Soient f:I→R une application et a∈I. On dit que f est dérivable ena si le taux d'accroissement defena⎩⎨⎧I∖{a}x⟶R⟼x−af(x)−f(a)admet une limite finie en a. Dans ce cas, cette limite s'appelle le nombre dérivé defena et se note f′(a), Df(a) ou encore dxdf(a) si la variable de la fonction f est notée x.
Remarque
Cette définition peut aussi se formuler en termes de développement limité. Se reporter à ce chapitre.
Encadré—Interprétation géométrique
Une fonction dérivable en a admet une tangente en a et le nombre dérivé en a est la pente de cette tangente.
Encadré—Interprétation cinématique
Si f(t) désigne l'abscisse d'un point mobile sur un axe en fonction du temps t, f′(t) est la vitesse instantanée du point à l'instant t.
Proposition—Dérivabilité implique continuité
Soit f:I→R une fonction dérivable en a∈I. Alors f est continue en a.
Démonstration
Soit f:I→R dérivable en a∈I. On veut montrer que f est continue en a, c'est-à-dire que x→alimf(x)=f(a).
Pour x∈I∖{a}, on écrit la décomposition :f(x)−f(a)=x−af(x)−f(a)⋅(x−a)Par la Définition 1.1, f est dérivable en a, donc le taux d'accroissement x−af(x)−f(a) admet la limite finie f′(a) lorsque x→a. D'autre part, (x−a)→0 lorsque x→a.
Par produit de limites :x→alim(f(x)−f(a))=f′(a)⋅0=0Donc x→alimf(x)=f(a), ce qui signifie exactement que f est continue en a.
Attention
La réciproque est totalement fausse comme le montre l'exemple classique de la fonction valeur absolue : fonction continue en 0 mais non dérivable en 0. Mais il y a pire : il existe des fonctions continues sur R mais dérivables nulle part.
Définition—Dérivabilité à gauche, à droite
Soient f:I→R une application et a∈I.
On dit que f est dérivable à gauche ena si le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie à gauche en a. Dans ce cas, cette limite s'appelle le nombre dérivé à gauche defena et se note fg′(a).
On dit que f est dérivable à droite ena si le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie à droite en a. Dans ce cas, cette limite s'appelle le nombre dérivé à droite defena et se note fd′(a).
Encadré—Interprétation géométrique
Une fonction f dérivable à gauche (resp. à droite) en a admet une demi-tangente à gauche (resp. à droite) en a et fg′(a) (resp. fd′(a)) est la pente de cette demi-tangente.
Proposition
Soient f:I→R une application et a∈I∘. Alors f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable à gauche et à droite en a avec fg′(a)=fd′(a).
Dans ce cas f′(a)=fg′(a)=fd′(a).
Exemple
La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
La fonction f:⎩⎨⎧Rx⟶R⟼{ln(1+x) si x≥0sinx si x<0 est dérivable en 0 et f′(0)=1.
Proposition—Dérivabilité sur un intervalle
Soit f:I→R une application. On dit que f est dérivable surI si f est dérivable en tout point de I. L'application x↦f′(x) notée f′ est appelée fonction dérivée de f ou plus simplement dérivée de f.
On note D(I,R) l'ensemble des fonctions dérivables sur I.
1.2. Opérations sur la dérivabilité
Proposition—Opérations algébriques et dérivée en un point
Soient f:I→R et g:I→R. Soit a∈I. On suppose f et g dérivables en a.
Sommef+g est dérivable en a et (f+g)′(a)=f′(a)+g′(a).
Produitfg est dérivable en a et (fg)′(a)=f′(a)g(a)+f(a)g′(a).
Inverse Si f(a)=0, f1 est dérivable en a et (f1)′(a)=−f(a)2f′(a).
Quotient Si g(a)=0, gf est dérivable en a et (gf)′(a)=g(a)2f′(a)g(a)−f(a)g′(a).
(⇒) Supposons f dérivable en a. Par la Définition 1.1, x−af(x)−f(a) admet une limite finie f′(a) lorsque x→a. En particulier, cette fonction de x admet une limite à gauche et une limite à droite en a, et ces deux limites valent toutes deux f′(a). Donc f est dérivable à gauche et à droite en a (par la Définition 1.2), avec fg′(a)=fd′(a)=f′(a).
(⇐) Supposons f dérivable à gauche et à droite en a avec fg′(a)=fd′(a)=:ℓ. Cela signifie (par la Définition 1.2) que la limite à gauche et la limite à droite du taux d'accroissement x−af(x)−f(a) en a existent et sont égales à ℓ. Donc le taux d'accroissement admet la limite finie ℓ en a (limite bilatérale). Ainsi f est dérivable en a et f′(a)=ℓ=fg′(a)=fd′(a).
Démonstration bientôt disponible
Démonstration
Soient f,g:I→R dérivables en a∈I. On démontre chaque formule en partant de la définition (Définition 1.1).
Somme. Pour x=a :x−a(f+g)(x)−(f+g)(a)=x−af(x)−f(a)+x−ag(x)−g(a)x→af′(a)+g′(a)Donc f+g est dérivable en a et (f+g)′(a)=f′(a)+g′(a).
Produit. Pour x=a :x−a(fg)(x)−(fg)(a)=x−af(x)−f(a)⋅g(x)+f(a)⋅x−ag(x)−g(a)Par la Proposition 1.1, f est continue en a (donc f(x)→f(a)), et de même g est continue en a (donc g(x)→g(a)). On obtient à la limite : (fg)′(a)=f′(a)g(a)+f(a)g′(a).
Inverse. Supposons f(a)=0. Par la Proposition 1.1, f est continue en a, donc f ne s'annule pas au voisinage de a, ce qui rend f1 bien définie au voisinage de a. Pour x=a :x−af(x)1−f(a)1=f(x)f(a)(x−a)f(a)−f(x)=−f(x)f(a)1⋅x−af(x)−f(a)En passant à la limite (en utilisant f(x)→f(a) et x−af(x)−f(a)→f′(a)) :(f1)′(a)=−f(a)2f′(a)Quotient. Supposons g(a)=0. On écrit gf=f⋅g1. Par la formule de l'inverse, g1 est dérivable en a avec (g1)′(a)=−g(a)2g′(a). Par la formule du produit :(gf)′(a)=f′(a)⋅g(a)1+f(a)⋅(−g(a)2g′(a))=g(a)2f′(a)g(a)−f(a)g′(a)
Proposition—Opérations algébriques et dérivée sur un intervalle
Soient f:I→R et g:I→R. On suppose f et g dérivables sur I.
Sommef+g est dérivable sur I et (f+g)′=f′+g′.
Produitfg est dérivable sur I et (fg)′=f′g+fg′.
Inverse Si f ne s'annule pas sur I, f1 est dérivable sur I et (f1)′=−f2f′.
Quotient Si g ne s'annule pas sur I, gf est dérivable sur I et (gf)′=g2f′g−fg′.
Démonstration
Soient f,g:I→R dérivables sur I. Les formules sur un intervalle s'obtiennent en appliquant la Proposition 1.4 en chaque point a∈I.
Pour tout a∈I, f et g sont dérivables en a, donc par la Proposition 1.4 : - (f+g)′(a)=f′(a)+g′(a), donc (f+g)′=f′+g′. - (fg)′(a)=f′(a)g(a)+f(a)g′(a), donc (fg)′=f′g+fg′. - Si f ne s'annule pas sur I, (f1)′(a)=−f(a)2f′(a), donc (f1)′=−f2f′. - Si g ne s'annule pas sur I, (gf)′(a)=g(a)2f′(a)g(a)−f(a)g′(a), donc (gf)′=g2f′g−fg′.
Remarque
On en déduit que D(I,R) est un R-espace vectoriel.
Proposition—Dérivabilité et composition
Soit f:I→R et g:J→R deux applications. Soit a∈I. On suppose f(I)⊂J.
Dérivabilité en un point Si f est dérivable en a et g est dérivable en f(a), alors g∘f est dérivable en a et (g∘f)′(a)=f′(a)×(g′∘f)(a).
Dérivabilité sur un intervalle Si f est dérivable sur I et g est dérivable sur J, alors g∘f est dérivable sur I et (g∘f)′=(g′∘f)f′.
Démonstration
Soit f:I→R et g:J→R avec f(I)⊂J. Supposons f dérivable en a∈I et g dérivable en b=f(a)∈J.
Pour x∈I∖{a}, on veut étudier le taux d'accroissement de g∘f en a.
Cas 1 : f(x)=f(a) pour x au voisinage de a. On écrit :x−ag(f(x))−g(f(a))=f(x)−f(a)g(f(x))−g(f(a))⋅x−af(x)−f(a)Lorsque x→a, par la dérivabilité de f en a (Définition 1.1), x−af(x)−f(a)→f′(a). De plus, par la Proposition 1.1, f est continue en a, donc f(x)→f(a)=b, et la dérivabilité de g en b donne f(x)−bg(f(x))−g(b)→g′(b). Par produit de limites : (g∘f)′(a)=g′(f(a))⋅f′(a).
Cas 2 : général. On pose h:J→R définie parh(y)=⎩⎨⎧y−bg(y)−g(b)g′(b)si y=bsi y=bPar dérivabilité de g en b, h est continue en b. On vérifie que g(y)−g(b)=h(y)(y−b) pour tout y. Alors :x−ag(f(x))−g(f(a))=h(f(x))⋅x−af(x)−f(a)Lorsque x→a : f(x)→f(a)=b (continuité de f par Proposition 1.1), donc h(f(x))→h(b)=g′(b). On conclut (g∘f)′(a)=g′(b)⋅f′(a)=(g′∘f)(a)⋅f′(a).
La formule sur l'intervalle s'obtient en appliquant ce résultat en chaque point a∈I.
Exemple
La fonction x↦xarcsinx est dérivable sur ]−1,1[∖{0}. En effet,
arcsin est dérivable sur ]−1,1[ ainsi que x↦x donc, par produit, x↦xarcsinx est dérivable sur ]−1,1[ ;
x↦xarcsinx est positive ou nulle sur ]−1,1[ et ne s'y annule qu'en 0, donc x↦xarcsinx est dérivable sur ]−1,1[∖{0} à valeurs dans R+∗ ;
x↦x est dérivable sur R+∗ donc, par composition, x↦xarcsinx est dérivable sur ]−1,1[∖{0}.
Proposition—Dérivabilité et application réciproque
Soit f:I→J une application bijective dérivable en a∈I. Alors f−1 est dérivable en b=f(a) si et seulement si f′(a)=0 et, dans ce cas :(f−1)′(b)=f′(a)1=f′(f−1(b))1
Démonstration
Soit f:I→J bijective dérivable en a∈I, et soit b=f(a).
(⇐) Supposons f′(a)=0. Pour x∈I∖{a}, posons y=f(x). Comme f est bijective, y=b (car x=a). On a x=f−1(y), donc :y−bf−1(y)−f−1(b)=f(x)−f(a)x−a=x−af(x)−f(a)1Lorsque x→a, x−af(x)−f(a)→f′(a)=0, donc y−bf−1(y)−b→∞ (ou n'a pas de limite finie), donc f−1 n'est pas dérivable en b.
(⇒) Supposons f′(a)=0. Pour y∈J∖{b}, posons x=f−1(y)∈I∖{a}. On a :y−bf−1(y)−f−1(b)=f(x)−f(a)x−a=x−af(x)−f(a)1Lorsque y→b, comme f−1 est continue en b (car f est bijective et f est continue en a par Proposition 1.1), on a x=f−1(y)→f−1(b)=a. Donc x−af(x)−f(a)→f′(a)=0, et :(f−1)′(b)=f′(a)1=f′(f−1(b))1
Exemple—Dérivée de arctan et arcsin
La fonction tan:]−2π,2π[→R est bijective, dérivable, et tan′=1+tan2 ne s'annule pas. Donc arctan:R→]−2π,2π[ est dérivable sur R et, par la Proposition 1.7 :arctan′(y)=tan′(arctan(y))1=1+tan2(arctan(y))1=1+y21.De même, sin:]−2π,2π[→]−1,1[ est bijective, dérivable, et cos>0 sur ]−2π,2π[. Donc arcsin:]−1,1[→]−2π,2π[ est dérivable et :arcsin′(y)=cos(arcsin(y))1=1−y21.
Proposition—Dérivabilité et application réciproque
Soit f:I→J une application bijective dérivable sur I. Si f′ ne s'annule pas sur I, alors f−1 est dérivable sur J et :(f−1)′=f′∘f−11
Démonstration
Soit f:I→J bijective dérivable sur I avec f′ ne s'annulant pas sur I.
Pour tout b∈J, il existe un unique a=f−1(b)∈I tel que f(a)=b. Comme f est dérivable en a et f′(a)=0, la Proposition 1.7 assure que f−1 est dérivable en b, avec :(f−1)′(b)=f′(a)1=f′(f−1(b))1=(f′∘f−1)(b)1Ceci étant valable pour tout b∈J, f−1 est dérivable sur J et (f−1)′=f′∘f−11.
Remarque
On retrouve facilement cette formule en dérivant la relation f∘f−1=IdJ.
