Déterminants

On appelle permutation d'un ensemble $E$ toute bijection de $E$ dans lui-même. L'ensemble des permutations de $E$ se note $\mathfrak{S}(E)$. $(\mathfrak{S}(E), \circ)$ est un groupe appelé groupe symétrique de $E$.

Si $n \in \mathbb{N}^*$, on note $\mathfrak{S}_n = \mathfrak{S}(\llbracket 1, n \rrbracket)$. $(\mathfrak{S}_n, \circ)$ est appelé le groupe symétrique de degré $n$.

Soit $p \in \llbracket 2, n \rrbracket$. On appelle $p$-cycle ou cycle de longueur $p$ toute permutation circulaire de $p$ éléments de $\llbracket 1, n \rrbracket$ i.e. toute permutation $\sigma$ telle qu'il existe $p$ entiers distincts $a_1, a_2 \dots, a_p$ de $\llbracket 1, n \rrbracket$ vérifiant :
$$\forall i \in \llbracket 1, p \rrbracket, \sigma(a_i) = a_{i+1}, \sigma(a_p) = a_1$$
Un tel cycle est noté $(a_1, a_2, \dots, a_p)$. L'ensemble $\{a_1, \dots, a_p\}$ est appelé le support du cycle.

Un 2-cycle est appelé une transposition.