Convexité

Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur $[a, a+2h]$ (avec $a \in \mathbb{R}$ et $h > 0$).
Montrer
$$\exists c \in ]a, a+2h[, \quad f(a+2h) - 2f(a+h) + f(a) = h^2 f''(c).$$
(Indice : introduire $\varphi(x) = f(x+h) - f(x)$.)

Soient $a,b,c \in \mathbb{R}^+$.
(a) Montrer que : $2\sqrt{ab} \leq a + b$.
(b) En déduire que : $8abc \leq (a+b)(b+c)(c+a)$.
(c) Montrer que : $\sqrt{a+b-c}\sqrt{a-b+c} \leq a$.
(d) En déduire que : $8(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq (a+b)(b+c)(c+a)$.

Soient $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ tels que $c \leq a+b$, $a \leq b+c$ et $b \leq a+c$.
(a) Montrer que, pour tous $x, y \in \mathbb{R}^+$ : $2(x+y) \geq (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2$.
(b) Montrer que : $\sqrt{a+b-c} + \sqrt{b+c-a} \leq 2\sqrt{b}$.
(c) En déduire que : $\sqrt{a+b-c} + \sqrt{b+c-a} + \sqrt{a+c-b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}$.

Soient $a,b,c \in \mathbb{R}^{+*}$ tels que $abc = 1$. On veut montrer que :
$\left(a - 1 + \frac{1}{b}\right)\left(b - 1 + \frac{1}{c}\right)\left(c - 1 + \frac{1}{a}\right) \leq 1$.

1. Montrer que la dérivée de la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{1+x}(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})$ est $f'(x) = \frac{x\sqrt{x} - 1}{2x\sqrt{x}\sqrt{1+x}}$.
2. (a) Déterminer $a,b,c \in \mathbb{R}$ tels que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $x^3 - 1 = (x-1)(ax^2 + bx + c)$.
(b) Étudier les variations de $f$.
(c) Trouver le minimum de $f$ sur $]0,+\infty[$.
3. En déduire que, pour tous $a,b \in ]0,+\infty[$, $\sqrt{a+b}(\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}) \geq 2\sqrt{2}$, l'égalité ayant lieu si et seulement si $a = b$.

Soit $p \in ]0,1[$. On note $f$ la fonction $x \mapsto x \ln \frac{x}{p} + (1-x) \ln \frac{1-x}{1-p}$.
1) a) Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$.
b) Montrer que $f$ est dérivable sur $D$ et calculer $f'(x)$ pour tout $x \in D$.
c) Montrer que $f'$ est dérivable sur $D$, puis que pour tout $x \in D$ : $f''(x) = \frac{1}{x(1-x)}$.
d) Résoudre l'équation : $f'(x) = 0$ d'inconnue $x \in D$.
e) En déduire les variations de $f$ sur $D$, puis montrer que $f$ est positive ou nulle sur $D$. Les limites aux bornes ne sont pas demandées dans un premier temps.
2) a) Déterminer une équation de la tangente de la fonction logarithme en 1.
b) Montrer, en étudiant la fonction $x \mapsto \ln x - x$, que pour tout $x > 0$ : $\ln x \leq x - 1$. Interprétation graphique ?
c) En déduire que pour tout $x > 0$ : $\ln x \leq 2(\sqrt{x} - 1)$.
d) En déduire que : $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$, puis que : $\lim_{x\to 0} x \ln x = 0$.
e) En déduire les limites de $f$ aux bornes de son ensemble $D$ de définition.

Montrer que, pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ : $2xy \leq x^2 + y^2$.

On utilisera ce résultat dans les questions suivantes.

Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}^{+*}$ : $x + \frac{1}{x} \geq 2$.

Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, $\left|x + \frac{1}{x}\right| \geq 2$.

Soient $\alpha < \beta$ des éléments de $]0, \frac{\pi}{2}[$. Montrer que $\frac{\sin \beta}{\sin \alpha} < \frac{\beta}{\alpha}$.