The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Fonctions convexes

1.1. Définition et propriétés

Définition—Convexité

Soit

f : I \to \mathbb{R}

une application.

On dit que $f$ est convexe sur $I$ si : $\forall (a, b) \in I^2, \forall t \in [0, 1], f((1 - t)a + tb) \leq (1 - t)f(a) + tf(b)$
On dit que $f$ est concave sur $I$ si : $\forall (a, b) \in I^2, \forall t \in [0, 1], f((1 - t)a + tb) \geq (1 - t)f(a) + tf(b)$

Remarque

Pour tout

t \in [0, 1]

, le réel

(1 - t)a + tb

est compris entre

a

b

et appartient donc à

I

puisque

I

est un intervalle.

Remarque

Une application

f : I \to \mathbb{R}

est concave sur

I

si et seulement si

-f

est convexe sur

I

Encadré—Interprétation graphique de la convexité

Soit

(a, b) \in I^2

. Pour

t \in [0, 1]

, posons

x_t = (1 - t)a + tb

et notons

$F_t$ le point du graphe de $f$ d'abscisse $x_t$ ;
$S_t$ le point du segment $[F_0F_1]$ d'abscisse $x_t$ .

Lorsque

t

décrit

[0, 1]

S_t

décrit le segment

[F_0F_1]

F_t

décrit l'arc du graphe compris entre

F_0

F_1

. La condition de convexité dit simplement que

F_t

est toujours situé au-dessous de

S_t

. Géométriquement, tout arc du graphe de

f

est situé au-dessous de la corde correspondante.

De manière similaire, dire que

f

est concave signifie tout arc du graphe de

f

est situé au-dessus de la corde correspondante.

Proposition—Croissance des pentes

Soient

f : I \to \mathbb{R}

a \in I

. Alors

f

est convexe si et seulement si

x \in I \setminus \{a\} \mapsto \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

est croissante.

Encadré—Interprétation graphique de l'inégalité des trois pentes

L'inégalité des trois cordes s'interprète de la manière suivante

\text{pente de la corde AB} \leq \text{pente de la corde AC} \leq \text{pente de la corde BC}

Encadré—Régularité d'une fonction convexe

Soit

f

une fonction convexe sur un intervalle

I

. L'inégalité des trois cordes montre que le taux de variation en un point

a \in I

est croissant sur

I

. Le théorème de la limite monotone permet d'affirmer que le taux de variation en

a

admet une limite finie à gauche et à droite si

a \in \mathring{I}

. Ainsi

f

est dérivable à gauche et à droite sur

\mathring{I}

et donc a fortiori continue sur

\mathring{I}

.

Néanmoins,

f

n'est pas nécessairement continue sur

I

I

est fermé : il peut y avoir discontinuité aux extrémités de

I

1. Fonctions convexes

1.1. Définition et propriétés

Définition—Convexité

Soit

f : I \to \mathbb{R}

une application.

On dit que $f$ est convexe sur $I$ si : $\forall (a, b) \in I^2, \forall t \in [0, 1], f((1 - t)a + tb) \leq (1 - t)f(a) + tf(b)$
On dit que $f$ est concave sur $I$ si : $\forall (a, b) \in I^2, \forall t \in [0, 1], f((1 - t)a + tb) \geq (1 - t)f(a) + tf(b)$

Remarque

Pour tout

t \in [0, 1]

, le réel

(1 - t)a + tb

est compris entre

a

b

et appartient donc à

I

puisque

I

est un intervalle.

Remarque

Une application

f : I \to \mathbb{R}

est concave sur

I

si et seulement si

-f

est convexe sur

I

Encadré—Interprétation graphique de la convexité

Soit

(a, b) \in I^2

. Pour

t \in [0, 1]

, posons

x_t = (1 - t)a + tb

et notons

$F_t$ le point du graphe de $f$ d'abscisse $x_t$ ;
$S_t$ le point du segment $[F_0F_1]$ d'abscisse $x_t$ .

Lorsque

t

décrit

[0, 1]

S_t

décrit le segment

[F_0F_1]

F_t

décrit l'arc du graphe compris entre

F_0

F_1

. La condition de convexité dit simplement que

F_t

est toujours situé au-dessous de

S_t

. Géométriquement, tout arc du graphe de

f

est situé au-dessous de la corde correspondante.

De manière similaire, dire que

f

est concave signifie tout arc du graphe de

f

est situé au-dessus de la corde correspondante.

Proposition—Croissance des pentes

Soient

f : I \to \mathbb{R}

a \in I

. Alors

f

est convexe si et seulement si

x \in I \setminus \{a\} \mapsto \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

est croissante.

Encadré—Interprétation graphique de l'inégalité des trois pentes

L'inégalité des trois cordes s'interprète de la manière suivante

\text{pente de la corde AB} \leq \text{pente de la corde AC} \leq \text{pente de la corde BC}

Encadré—Régularité d'une fonction convexe

Soit

f

une fonction convexe sur un intervalle

I

. L'inégalité des trois cordes montre que le taux de variation en un point

a \in I

est croissant sur

I

. Le théorème de la limite monotone permet d'affirmer que le taux de variation en

a

admet une limite finie à gauche et à droite si

a \in \mathring{I}

. Ainsi

f

est dérivable à gauche et à droite sur

\mathring{I}

et donc a fortiori continue sur

\mathring{I}

.

Néanmoins,

f

n'est pas nécessairement continue sur

I

I

est fermé : il peut y avoir discontinuité aux extrémités de

I