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Thème : Algebre

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1. Groupe symétrique

1.1. Permutation

Définition—Permutation, groupe symétrique

On appelle permutation d'un ensemble

E

toute bijection de

E

dans lui-même. L'ensemble des permutations de

E

se note

\mathfrak{S}(E)

(\mathfrak{S}(E), \circ)

est un groupe appelé groupe symétrique de

E

Définition—Groupe symétrique de degré

n

n \in \mathbb{N}^*

, on note

\mathfrak{S}_n = \mathfrak{S}(\llbracket 1, n \rrbracket)

(\mathfrak{S}_n, \circ)

est appelé le groupe symétrique de degré

n

Encadré—Notation 1.1

On représente généralement une permutation de

\llbracket 1, n \rrbracket

par un tableau dont la première ligne est consituée par les entiers de 1 à

n

rangés par ordre croissant et dont la seconde ligne est constituée de leurs images respectives. Par exemple,

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}

représente la permutation

\sigma

\mathfrak{S}_5

telle que :

\sigma(1) = 2, \sigma(2) = 5, \sigma(3) = 3, \sigma(4) = 1, \sigma(5) = 4

Proposition

Le cardinal de

\mathfrak{S}_n

est

n!

Démonstration bientôt disponible

1.2. Transpositions et cycles

Définition—Cycle

Soit

p \in \llbracket 2, n \rrbracket

. On appelle

p

-cycle ou cycle de longueur

p

toute permutation circulaire de

p

éléments de

\llbracket 1, n \rrbracket

i.e. toute permutation

\sigma

telle qu'il existe

p

entiers distincts

a_1, a_2 \dots, a_p

\llbracket 1, n \rrbracket

vérifiant :

\forall i \in \llbracket 1, p \rrbracket, \sigma(a_i) = a_{i+1}, \sigma(a_p) = a_1

Un tel cycle est noté

(a_1, a_2, \dots, a_p)

. L'ensemble

\{a_1, \dots, a_p\}

est appelé le support du cycle.

Un 2-cycle est appelé une transposition.

1.3. Signature

Théorème—Signature

Il existe un unique morphisme non trivial (non constant)

\varepsilon

du groupe

(\mathfrak{S}_n, \circ)

sur le groupe

(\{-1, 1\}, \times)

. On l'appelle la signature.

2. Applications multilinéaires

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Déterminant d'une famille de vecteurs

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4. Déterminant d'un endomorphisme

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5. Déterminant d'une matrice carrée

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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6. Systèmes linéaires (hors programme)

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1. Groupe symétrique

1.1. Permutation

Définition—Permutation, groupe symétrique

On appelle permutation d'un ensemble

E

toute bijection de

E

dans lui-même. L'ensemble des permutations de

E

se note

\mathfrak{S}(E)

(\mathfrak{S}(E), \circ)

est un groupe appelé groupe symétrique de

E

Définition—Groupe symétrique de degré

n

n \in \mathbb{N}^*

, on note

\mathfrak{S}_n = \mathfrak{S}(\llbracket 1, n \rrbracket)

(\mathfrak{S}_n, \circ)

est appelé le groupe symétrique de degré

n

Encadré—Notation 1.1

On représente généralement une permutation de

\llbracket 1, n \rrbracket

par un tableau dont la première ligne est consituée par les entiers de 1 à

n

rangés par ordre croissant et dont la seconde ligne est constituée de leurs images respectives. Par exemple,

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}

représente la permutation

\sigma

\mathfrak{S}_5

telle que :

\sigma(1) = 2, \sigma(2) = 5, \sigma(3) = 3, \sigma(4) = 1, \sigma(5) = 4

Proposition

Le cardinal de

\mathfrak{S}_n

est

n!

Démonstration bientôt disponible

1.2. Transpositions et cycles

Définition—Cycle

Soit

p \in \llbracket 2, n \rrbracket

. On appelle

p

-cycle ou cycle de longueur

p

toute permutation circulaire de

p

éléments de

\llbracket 1, n \rrbracket

i.e. toute permutation

\sigma

telle qu'il existe

p

entiers distincts

a_1, a_2 \dots, a_p

\llbracket 1, n \rrbracket

vérifiant :

\forall i \in \llbracket 1, p \rrbracket, \sigma(a_i) = a_{i+1}, \sigma(a_p) = a_1

Un tel cycle est noté

(a_1, a_2, \dots, a_p)

. L'ensemble

\{a_1, \dots, a_p\}

est appelé le support du cycle.

Un 2-cycle est appelé une transposition.

1.3. Signature

Théorème—Signature

Il existe un unique morphisme non trivial (non constant)

\varepsilon

du groupe

(\mathfrak{S}_n, \circ)

sur le groupe

(\{-1, 1\}, \times)

. On l'appelle la signature.

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