Dérivabilité

Soit $f : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f(x) = \ln x + x$.

• (a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un unique $x_n$ tel que $f(x_n) = n$.
• (b) Former le développement asymptotique de la suite $(x_n)$ à la précision $\ln n / n$.

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et l'équation $(E_n) : x^n + x - 1 = 0$.

• (a) Montrer qu'il existe une unique solution positive de $(E_n)$ notée $x_n$ et que $\lim_{n \to +\infty} x_n = 1$.
• (b) On pose $y_n = 1 - x_n$. Montrer que, pour $n$ assez grand, $\dfrac{\ln n}{2n} \leq y_n \leq \dfrac{2\ln n}{n}$.
• (c) Montrer que $\ln(y_n) \sim -\ln n$ puis que $x_n = 1 - \dfrac{\ln n}{n} + o\left(\dfrac{\ln n}{n}\right)$.

Montrer que l'équation $x^n + x^2 - 1 = 0$ admet une unique racine réelle strictement positive pour $n \geq 1$. On la note $x_n$. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(x_n)$ puis un équivalent de $x_n - \ell$.

Pour tout entier $n \geq 2$, on considère l'équation $(E_n) : x^n = x + 1$ dont l'inconnue est $x \geq 0$.

• (a) Montrer l'existence et l'unicité de $x_n$ solution de $(E_n)$.
• (b) Montrer que $(x_n)$ tend vers $1$.
• (c) Montrer que $(x_n)$ admet un développement limité à tout ordre. Donner les trois premiers termes de ce développement limité.

Pour $n \geq 2$, on considère le polynôme $P_n = X^n - nX + 1$.

• (a) Montrer que $P_n$ admet exactement une racine réelle entre $0$ et $1$, notée $x_n$.
• (b) Déterminer la limite de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$.
• (c) Donner un équivalent de $(x_n)$ puis le deuxième terme du développement asymptotique de $x_n$.

Soit $f(x) = (\cos x)^{1/x}$ et $(\mathcal{C})$ le graphe de $f$.

• (a) Montrer l'existence d'une suite $(x_n)$ vérifiant : $(x_n)$ est croissante positive et la tangente à $(\mathcal{C})$ en $(x_n, f(x_n))$ passe par $O$.
• (b) Déterminer un développement asymptotique à $2$ termes de $(x_n)$.

Soient $u_0 \in ]0 ; \pi/2[$ et $u_{n+1} = \sin u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

• (a) Montrer que $u_n \to 0^+$.
• (b) Exploiter $u_{n+1} - u_n$ pour montrer que $\sum_{n \geq 0} u_n^3$ converge.
• (c) Exploiter $\ln u_{n+1} - \ln u_n$ pour montrer que $\sum_{n \geq 0} u_n^2$ diverge.

Pour chaque réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ par $f_a(x) = e^{x-a} - 2x + e^a$.
1. Montrer que pour tout réel $a$, la fonction $f_a$ possède un minimum.
2. Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle ce minimum est le plus petit possible?

Les fonctions suivantes sont-elles dérivables au point indiqué?$f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ en 0,

$g(x) = \begin{cases} (x - 1) & \text{si } x 1 \end{cases}$ en 1,

$h(x) = |x| \sin x$ en 0.

Déterminer $a, b \in \mathbb{R}$ de sorte que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par$f(x) = \sqrt{x}$ si $0 \leq x \leq 1$ et $f(x) = ax^2 + bx + 1$ si $x > 1$

soit dérivable en 1.

Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ dérivable vérifiant $f(0) = f(1)$ avec $f'$ continue en 0 et en 1. On définit $g$ sur $[0, 1]$ par$g(x) = \begin{cases} f(2x) & \text{si } 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ f(2x - 1) & \text{si } \frac{1}{2} < x \leq 1 \end{cases}$

$g$ est-elle continue? dérivable? Si non, quelle(s) hypothèse(s) faut-il ajouter pour que ce soit le cas?

Étudier si les fonctions suivantes sont dérivables et $C^1$ sur $\mathbb{R}$ :$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} x^3 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$

Soit $f$ définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant 0, continue en $I$. On suppose en outre que$\lim_{x \to 0} \frac{f(2x) - f(x)}{x} = 0$.

Montrer que $f$ est dérivable en 0.

Soit $n \geq 2$ un entier et $p, q \in \mathbb{R}$. On note $P(X) = X^n + pX + q$.1. Démontrer que $P$ admet au plus 3 racines réelles.

2. On suppose que $n$ est pair. Démontrer que $P$ admet au plus deux racines réelles.

Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ $n$ fois dérivable.1. On suppose que $f$ s'annule en $(n + 1)$ points distincts de $[a, b]$. Démontrer qu'il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f^{(n)}(c) = 0$.

2. On suppose que $f(a) = f'(a) = \cdots = f^{(n-1)}(a) = f(b) = 0$. Démontrer qu'il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f^{(n)}(c) = 0$.

Soit $P$ un polynôme. Montrer que l'équation $P(x) = e^x$ n'admet qu'un nombre fini de solutions.

Soit \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) une fonction continue, dérivable sur \(]a, b[\), et vérifiant \(f(a) = f(b) = 0\). Soit \(d \in \mathbb{R} \setminus [a, b]\). Montrer qu'il existe une tangente à la courbe représentative de \(f\) passant par le point \((d, 0)\).

Soit \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) telle que \(f(0) = f'(0) = f'(1) = 0\). L'objectif de l'exercice est de démontrer qu'il existe \(c \in ]0, 1[\) tel que\(f'(c) = \frac{f(c)}{c}\). 1. Soit \(c \in ]0, 1]\) et soit \(M\) le point de coordonnées \((c, f(c))\). Rappeler une équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) en \(M\) ainsi qu'une équation de la corde reliant l'origine du repère à \(M\). Donner une interprétation géométrique du résultat que l'on veut démontrer, et illustrer le sur un dessin. 2. On définit \(g : [0, 1] \to \mathbb{R}\) par \(g(x) = \frac{f(x)}{x}\) si \(x \neq 0\) et par \(g(0) = 0\). Vérifier que \(g\) est continue sur \([0, 1]\) et \(C^1\) sur \(]0, 1]\). 3. Calculer \(g'\) sur \(]0, 1]\). 4. Démontrer le résultat dans le cas \(f(1) = 0\). 5. Dans cette question, on suppose que \(f(1) > 0\). 5.1. Calculer \(g(0)\), \(g(1)\) et \(g'(1)\). 5.2. En déduire que \(g'\) s'annule sur \(]0, 1[\) et conclure. 6. Comment procéder si \(f(1) < 0\)?