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Nombres complexes | The Maths Tailor

Nombres complexes

Cours— 6 sections

1Corps

\mathbb{C}

des nombres complexes

1. Corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes

1.1. Construction de $\mathbb{C}$

On munit

\mathbb{R}^2

de deux lois internes

+

\times

de la manière suivante. Pour

(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4

, on pose

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

(a, b) \times (c, d) = (ac-bd, ad+bc)

On vérifie que

\mathbb{R}^2

muni de ces deux lois est un corps. On peut alors identifier le sous-corps

\mathbb{R} \times \{0\}

\mathbb{R}^2

au corps

\mathbb{R}

On convient de noter

\mathbb{C}

le corps

\mathbb{R}^2

et on appelle nombres complexes ses éléments.
On convient également de noter un couple

(a, b) \in \mathbb{R}^2

sous la forme

a+ib

. En particulier,

i=(0, 1)

i^2 = (0, 1)^2 = (-1, 0) = -1

Remarque

L'écriture d'un complexe

z

sous la forme

a+ib

s'appelle la forme cartésienne ou algébrique de

z

.
La construction de

\mathbb{C}

montre que la forme cartésienne est unique. Autrement dit, pour

(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4

a+ib=c+id \iff \begin{cases} a=c \\ b=d \end{cases}

Règles de calcul :

(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)

(a+ib) \times (c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)

Définition —Parties réelle et imaginaire

Soit

z=a+ib \in \mathbb{C}

avec

(a, b) \in \mathbb{R}^2

. Les réels

a

b

sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de

z

. On note :

a = \mathrm{Re}(z)

b = \mathrm{Im}(z)

Remarque

Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un réel et un nombre complexe de partie réelle nulle est un imaginaire pur.

Proposition

Soit

(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2

. Alors

\mathrm{Re}(z_1 + z_2) = \mathrm{Re}(z_1) + \mathrm{Re}(z_2)

\mathrm{Im}(z_1 + z_2) = \mathrm{Im}(z_1) + \mathrm{Im}(z_2)

Soient

\lambda \in \mathbb{R}

z \in \mathbb{C}

. Alors

\mathrm{Re}(\lambda z) = \lambda \mathrm{Re}(z)

\mathrm{Im}(\lambda z) = \lambda \mathrm{Im}(z)

Démonstration bientôt disponible

On dira plus tard que les applications

\mathrm{Re}

\mathrm{Im}

sont des formes

\mathbb{R}

-linéaires.

Attention

Soit

(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2

. En général,

\mathrm{Re}(z_1 z_2) \neq \mathrm{Re}(z_1) \mathrm{Re}(z_2)

\mathrm{Im}(z_1 z_2) \neq \mathrm{Im}(z_1) \mathrm{Im}(z_2)

Définition

Soit

z \in \mathbb{C}

. On pose

z^0 = 1

\forall n \in \mathbb{N}^*, z^n = \underbrace{z \times \dots \times z}_{n \text{ fois}}

.
Si

z \neq 0

, on pose

\forall n \in \mathbb{N}, z^{-n} = \frac{1}{z^n}

Attention

On ne peut parler que de puissances entières d'un nombre complexe. Si

z \in \mathbb{C}

, des notations telles que

z^{\frac{1}{3}}

z^{-\frac{3}{2}}

n'ont AUCUN SENS.

1.2. Le plan complexe

Définition —Image d'un complexe et affixe d'un point ou d'un vecteur

On munit le plan euclidien

E

d'un repère orthonormé

\mathcal{R}=(O, \vec{i}, \vec{j})

On appelle image du complexe $z$ le point $M$ de coordonnées $(\mathrm{Re}(z), \mathrm{Im}(z))$ dans le repère $\mathcal{R}$ .
On appelle affixe du point $M$ de coordonnées $(x, y)$ dans le repère $\mathcal{R}$ le complexe $z=x+iy$ .
On appelle affixe du vecteur $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ le complexe $z=x+iy$ .

Remarque

On parle de plan complexe plutôt que de plan euclidien quand on identifie les points par leur affixe plutôt que par leurs coordonnées.

Application

Géométriquement, à quoi correspond l'ensemble des points

M

d'affixe

z

tels que

\mathrm{Re}(z) = a

\mathrm{Im}(z) = b

où

a

b

sont des réels ?

Correction bientôt disponible

Proposition

Soient

A

B

deux points d'affixes respectifs

a

b

. Alors le vecteur

\vec{AB}

a pour affixe

b-a

Démonstration bientôt disponible

1.3. Conjugué d'un nombre complexe

Définition —Conjugué d'un nombre complexe

Soit

z \in \mathbb{C}

. On appelle conjugué de

z

le nombre complexe

\bar{z}

défini par :

\bar{z} = \mathrm{Re}(z) - i\mathrm{Im}(z)

On a par conséquent

\mathrm{Re}(\bar{z}) = \mathrm{Re}(z)

\mathrm{Im}(\bar{z}) = -\mathrm{Im}(z)

Proposition —Propriétés de la conjugaison

Soit

z \in \mathbb{C}

. On a les propriétés suivantes.

$\mathrm{Re}(\bar{z}) = \mathrm{Re}(z)$ et $\mathrm{Im}(\bar{z}) = -\mathrm{Im}(z)$ .
$\mathrm{Re}(z) = \frac{z+\bar{z}}{2}$ et $\mathrm{Im}(z) = \frac{z-\bar{z}}{2i}$ .
$\bar{\bar{z}} = z$ .

Démonstration bientôt disponible

Méthode —Caractérisation des réels et des imaginaires purs

Pour caractériser les réels et les imaginaires purs, on utilise souvent les propriétés suivantes.

$z$ est réel si et seulement si $\bar{z} = z$ .
$z$ est imaginaire pur si et seulement si $\bar{z} = -z$ .

Proposition —Conjugaison et opérations

Soit

(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2

. Alors

$\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$
$\overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2}$
$\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \, \overline{z_2}$
$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$ si $z_2 \neq 0$

Démonstration bientôt disponible

Remarque

Ces propriétés signifient que la conjugaison est un morphisme de corps.

Interprétation géométrique du conjugué : Si

z

est l'affixe d'un point

M

, alors

\bar{z}

est l'affixe du symétrique

M'

M

par rapport à l'axe des abscisses.

1.4. Module d'un nombre complexe

Définition —Module d'un nombre complexe

Soit

z \in \mathbb{C}

. Alors

z\bar{z}

est un réel positif. On appelle module de

z

le réel positif défini par :

|z| = \sqrt{z\bar{z}}

Proposition —Propriétés du module

Soit

z \in \mathbb{C}

. On a les propriétés suivantes.

$|z| = \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}$ .
$\bar{z} = 0$ si et seulement si $|z| = 0$ .
$|\bar{z}| = |z|$ .
Si $z \neq 0$ , $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$ .
$|\mathrm{Re}(z)| \le |z|$ et $|\mathrm{Im}(z)| \le |z|$ .

Démonstration bientôt disponible

Proposition —Module et opérations

Soit

(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2

.
Inégalités triangulaires

|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|

|z_1 - z_2| \ge ||z_1| - |z_2||

De plus,

|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|

si et seulement si il existe

\lambda \in \mathbb{R}_+

tel que

z_1 = \lambda z_2

z_2 = \lambda z_1

.
Module d'un produit et d'un quotient

|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|

\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \text{ si } z_2 \neq 0

Par récurrence, on prouve également que pour

z \in \mathbb{C}

n \in \mathbb{N}

|z^n| = |z|^n

Démonstration bientôt disponible

Attention

On a bien

|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2| \iff \exists \lambda \in \mathbb{R}_+ (z_1 = \lambda z_2 \text{ ou } z_2 = \lambda z_1)

Méthode —Forme algébrique d'une fraction

Pour mettre une fraction de deux complexes sous forme algébrique, on multiplie le dénominateur par son conjugué et on utilise le fait que pour

z \in \mathbb{C}

z\bar{z} = |z|^2

Application

Mettre sous forme algébrique les fractions suivantes.

\frac{2-i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2i}, \quad \frac{(2+i)(3+2i)}{2-i}, \quad \frac{3+4i}{(2+3i)(4+i)}

Correction bientôt disponible

Interprétation géométrique du module : Si

z

est un nombre complexe d'image le point

M

, alors

|z| = OM

. Si

\vec{u}

est un vecteur d'affixe

z

|z| = \|\vec{u}\|.

Proposition

A

B

sont deux points d'affixes respectifs

a

b

, alors

AB = |b-a|

Démonstration bientôt disponible

Cercles et disques en complexe : Soient

A

un point d'affixe

a

r \in \mathbb{R}_+

L'ensemble des points d'affixes $z$ vérifiant $|z-a|=r$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $r$ .
L'ensemble des points d'affixes $z$ vérifiant $|z-a| \le r$ est le disque fermé de centre $A$ et de rayon $r$ .
L'ensemble des points d'affixes $z$ vérifiant $|z-a| < r$ est le disque ouvert de centre $A$ et de rayon $r$ .

Application —Modules

Déterminer les nombres complexes

z

tels que

z

1/z

1+z

soient de même module.

Correction bientôt disponible

Remarque —Interprétation géométrique de l'inégalité triangulaire

L'inégalité triangulaire

|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|

s'interprète par

OB \le OA + AB

2Groupe

\mathbb{U}

des nombres complexes de module 1

3Equations du second degré

4Complexes et géométrie

5Applications à la trigonométrie

6Exponentielle complexe

MCMise sous forme trigonométrique d'un complexe

Pour mettre sous forme trigonométrique un complexe

z=a+ib

, on met en facteur le module

\sqrt{a^2+b^2}

, puis on cherche un angle

\theta

tel que

\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}

\sin \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

.
Pour trouver

\theta

, on peut s'aider du cercle trigonométrique.

Pour mettre sous forme trigonométrique la somme de deux nombres complexes de même module, on factorise par l'angle moitié :

r e^{i\alpha} + r e^{i\beta} = r e^{i(\alpha+\beta)/2} (e^{i(\alpha-\beta)/2} + e^{-i(\alpha-\beta)/2}) = 2r \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) e^{i(\alpha+\beta)/2}

Attention!

\cos((\alpha-\beta)/2)

n'est pas nécessairement positif, on n'a pas toujours automatiquement la forme trigonométrique. Dans le cas où ce réel est négatif, il faut faire un décalage d'angle de

\pi

RéflexeRacine n-ième d'un nombre complexe

RéflexeRésolution de l'équation e^z = w

MCApplications des nombres complexes à la trigonométrie

Forme exponentielle des complexes

Module et argument

Conjugué complexe

Lieu géométrique complexe

Formules de l'angle moitié

Racine carrée de complexe

1 / 3

Exercices lies— 15

1Exercice 1

Déterminer les primitives suivantes :

(a) $\displaystyle \int \cos t \sin t\, dt$
(b) $\displaystyle \int \tan t\, dt$
(c) $\displaystyle \int \cos^3 t\, dt$

2Exercice 2

Déterminer les primitives suivantes :

(a) $\displaystyle \int \dfrac{t^2}{1 + t^3}\, dt$
(b) $\displaystyle \int \dfrac{t}{\sqrt{1 + t^2}}\, dt$
(c) $\displaystyle \int \dfrac{t}{1 + t^4}\, dt$

3Exercice 3

Déterminer les primitives suivantes :

(a) $\displaystyle \int \dfrac{dt}{it + 1}$
(b) $\displaystyle \int e^t \cos t\, dt$
(c) $\displaystyle \int t \sin t e^t\, dt$

4Exercice 4

Déterminer les primitives suivantes :

(a) $\displaystyle \int (t^2 - t + 1)e^{-t}\, dt$
(b) $\displaystyle \int (t - 1)\sin t\, dt$
(c) $\displaystyle \int (t + 1)\cosh t\, dt$

5Exercice 5

6Exercice 6

Pour

a

b

des réels tels que

ab > 0

, on considère

I(a, b) = \int_{a}^{b} \dfrac{1 - x^2}{(1 + x^2) \sqrt{1 + x^4}} \, dx.

(a) Calculer $I(-b, -a)$ , $I(1/a, 1/b)$ et $I(1/a, a)$ en fonction $I(a, b)$ .
(b) Pour $a, b > 1$ , calculer $I(a, b)$ via changement de variables $v = x + 1/x$ puis $v = 1/t$ .
(c) Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour tout $a, b$ tels que $ab > 0$ .

7Exercice 7

Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable ad hoc :

(a) $\int_{0}^{\pi} \dfrac{\sin t}{3 + \cos^2 t} \, dt$
(b) $\int_{1}^{2} \dfrac{dt}{\sqrt{t + 2t}}$
(c) $\int_{1}^{2} \dfrac{\ln(1+t) - \ln t}{t^2} \, dt$

9Exercice 9

Résoudre les équations suivantes d'inconnue

x \in \mathbb{R}

:

a)

\cos x = 0

.

b)

\sin x = -1

.

c)

\cos x = \frac{1}{2}

.

d)

e^{ix} = -i

.

e)

e^{ix} = \frac{-1+i}{\sqrt{2}}

10Exercice 10

Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants :
a)

i

. b)

1+i

. c)

-4

. d)

\sqrt{3}+3i

\frac{i}{1+i}

11Exercice 11

Calculer le module et la forme algébrique de

\frac{(2-i)(1+3i)}{3+4i}

12Exercice 12

Déterminer l'ensemble des nombres complexes

z \in \mathbb{C} \setminus \{i\}

pour lesquels :
a)

\frac{z+2}{z-i}

est un imaginaire pur. b)

\frac{z+2}{z-i}

est de module 1.
On décrira géométriquement chacun des deux ensembles ainsi obtenus.

13Exercice 13

Montrer que le nombre

\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}

est un imaginaire pur pour tout

\theta \in \mathbb{R}

14Exercice 14

1. On considère le nombre complexe

z = \sqrt{3} + i

.
(a) Donner l'écriture trigonométrique de

z

.
(b) Comment choisir l'entier naturel

n

pour que

z^n

soit un imaginaire pur ?
2. (a) Soient

u_1

u_2

les deux nombres complexes distincts tels que

u_1^2 = u_2^2 = z

avec

u_1

de partie réelle positive et

u_2

de partie réelle négative. Quels sont les modules de

u_1

u_2

?
(b) Déterminer des arguments de

u_1

u_2

.
3. On pose

u_1 = x + iy

avec

x

y

réels.
Prouver que :

\begin{cases} x^2 - y^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 2xy = 1 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases}

En déduire les valeurs de

x

y

.
4. En déduire les valeurs exactes de

\cos(\frac{\pi}{12})

et de

\sin(\frac{\pi}{12})

15Exercice 15

Soit

P

le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct

(O,\vec{u},\vec{v})

.
Soient

A

B

C

des points d'affixes respectives

i

-i

-3i

.
A tout point

M

d'affixe

z

tel que

z \neq -3i

, on associe le point

M'

d'affixe

z'

définie par :

z' = \frac{3iz - 1}{z + 3i}

.
1. Déterminer les points

M

tels que

M' = M

.
2. Montrer que, pour

z \neq i

z \neq -3i

, on a :

\frac{z' + i}{z' - i} = 2\frac{z + i}{z - i}

.
3. Soit

\Pi

l'ensemble des points

M

tels que

\frac{MB}{MA} = \frac{1}{2}

.
(a) Déterminer et construire

\Pi

(préciser les éléments de cette construction). Vérifier que

C

appartient à

\Pi

.
(b) Montrer, en utilisant 2., que si

M

appartient à

\Pi \setminus \{C\}

, alors

M'

appartient à une droite fixe que l'on précisera.

16Exercice 16

1) a) Montrer que pour tout

\theta \in \mathbb{R}

\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}

\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}

(formules d'Euler).

b) En déduire que pour tous

\theta \in \mathbb{R}

e^{i\theta} - 1 = 2i e^{i\frac{\theta}{2}} \sin \frac{\theta}{2}

.

2) Soient

x \in \mathbb{R}

n \in \mathbb{N}

. On suppose que

x

n'est pas un multiple entier de

\pi

et on pose :

S = \sum_{k=0}^n e^{2ikx} = 1 + e^{2ix} + e^{4ix} + ... + e^{2inx}

.

a) Simplifier

S

en remarquant que

S

est une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.

b) En utilisant le résultat de la question 1), montrer que :

S = e^{inx} \frac{\sin((n+1)x)}{\sin x}

.

c) En déduire que :

\sum_{k=0}^n \cos(2kx) = 1 + \cos(2x) + \cos(4x) + ... + \cos(2nx) = \frac{\sin((n+1)x)}{\sin x} \cos(nx)

Cours

1Corps

\mathbb{C}

des nombres complexes

2Groupe

\mathbb{U}

des nombres complexes de module 1

3Equations du second degré

4Complexes et géométrie

5Applications à la trigonométrie

6Exponentielle complexe

Méthodes28p.1/3

MCMise sous forme trigonométrique d'un complexe

Pour mettre sous forme trigonométrique un complexe

z=a+ib

, on met en facteur le module

\sqrt{a^2+b^2}

, puis on cherche un angle

\theta

tel que

\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}

\sin \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

.
Pour trouver

\theta

, on peut s'aider du cercle trigonométrique.

Pour mettre sous forme trigonométrique la somme de deux nombres complexes de même module, on factorise par l'angle moitié :

r e^{i\alpha} + r e^{i\beta} = r e^{i(\alpha+\beta)/2} (e^{i(\alpha-\beta)/2} + e^{-i(\alpha-\beta)/2}) = 2r \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) e^{i(\alpha+\beta)/2}

Attention!

\cos((\alpha-\beta)/2)

n'est pas nécessairement positif, on n'a pas toujours automatiquement la forme trigonométrique. Dans le cas où ce réel est négatif, il faut faire un décalage d'angle de