Développements limités

On veut montrer que $\mathrm{DL}_n(0)$ de $x \mapsto \dfrac{1}{1-x}$ est $\dfrac{1}{1-x} \underset{x \to 0}{=} \displaystyle\sum_{k=0}^{n} x^k + o(x^n)$.

On utilise l'identité algébrique de la somme géométrique : pour $x \neq 1$,
$$\sum_{k=0}^{n} x^k = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x}.$$

Donc, pour $x \neq 1$ :
$$\dfrac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{n} x^k + \dfrac{x^{n+1}}{1-x}.$$

Il reste à montrer que le reste $r(x) = \dfrac{x^{n+1}}{1-x}$ est un $o(x^n)$ quand $x \to 0$.

On calcule $\dfrac{r(x)}{x^n} = \dfrac{x^{n+1}}{(1-x) x^n} = \dfrac{x}{1-x}$, et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{1-x} = \dfrac{0}{1} = 0$.

Donc $r(x) = o(x^n)$ quand $x \to 0$, et par la Définition 1.1 :
$$\dfrac{1}{1-x} \underset{x \to 0}{=} \sum_{k=0}^{n} x^k + o(x^n).$$

Posons $h = x - a$ de sorte que $h \to 0$ quand $x \to a$. On suppose que $c_p \neq 0$ est le premier coefficient non nul. Par la Définition 1.1,

$$f(a + h) = c_p h^p + c_{p+1} h^{p+1} + \cdots + c_n h^n + o(h^n)$$

$$= c_p h^p \left(1 + \frac{c_{p+1}}{c_p} h + \cdots + \frac{c_n}{c_p} h^{n-p} + o(h^{n-p})\right)$$

Le facteur entre parenthèses tend vers $1$ quand $h \to 0$, donc $f(a + h) \underset{h \to 0}{\sim} c_p h^p$, ce qui s'écrit $f(x) \underset{x \to a}{\sim} c_p(x - a)^p$.

Soit $p \leq n$. Par la Définition 1.1, on a en posant $h = x - a$ :

$$f(a + h) = \sum_{k=0}^{n} c_k h^k + o(h^n)$$

$$= \sum_{k=0}^{p} c_k h^k + \sum_{k=p+1}^{n} c_k h^k + o(h^n)$$

Or $\sum_{k=p+1}^{n} c_k h^k = o(h^p)$ puisque chaque terme est un $o(h^p)$ (car $k \geq p+1 > p$). De même, $o(h^n) = o(h^p)$ car $n \geq p$. Donc

$$f(a + h) = \sum_{k=0}^{p} c_k h^k + o(h^p)$$

ce qui est exactement un développement limité d'ordre $p$ de $f$ en $a$, de partie régulière $\sum_{k=0}^{p} c_k h^k$.

Démontrons les deux équivalences.

Continuité. $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, ce qui équivaut à $f(x) - f(a) = o(1)$, soit $f(x) = f(a) + o(1)$. Ceci est exactement la Définition 1.1 avec $n = 0$, $c_0 = f(a)$, qui s'écrit $f(x) \underset{x \to a}{=} f(a) + o(1)$.

Dérivabilité. $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si il existe $\ell \in \mathbb{R}$ tel que $\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} \to \ell$ quand $x \to a$, i.e.

$$f(x) - f(a) - \ell(x - a) = o(x - a)$$

autrement dit $f(x) = f(a) + \ell(x - a) + o(x - a)$. Ceci est exactement la Définition 1.1 avec $n = 1$, $c_0 = f(a)$, $c_1 = \ell$. La limite $\ell$ est alors nécessairement $f'(a)$ (valeur de la dérivée en $a$). Donc $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si elle admet un DL d'ordre $1$ en $a$, et ce DL est $f(x) \underset{x \to a}{=} f(a) + f'(a)(x - a) + o(x - a)$.