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Cours

1Groupe symétrique

2Applications multilinéaires

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3Déterminant d'une famille de vecteurs

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4Déterminant d'un endomorphisme

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5Déterminant d'une matrice carrée

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6Systèmes linéaires (hors programme)

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Méthodes15p.1/2

ClassiqueConjugaison et structure dans le groupe symétrique

Techniques récurrentes pour étudier la structure de $S_{n}$ :

conjugaison : $σ c σ^{- 1}$ préserve le type de cycle. Si $c = (a_{1} \dots a_{p})$ , alors $σ c σ^{- 1} = (σ (a_{1}) \dots σ (a_{p}))$ ;
commutant : $σ$ commute avec $τ = (i j)$ si et seulement si ${i, j}$ est stable par $σ$ ;
sous-groupes : pour $H \subset S_{n}$ , vérifier $Id \in H$ , stabilité par composition et par passage à l'inverse;
effet de la signature : $det ((- 1)^{i + j} a_{ij}) = (- 1)^{n (n + 1)} det (a_{ij})$ via le calcul $\sum (i + σ (i))$ dans la formule de Leibniz.

Pourquoi ça marche

Dans le groupe symétrique $S_{n}$ , la conjugaison d'un cycle se lit en renommant ses éléments : si $c = (a_{1} a_{2} \dots a_{p})$ et $σ \in S_{n}$ , alors $σ c σ^{- 1} = (σ (a_{1}) σ (a_{2}) \dots σ (a_{p})) .$ Démontrons cette formule, qui entraîne que la conjugaison préserve le type de cycle.

Étape 1. Rappel sur l'action d'un cycle.

Le $p$ -cycle $c = (a_{1} \dots a_{p})$ est la permutation définie par $c (a_{i}) = a_{i + 1}$ pour $1 \leq i \leq p$ (avec la convention $a_{p + 1} = a_{1}$ ), et $c (x) = x$ pour tout $x \in / {a_{1}, \dots, a_{p}}$ . Notons $γ = (σ (a_{1}) \dots σ (a_{p}))$ le cycle candidat ; il s'agit de montrer $σ c σ^{- 1} = γ$ , en comparant l'action des deux permutations sur tout élément.

Étape 2. Action sur les $σ (a_{i})$ .

Soit $y = σ (a_{i})$ l'un des éléments du support de $γ$ . Calculons $σ c σ^{- 1} (y)$ : comme $σ^{- 1} (y) = a_{i}$ , $σ c σ^{- 1} (σ (a_{i})) = σ (c (a_{i})) = σ (a_{i + 1}) .$ C'est exactement l'image de $σ (a_{i})$ par $γ$ (qui envoie $σ (a_{i})$ sur $σ (a_{i + 1})$ ). Les deux permutations coïncident donc sur les $σ (a_{i})$ .

Étape 3. Action en dehors du support.

Soit $y \in / {σ (a_{1}), \dots, σ (a_{p})}$ . Alors $σ^{- 1} (y) \in / {a_{1}, \dots, a_{p}}$ (sinon $y$ serait l'image par $σ$ d'un $a_{i}$ ), donc $c$ fixe $σ^{- 1} (y)$ , et $σ c σ^{- 1} (y) = σ (σ^{- 1} (y)) = y .$ De son côté, $γ$ fixe aussi $y$ (hors de son support). Les deux permutations coïncident donc partout : $σ c σ^{- 1} = γ$ .

Étape 4. Invariance du type de cycle.

La formule montre que conjuguer un $p$ -cycle donne un $p$ -cycle (de même longueur). Comme toute permutation se décompose en produit de cycles à supports disjoints et que la conjugaison est un morphisme ( $σ (c_{1} c_{2}) σ^{- 1} = (σ c_{1} σ^{- 1}) (σ c_{2} σ^{- 1})$ ), conjuguer une permutation conjugue chacun de ses cycles : la liste des longueurs de cycles (le type) est préservée. C'est pourquoi le type de cycle est un invariant de conjugaison : conjuguer ne fait que réétiqueter les éléments sans changer la structure des cycles.

TunnelDécomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints