The Maths Tailor

Minimum et inégalité symétrique

Soit

f

la fonction définie sur

] 0, + \infty [

par

f (x) = 1 + x (1 + \frac{1}{x})

.

Montrer que $f^{'} (x) = \frac{x x - 1}{2 x x 1 + x}$ .
Déterminer $a, b, c \in R$ tels que pour tout $x \in R$ , on a $x^{3} - 1 = (x - 1) (a x^{2} + b x + c)$ .
Étudier les variations de $f$ .
Trouver le minimum de $f$ sur $] 0, + \infty [$ .
En déduire que, pour tous $a, b \in] 0, + \infty [$ , $a + b (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 22$ , l'égalité ayant lieu si et seulement si $a = b$ .

Indication

Racines et inégalité triangle

Soient

a, b, c \in R^{+}

tels que

c \leq a + b

,

a \leq b + c

et

b \leq a + c

.

Indication

Inégalités AM-GM itérées

Soient

a, b, c \in R^{+}

.

Montrer que : $2 ab \leq a + b$ .
En déduire que : $8 ab c \leq (a + b) (b + c) (c + a)$ .
Montrer que : $a + b - c a - b + c \leq a$ .
En déduire que : $8 (a + b - c) (b + c - a) (c + a - b) \leq (a + b) (b + c) (c + a)$ .

Indication

Produit avec contrainte ab c = 1

Soient

a, b, c \in R^{+*}

tels que

ab c = 1

. On veut montrer que :

(a - 1 + \frac{1}{b}) (b - 1 + \frac{1}{c}) (c - 1 + \frac{1}{a}) \leq 1

.

Indication

Convexité