Supposons que
f admette deux développements limités d'ordre
n en
a :
f(x)=k=0∑nck(x−a)k+o((x−a)n)=k=0∑nck′(x−a)k+o((x−a)n)Par soustraction, en posant
h=x−a,
k=0∑n(ck−ck′)hk=o(hn)Montrons par récurrence que
ck=ck′ pour tout
k∈{0,…,n}. Posons
dk=ck−ck′. On a
∑k=0ndkhk=o(hn), ce qui implique en particulier
∑k=0ndkhk=o(1), donc en faisant
h→0, on obtient
d0=0.
Si
d0=d1=⋯=dp−1=0, la relation devient
∑k=pndkhk=o(hn), soit
hp(dp+∑k=p+1ndkhk−p)=o(hn). En divisant par
hp (pour
h=0), on obtient
dp+∑k=p+1ndkhk−p=o(hn−p), donc en particulier
=o(1), et en faisant
h→0,
dp=0.
Par récurrence,
dk=0 pour tout
k, i.e.
ck=ck′ pour tout
k. Le développement limité est donc unique.