The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Dérivabilité en un point, fonction dérivée

1.1. Définitions et premières propriétés

Définition—Dérivabilité en un point

Soient

f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

une application et

a \in \mathrm{I}

. On dit que

f

est dérivable en

a

si le taux d'accroissement de

f

a

\begin{cases} \mathrm{I} \setminus \{a\} & \longrightarrow \mathbb{R}\\ x & \longmapsto \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} \end{cases}

admet une limite finie en

a

. Dans ce cas, cette limite s'appelle le nombre dérivé de

f

a

et se note

f'(a)

\mathrm{D}f(a)

ou encore

\dfrac{df}{dx}(a)

si la variable de la fonction

f

est notée

x

Remarque

Cette définition peut aussi se formuler en termes de développement limité. Se reporter à ce chapitre.

Encadré—Interprétation géométrique

Une fonction dérivable en

a

admet une tangente en

a

et le nombre dérivé en

a

est la pente de cette tangente.

Encadré—Interprétation cinématique

f(t)

désigne l'abscisse d'un point mobile sur un axe en fonction du temps

t

f'(t)

est la vitesse instantanée du point à l'instant

t

Proposition—Dérivabilité implique continuité

Soit

f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

une fonction dérivable en

a \in \mathrm{I}

. Alors

f

est continue en

a

Attention

La réciproque est totalement fausse comme le montre l'exemple classique de la fonction valeur absolue : fonction continue en 0 mais non dérivable en 0. Mais il y a pire : il existe des fonctions continues sur

\mathbb{R}

mais dérivables nulle part.

Définition—Dérivabilité à gauche, à droite

Soient

f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

une application et

a \in \mathrm{I}

On dit que $f$ est dérivable à gauche en $a$ si le taux d'accroissement de $f$ en $a$ admet une limite finie à gauche en $a$ . Dans ce cas, cette limite s'appelle le nombre dérivé à gauche de $f$ en $a$ et se note $f'_g(a)$ .
On dit que $f$ est dérivable à droite en $a$ si le taux d'accroissement de $f$ en $a$ admet une limite finie à droite en $a$ . Dans ce cas, cette limite s'appelle le nombre dérivé à droite de $f$ en $a$ et se note $f'_d(a)$ .

Encadré—Interprétation géométrique

Une fonction

f

dérivable à gauche (resp. à droite) en

a

admet une demi-tangente à gauche (resp. à droite) en

a

f'_g(a)

(resp.

f'_d(a)

) est la pente de cette demi-tangente.

Proposition

Soient

f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

une application et

a \in \mathrm{I}

. Alors

f

est dérivable en

a

si et seulement si

f

est dérivable à gauche et à droite en

a

avec

f'_g(a) = f'_d(a)

.

Dans ce cas

f'(a) = f'_g(a) = f'_d(a)

Exemple

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.

La fonction

f : \begin{cases}\mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R}\\ x & \longmapsto \begin{cases}\ln(1 + x) \text{ si } x \geq 0\\ \sin x \text{ si } x < 0\end{cases}\end{cases}

est dérivable en 0 et

f'(0) = 1

Proposition—Dérivabilité sur un intervalle

Soit

f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

une application. On dit que

f

est dérivable sur

\mathrm{I}

f

est dérivable en tout point de

\mathrm{I}

. L'application

x \mapsto f'(x)

notée

f'

est appelée fonction dérivée de

f

ou plus simplement dérivée de

f

.

On note

\mathcal{D}(\mathrm{I}, \mathbb{R})

l'ensemble des fonctions dérivables sur

\mathrm{I}

1.2. Opérations sur la dérivabilité

Proposition—Opérations algébriques et dérivée en un point

Soient

f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

g : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

. Soit

a \in \mathrm{I}

. On suppose

f

g

dérivables en

a

.

Somme

f + g

est dérivable en

a

(f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)

.

Produit

fg

est dérivable en

a

(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)

.

Inverse Si

f(a) \neq 0

\dfrac{1}{f}

est dérivable en

a

\left(\dfrac{1}{f}\right)'(a) = -\dfrac{f'(a)}{f(a)^2}

.

Quotient Si

g(a) \neq 0

\dfrac{f}{g}

est dérivable en

a

\left(\dfrac{f}{g}\right)'(a) = \dfrac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2}

1. Dérivabilité en un point, fonction dérivée

1.1. Définitions et premières propriétés

Définition—Dérivabilité en un point

Soient

f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

une application et

a \in \mathrm{I}

. On dit que

f

est dérivable en

a

si le taux d'accroissement de

f

a

\begin{cases} \mathrm{I} \setminus \{a\} & \longrightarrow \mathbb{R}\\ x & \longmapsto \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} \end{cases}

admet une limite finie en

a

. Dans ce cas, cette limite s'appelle le nombre dérivé de

f

a

et se note

f'(a)

\mathrm{D}f(a)

ou encore

\dfrac{df}{dx}(a)

si la variable de la fonction

f

est notée

x

Remarque

Cette définition peut aussi se formuler en termes de développement limité. Se reporter à ce chapitre.

Encadré—Interprétation géométrique

Une fonction dérivable en

a

admet une tangente en

a

et le nombre dérivé en

a

est la pente de cette tangente.

Encadré—Interprétation cinématique

f(t)

désigne l'abscisse d'un point mobile sur un axe en fonction du temps

t

f'(t)

est la vitesse instantanée du point à l'instant

t

Proposition—Dérivabilité implique continuité

Soit

f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

une fonction dérivable en

a \in \mathrm{I}

. Alors

f

est continue en

a

Attention

\mathbb{R}

mais dérivables nulle part.

Définition—Dérivabilité à gauche, à droite

Soient

f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

une application et

a \in \mathrm{I}

On dit que $f$ est dérivable à gauche en $a$ si le taux d'accroissement de $f$ en $a$ admet une limite finie à gauche en $a$ . Dans ce cas, cette limite s'appelle le nombre dérivé à gauche de $f$ en $a$ et se note $f'_g(a)$ .
On dit que $f$ est dérivable à droite en $a$ si le taux d'accroissement de $f$ en $a$ admet une limite finie à droite en $a$ . Dans ce cas, cette limite s'appelle le nombre dérivé à droite de $f$ en $a$ et se note $f'_d(a)$ .

Encadré—Interprétation géométrique

Une fonction

f

dérivable à gauche (resp. à droite) en

a

admet une demi-tangente à gauche (resp. à droite) en

a

f'_g(a)

(resp.

f'_d(a)

) est la pente de cette demi-tangente.

Proposition

Soient

f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

une application et

a \in \mathrm{I}

. Alors

f

est dérivable en

a

si et seulement si

f

est dérivable à gauche et à droite en

a

avec

f'_g(a) = f'_d(a)

.

Dans ce cas

f'(a) = f'_g(a) = f'_d(a)

Exemple

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.

La fonction

f : \begin{cases}\mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R}\\ x & \longmapsto \begin{cases}\ln(1 + x) \text{ si } x \geq 0\\ \sin x \text{ si } x < 0\end{cases}\end{cases}

est dérivable en 0 et

f'(0) = 1

Proposition—Dérivabilité sur un intervalle

Soit

f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

une application. On dit que

f

est dérivable sur

\mathrm{I}

f

est dérivable en tout point de

\mathrm{I}

. L'application

x \mapsto f'(x)

notée

f'

est appelée fonction dérivée de

f

ou plus simplement dérivée de

f

.

On note

\mathcal{D}(\mathrm{I}, \mathbb{R})

l'ensemble des fonctions dérivables sur

\mathrm{I}

1.2. Opérations sur la dérivabilité

Proposition—Opérations algébriques et dérivée en un point

Soient

f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

g : \mathrm{I} \to \mathbb{R}

. Soit

a \in \mathrm{I}

. On suppose

f

g

dérivables en

a

.

Somme

f + g

est dérivable en

a

(f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)

.

Produit

fg

est dérivable en

a

(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)

.

Inverse Si

f(a) \neq 0

\dfrac{1}{f}

est dérivable en

a

\left(\dfrac{1}{f}\right)'(a) = -\dfrac{f'(a)}{f(a)^2}

.

Quotient Si

g(a) \neq 0

\dfrac{f}{g}

est dérivable en

a

\left(\dfrac{f}{g}\right)'(a) = \dfrac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2}