The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Corps

\mathbb{C}

des nombres complexes

1.1. Construction de $\mathbb{C}$

On munit

\mathbb{R}^2

de deux lois internes

+

\times

de la manière suivante. Pour

(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4

, on pose

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

(a, b) \times (c, d) = (ac-bd, ad+bc)

On vérifie que

\mathbb{R}^2

muni de ces deux lois est un corps. On peut alors identifier le sous-corps

\mathbb{R} \times \{0\}

\mathbb{R}^2

au corps

\mathbb{R}

On convient de noter

\mathbb{C}

le corps

\mathbb{R}^2

et on appelle nombres complexes ses éléments.
On convient également de noter un couple

(a, b) \in \mathbb{R}^2

sous la forme

a+ib

. En particulier,

i=(0, 1)

i^2 = (0, 1)^2 = (-1, 0) = -1

Remarque

L'écriture d'un complexe

z

sous la forme

a+ib

s'appelle la forme cartésienne ou algébrique de

z

.
La construction de

\mathbb{C}

montre que la forme cartésienne est unique. Autrement dit, pour

(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4

a+ib=c+id \iff \begin{cases} a=c \\ b=d \end{cases}

Règles de calcul :

(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)

(a+ib) \times (c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)

Définition—Parties réelle et imaginaire

Soit

z=a+ib \in \mathbb{C}

avec

(a, b) \in \mathbb{R}^2

. Les réels

a

b

sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de

z

. On note :

a = \mathrm{Re}(z)

b = \mathrm{Im}(z)

Remarque

Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un réel et un nombre complexe de partie réelle nulle est un imaginaire pur.

Proposition

Soit

(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2

. Alors

\mathrm{Re}(z_1 + z_2) = \mathrm{Re}(z_1) + \mathrm{Re}(z_2)

\mathrm{Im}(z_1 + z_2) = \mathrm{Im}(z_1) + \mathrm{Im}(z_2)

Soient

\lambda \in \mathbb{R}

z \in \mathbb{C}

. Alors

\mathrm{Re}(\lambda z) = \lambda \mathrm{Re}(z)

\mathrm{Im}(\lambda z) = \lambda \mathrm{Im}(z)

On dira plus tard que les applications

\mathrm{Re}

\mathrm{Im}

sont des formes

\mathbb{R}

-linéaires.

Attention

Soit

(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2

. En général,

\mathrm{Re}(z_1 z_2) \neq \mathrm{Re}(z_1) \mathrm{Re}(z_2)

\mathrm{Im}(z_1 z_2) \neq \mathrm{Im}(z_1) \mathrm{Im}(z_2)

Définition

Soit

z \in \mathbb{C}

. On pose

z^0 = 1

\forall n \in \mathbb{N}^*, z^n = \underbrace{z \times \dots \times z}_{n \text{ fois}}

.
Si

z \neq 0

, on pose

\forall n \in \mathbb{N}, z^{-n} = \frac{1}{z^n}

Attention

On ne peut parler que de puissances entières d'un nombre complexe. Si

z \in \mathbb{C}

, des notations telles que

z^{\frac{1}{3}}

z^{-\frac{3}{2}}

n'ont AUCUN SENS.

1.2. Le plan complexe

Définition—Image d'un complexe et affixe d'un point ou d'un vecteur

On munit le plan euclidien

E

d'un repère orthonormé

\mathcal{R}=(O, \vec{i}, \vec{j})

On appelle image du complexe $z$ le point $M$ de coordonnées $(\mathrm{Re}(z), \mathrm{Im}(z))$ dans le repère $\mathcal{R}$ .
On appelle affixe du point $M$ de coordonnées $(x, y)$ dans le repère $\mathcal{R}$ le complexe $z=x+iy$ .
On appelle affixe du vecteur $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ le complexe $z=x+iy$ .

1.3. Conjugué d'un nombre complexe

Définition—Conjugué d'un nombre complexe

Soit

z \in \mathbb{C}

. On appelle conjugué de

z

le nombre complexe

\bar{z}

défini par :

\bar{z} = \mathrm{Re}(z) - i\mathrm{Im}(z)

On a par conséquent

\mathrm{Re}(\bar{z}) = \mathrm{Re}(z)

\mathrm{Im}(\bar{z}) = -\mathrm{Im}(z)

1.4. Module d'un nombre complexe

Définition—Module d'un nombre complexe

Soit

z \in \mathbb{C}

. Alors

z\bar{z}

est un réel positif. On appelle module de

z

le réel positif défini par :

|z| = \sqrt{z\bar{z}}

1. Corps

\mathbb{C}

des nombres complexes

1.1. Construction de $\mathbb{C}$

On munit

\mathbb{R}^2

de deux lois internes

+

\times

de la manière suivante. Pour

(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4

, on pose

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

(a, b) \times (c, d) = (ac-bd, ad+bc)

On vérifie que

\mathbb{R}^2

muni de ces deux lois est un corps. On peut alors identifier le sous-corps

\mathbb{R} \times \{0\}

\mathbb{R}^2

au corps

\mathbb{R}

On convient de noter

\mathbb{C}

le corps

\mathbb{R}^2

et on appelle nombres complexes ses éléments.
On convient également de noter un couple

(a, b) \in \mathbb{R}^2

sous la forme

a+ib

. En particulier,

i=(0, 1)

i^2 = (0, 1)^2 = (-1, 0) = -1

Remarque

L'écriture d'un complexe

z

sous la forme

a+ib

s'appelle la forme cartésienne ou algébrique de

z

.
La construction de

\mathbb{C}

montre que la forme cartésienne est unique. Autrement dit, pour

(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4

a+ib=c+id \iff \begin{cases} a=c \\ b=d \end{cases}

Règles de calcul :

(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)

(a+ib) \times (c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)

Définition—Parties réelle et imaginaire

Soit

z=a+ib \in \mathbb{C}

avec

(a, b) \in \mathbb{R}^2

. Les réels

a

b

sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de

z

. On note :

a = \mathrm{Re}(z)

b = \mathrm{Im}(z)

Remarque

Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un réel et un nombre complexe de partie réelle nulle est un imaginaire pur.

Proposition

Soit

(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2

. Alors

\mathrm{Re}(z_1 + z_2) = \mathrm{Re}(z_1) + \mathrm{Re}(z_2)

\mathrm{Im}(z_1 + z_2) = \mathrm{Im}(z_1) + \mathrm{Im}(z_2)

Soient

\lambda \in \mathbb{R}

z \in \mathbb{C}

. Alors

\mathrm{Re}(\lambda z) = \lambda \mathrm{Re}(z)

\mathrm{Im}(\lambda z) = \lambda \mathrm{Im}(z)

On dira plus tard que les applications

\mathrm{Re}

\mathrm{Im}

sont des formes

\mathbb{R}

-linéaires.

Attention

Soit

(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2

. En général,

\mathrm{Re}(z_1 z_2) \neq \mathrm{Re}(z_1) \mathrm{Re}(z_2)

\mathrm{Im}(z_1 z_2) \neq \mathrm{Im}(z_1) \mathrm{Im}(z_2)

Définition

Soit

z \in \mathbb{C}

. On pose

z^0 = 1

\forall n \in \mathbb{N}^*, z^n = \underbrace{z \times \dots \times z}_{n \text{ fois}}

.
Si

z \neq 0

, on pose

\forall n \in \mathbb{N}, z^{-n} = \frac{1}{z^n}

Attention

On ne peut parler que de puissances entières d'un nombre complexe. Si

z \in \mathbb{C}

, des notations telles que

z^{\frac{1}{3}}

z^{-\frac{3}{2}}

n'ont AUCUN SENS.

1.2. Le plan complexe

Définition—Image d'un complexe et affixe d'un point ou d'un vecteur

On munit le plan euclidien

E

d'un repère orthonormé

\mathcal{R}=(O, \vec{i}, \vec{j})

On appelle image du complexe $z$ le point $M$ de coordonnées $(\mathrm{Re}(z), \mathrm{Im}(z))$ dans le repère $\mathcal{R}$ .
On appelle affixe du point $M$ de coordonnées $(x, y)$ dans le repère $\mathcal{R}$ le complexe $z=x+iy$ .
On appelle affixe du vecteur $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ le complexe $z=x+iy$ .

1.3. Conjugué d'un nombre complexe

Définition—Conjugué d'un nombre complexe

Soit

z \in \mathbb{C}

. On appelle conjugué de

z

le nombre complexe

\bar{z}

défini par :

\bar{z} = \mathrm{Re}(z) - i\mathrm{Im}(z)

On a par conséquent

\mathrm{Re}(\bar{z}) = \mathrm{Re}(z)

\mathrm{Im}(\bar{z}) = -\mathrm{Im}(z)

1.4. Module d'un nombre complexe

Définition—Module d'un nombre complexe

Soit

z \in \mathbb{C}

. Alors

z\bar{z}

est un réel positif. On appelle module de

z

le réel positif défini par :

|z| = \sqrt{z\bar{z}}

Nombres complexes

1. Corps C\mathbb{C}C des nombres complexes

1.1. Construction de C\mathbb{C}C

1.2. Le plan complexe

1.3. Conjugué d'un nombre complexe

1.4. Module d'un nombre complexe

1. Corps C\mathbb{C}C des nombres complexes

1.1. Construction de C\mathbb{C}C

1.2. Le plan complexe

1.3. Conjugué d'un nombre complexe

1.4. Module d'un nombre complexe

1. Corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes

1.1. Construction de $\mathbb{C}$

1. Corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes

1.1. Construction de $\mathbb{C}$