Dérivabilité

Soit $f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}$ dérivable en $a \in \mathrm{I}$. On veut montrer que $f$ est continue en $a$, c'est-à-dire que $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Pour $x \in \mathrm{I} \setminus \{a\}$, on écrit la décomposition :

$$f(x) - f(a) = \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot (x - a)$$

Par la Définition 1.1, $f$ est dérivable en $a$, donc le taux d'accroissement $\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$ admet la limite finie $f'(a)$ lorsque $x \to a$. D'autre part, $(x - a) \to 0$ lorsque $x \to a$.

Par produit de limites :

$$\lim_{x \to a} \left( f(x) - f(a) \right) = f'(a) \cdot 0 = 0$$

Donc $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, ce qui signifie exactement que $f$ est continue en $a$.

Soit $f : \mathrm{I} \to \mathbb{R}$ et $a \in \mathrm{I}$.

($\Rightarrow$) Supposons $f$ dérivable en $a$. Par la Définition 1.1, $\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$ admet une limite finie $f'(a)$ lorsque $x \to a$. En particulier, cette fonction de $x$ admet une limite à gauche et une limite à droite en $a$, et ces deux limites valent toutes deux $f'(a)$. Donc $f$ est dérivable à gauche et à droite en $a$ (par la Définition 1.2), avec $f'_g(a) = f'_d(a) = f'(a)$.

($\Leftarrow$) Supposons $f$ dérivable à gauche et à droite en $a$ avec $f'_g(a) = f'_d(a) =: \ell$. Cela signifie (par la Définition 1.2) que la limite à gauche et la limite à droite du taux d'accroissement $\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$ en $a$ existent et sont égales à $\ell$. Donc le taux d'accroissement admet la limite finie $\ell$ en $a$ (limite bilatérale). Ainsi $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = \ell = f'_g(a) = f'_d(a)$.

Soient $f, g : \mathrm{I} \to \mathbb{R}$ dérivables en $a \in \mathrm{I}$. On démontre chaque formule en partant de la définition (Définition 1.1).

Somme. Pour $x \neq a$ :
$$\dfrac{(f+g)(x) - (f+g)(a)}{x-a} = \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} + \dfrac{g(x)-g(a)}{x-a} \xrightarrow[x \to a]{} f'(a) + g'(a)$$
Donc $f+g$ est dérivable en $a$ et $(f+g)'(a) = f'(a)+g'(a)$.

Produit. Pour $x \neq a$ :
$$\dfrac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a} = \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot g(x) + f(a) \cdot \dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}$$
Par la Proposition 1.1, $f$ est continue en $a$ (donc $f(x) \to f(a)$), et de même $g$ est continue en $a$ (donc $g(x) \to g(a)$). On obtient à la limite : $(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)$.

Inverse. Supposons $f(a) \neq 0$. Par la Proposition 1.1, $f$ est continue en $a$, donc $f$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, ce qui rend $\dfrac{1}{f}$ bien définie au voisinage de $a$. Pour $x \neq a$ :
$$\dfrac{\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(a)}}{x-a} = \dfrac{f(a)-f(x)}{f(x)f(a)(x-a)} = -\dfrac{1}{f(x)f(a)} \cdot \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
En passant à la limite (en utilisant $f(x) \to f(a)$ et $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \to f'(a)$) :
$$\left(\dfrac{1}{f}\right)'(a) = -\dfrac{f'(a)}{f(a)^2}$$

Quotient. Supposons $g(a) \neq 0$. On écrit $\dfrac{f}{g} = f \cdot \dfrac{1}{g}$. Par la formule de l'inverse, $\dfrac{1}{g}$ est dérivable en $a$ avec $\left(\dfrac{1}{g}\right)'(a) = -\dfrac{g'(a)}{g(a)^2}$. Par la formule du produit :
$$\left(\dfrac{f}{g}\right)'(a) = f'(a) \cdot \dfrac{1}{g(a)} + f(a) \cdot \left(-\dfrac{g'(a)}{g(a)^2}\right) = \dfrac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2}$$