3i)(4+i)3+4i
Correction
On applique la méthode algébrique d'une fraction (voir Méthode « Forme algébrique d'une fraction ») : on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, en utilisant que zzˉ=∣z∣2 (Définition 1.5).
Première fraction. Le dénominateur est 3−2i, de conjugué 3+2i et de module au carré ∣3−2i∣2=3+4=7. Ainsi : 3−2i2−i3=7(2−i3)(3+2i)=723+4i−i⋅3−2i2⋅3=723+4i−3i+23=743+i.
Deuxième fraction. On commence par calculer le numérateur : (2+i)(3+2i)=6+4i+3i+2i2=6+7i−2=4+7i. Le dénominateur est 2−i, de conjugué 2+i et de module au carré ∣2−i∣2=5. Donc : 2−i(2+i)(3+2i)=5(4+7i)(2+i)=58+4i+14i+7i2=58+18i−7=51+18i=51+518i.
Troisième fraction. On calcule d'abord le dénominateur : (2+3i)(4+i)=8+2i+12i+3i2=8+14i−3=5+14i. Son conjugué est 5−14i et son module au carré est 25+196=221. Donc : (2+3i)(4+i)3+4i=221(3+4i)(5−14i)=22115−42i+20i−56i2=22115−22i+56=22171−22i.
Interprétation géométrique du module : Si z est un nombre complexe d'image le point M, alors ∣z∣=OM. Si u est un vecteur d'affixe z, ∣z∣=∥u∥.
Proposition
Si A et B sont deux points d'affixes respectifs a et b, alors AB=∣b−a∣.
Démonstration
Soient A et B deux points d'affixes respectifs a et b. Par la Proposition 1.2, le vecteur AB a pour affixe b−a.
D'après l'interprétation géométrique du module (résultant de la Proposition 1.5, qui donne ∣z∣=Re(z)2+Im(z)2, soit la norme euclidienne), la norme du vecteur AB est le module de son affixe : AB=∥AB∥=∣b−a∣.□
Cercles et disques en complexe : Soient A un point d'affixe a et r∈R+.
L'ensemble des points d'affixes z vérifiant ∣z−a∣=r est le cercle de centre A et de rayon r.
L'ensemble des points d'affixes z vérifiant ∣z−a∣≤r est le disque fermé de centre A et de rayon r.
L'ensemble des points d'affixes z vérifiant ∣z−a∣<r est le disque ouvert de centre A et de rayon r.
Application—Modules
Déterminer les nombres complexes z tels que z, 1/z et 1+z soient de même module.
Correction
On cherche z∈C tel que ∣z∣=∣1/z∣=∣1+z∣.
Condition ∣z∣=∣1/z∣. Par la Proposition 1.6 (module d'un quotient), si z=0, ∣1/z∣=1/∣z∣. Donc ∣z∣=1/∣z∣ implique ∣z∣2=1, soit ∣z∣=1 (car ∣z∣≥0). Autrement dit, z∈U (Définition 2.1).
On suppose donc désormais ∣z∣=1, i.e. z=eiθ pour un certain θ∈R (Proposition 2.2).
Condition ∣z∣=∣1+z∣. On a ∣z∣=1, donc on doit résoudre ∣1+eiθ∣=1.
Par la Proposition 1.5, ∣1+eiθ∣2=(1+eiθ)(1+eiθ)=(1+eiθ)(1+e−iθ) (par la Proposition 2.3). On développe : (1+eiθ)(1+e−iθ)=1+eiθ+e−iθ+1=2+2cosθ (par les Relations d'Euler, Proposition 2.4).
Donc la condition ∣1+eiθ∣=1 s'écrit 2+2cosθ=1, soit cosθ=−21.
Les solutions sont θ≡±32π(mod2π), ce qui donne les deux complexes : z=ei32π=−21+i23etz=e−i32π=−21−i23.
Ces deux complexes vérifient bien ∣z∣=1=∣1/z∣ et ∣1+z∣=∣1±23i−21∣=41+43=1.
Conclusion : Les complexes cherchés sont z=e±i32π, soit z=−21±i23.
Remarque—Interprétation géométrique de l'inégalité triangulaire
L'inégalité triangulaire ∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣ s'interprète par OB≤OA+AB.
