Soit
f:I→R et
a∈I. On pose
φa:x∈I∖{a}↦x−af(x)−f(a).
(⇒) Supposons f convexe, montrons φa croissante.Soient
x<y dans
I∖{a}. On veut montrer
φa(x)≤φa(y), c'est-à-dire :
x−af(x)−f(a)≤y−af(y)−f(a)On distingue plusieurs cas selon la position relative de
a,
x,
y.
*Cas
a<x<y.* On écrit
x comme combinaison convexe de
a et
y : il existe
t∈(0,1) tel que
x=(1−t)a+ty (prendre
t=y−ax−a). Par convexité de
f (Définition 1.1) :
f(x)≤(1−t)f(a)+tf(y)=f(a)+t(f(y)−f(a))Donc
f(x)−f(a)≤t(f(y)−f(a))=y−ax−a(f(y)−f(a)), ce qui donne, en divisant par
x−a>0 :
x−af(x)−f(a)≤y−af(y)−f(a)*Cas
x<y<a.* On écrit
y comme combinaison convexe de
x et
a :
y=(1−t)x+ta avec
t=a−xy−x∈(0,1). Par convexité :
f(y)≤(1−t)f(x)+tf(a)En développant :
f(y)−f(a)≤(1−t)(f(x)−f(a)). Divisant par
y−a<0 (ce qui inverse l'inégalité) :
y−af(y)−f(a)≥y−a(1−t)(f(x)−f(a))Or
1−t=a−xa−y et
y−a=−(a−y), donc
y−a1−t=y−a(a−y)/((a−x))=a−x−1=x−a1. Ainsi :
y−af(y)−f(a)≥x−af(x)−f(a)*Cas
x<a<y.* En appliquant le premier cas avec le rôle de
x et
a échangé (ou directement) : on écrit
a=(1−t)x+ty avec
t=y−xa−x∈(0,1). Par convexité :
f(a)≤(1−t)f(x)+tf(y)D'où
(1−t)(f(a)−f(x))≤t(f(y)−f(a)), et comme
1−t=y−xy−a,
t=y−xa−x :
a−xf(a)−f(x)≤y−af(y)−f(a)ce qui s'écrit bien
φa(x)≤φa(y).
(⇐) Supposons φa croissante pour tout a∈I, montrons f convexe.Soient
(a,b)∈I2 et
t∈[0,1]. Posons
c=(1−t)a+tb∈I. Si
a=b ou
t∈{0,1}, l'inégalité est une égalité. Supposons
a<b et
t∈(0,1), de sorte que
a<c<b.
La croissance de
φc donne (avec
a<c et
c<b, mais
a,b∈I∖{c}) :
a−cf(a)−f(c)≤b−cf(b)−f(c)On a
a−c=−(1−t)(b−a)<0 et
b−c=(1−t)(b−a)⋅b−cb−c... Plus directement, posons
α=c−a=t(b−a)>0 et
β=b−c=(1−t)(b−a)>0. La croissance de
φc donne :
a−cf(a)−f(c)≤b−cf(b)−f(c)⟹αf(c)−f(a)≤βf(b)−f(c)Donc
β(f(c)−f(a))≤α(f(b)−f(c)), soit
(1−t)(f(c)−f(a))≤t(f(b)−f(c)).
En développant :
(1−t)f(c)−(1−t)f(a)≤tf(b)−tf(c), d'où
f(c)≤(1−t)f(a)+tf(b).
Ainsi
f((1−t)a+tb)≤(1−t)f(a)+tf(b), ce qui est exactement la Définition 1.1 de la convexité.