The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Définitions et premières propriétés

1.1. Définition

Définition—Développement limité

Soient

f

une fonction définie au voisinage de

a \in \mathbb{R}

(éventuellement non définie en

a

) et

n \in \mathbb{N}

. On dit que

f

possède un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $a$ s'il existe des réels

c_0, \ldots, c_n

tels que :

f(x) \underset{x \to a}{=} c_0 + c_1(x - a) + \cdots + c_n(x - a)^n + o((x - a)^n)

\underset{x \to a}{=} \sum_{k=0}^{n} c_k(x - a)^k + o((x - a)^n)

c'est-à-dire s'il existe un polynôme

P

de degré au plus

n

tel que

f(x) = P(x - a) + o((x - a)^n)

Le polynôme

P(x - a)

s'appelle la partie régulière du développement limité et

f(x) - P(x - a)

s'appelle le reste.

Remarque

Via le changement de variable

x = a + h

, ce développement limité peut également s'écrire :

f(a + h) \underset{h \to 0}{=} c_0 + c_1 h + \cdots + c_n h^n + o(h^n)

\underset{h \to 0}{=} \sum_{k=0}^{n} c_k h^k + o(h^n)

En pratique, on se ramènera d'ailleurs toujours à un développement limité en

0

via ce changement de variable.

Encadré—Analogie avec l'approximation décimale d'un réel

On peut penser à un développement limité comme à une approximation décimale d'un réel. Les monômes de la partie régulière correspondent aux décimales de l'approximation.

Plus l'approximation décimale d'un réel comporte de décimales, plus elle est proche de ce réel. De même, la partie régulière d'un développement limité «approche» d'autant mieux une fonction que son ordre est élevé.

Application

Soit

n \in \mathbb{N}

. Montrer que le

\text{DL}_n(0)

x \mapsto \dfrac{1}{1-x}

est

\dfrac{1}{1-x} \underset{x \to 0}{=} \sum_{k=0}^{n} x^k + o(x^n)

Proposition—DL et équivalent

Supposons que

f

admette un développement limité d'ordre

n

au voisinage de

a

f(x) \underset{x \to a}{=} c_0 + c_1(x - a) + \cdots + c_n(x - a)^n + o((x - a)^n)

Soit

p

le plus petit entier tel que

c_p \neq 0

, s'il existe. Alors

f(x) \underset{x \to a}{\sim} c_p(x - a)^p

Remarque

Ceci peut également s'écrire

f(a + h) \underset{h \to 0}{\sim} c_p h^p

Remarque

La fonction

x \mapsto c_p(x - a)^p

s'appelle la partie principale de

f

au voisinage de

a

Théorème—Unicité du développement limité

f

admet un développement limité à l'ordre

n

au voisinage de

a

alors celui-ci est unique.

Démonstration bientôt disponible

Remarque

Le développement limité de

f

à l'ordre

n

au voisinage de

a

est donc la meilleure approximation polynomiale de degré

n

f

au voisinage de

a

Proposition—Troncature

Supposons que

f

admette pour développement limité d'ordre

n

au voisinage de

a

f(x) \underset{x \to a}{=} c_0 + c_1(x - a) + \cdots + c_n(x - a)^n + o((x - a)^n)

Alors, pour tout

p \leq n

f

admet pour développement limité d'ordre

p

au voisinage de

a

f(x) \underset{x \to a}{=} c_0 + c_1(x - a) + \cdots + c_p(x - a)^p + o((x - a)^p)

Remarque

Autrement dit, on ne garde que les termes de degré inférieur ou égal à

p

dans la partie régulière.

Proposition—Développement limité et parité

Soit

f

une fonction admettant un développement limité à l'ordre

n

au voisinage de

0

.

• Si

f

est paire, alors les coefficients de rang impair du DL sont nuls.

• Si

f

est impaire, alors les coefficients de rang pair du DL sont nuls.

Démonstration bientôt disponible

Théorème—Développement limité, continuité, dérivabilité

Soit

f

une fonction définie au voisinage de

a

.

•

f

est continue en

a

si et seulement si

f

possède un développement limité d'ordre

0

a

et dans ce cas,

f(x) \underset{x \to a}{=} f(a) + o(1).

•

f

est dérivable en

a

si et seulement si

f

possède un développement limité d'ordre

1

a

et dans ce cas,

f(x) \underset{x \to a}{=} f(a) + f'(a)(x - a) + o(x - a)

Attention

Dès que

k \geq 2

, une fonction peut admettre un DL d'ordre

k

au voisinage de

a

sans pour autant être

k

fois dérivable en

a

. Par exemple, posons

f(x) = \begin{cases} x + x^3 \sin \dfrac{1}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

. Alors

f

admet un DL d'ordre

2

0

f(x) = x + o(x^2). \text{ Cependant } f \text{ est dérivable sur } \mathbb{R}^* \text{ et}

\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x) = 1 + 3x^2 \sin \dfrac{1}{x^2} - 2\cos \dfrac{1}{x^2}

Ainsi

f'

n'admet pas de limite en

0

: elle n'est pas continue en

0

et donc encore moins dérivable en

0

. Ainsi

f

n'est pas deux fois dérivable en

0

1. Définitions et premières propriétés

1.1. Définition

Définition—Développement limité

Soient

f

une fonction définie au voisinage de

a \in \mathbb{R}

(éventuellement non définie en

a

) et

n \in \mathbb{N}

. On dit que

f

possède un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $a$ s'il existe des réels

c_0, \ldots, c_n

tels que :

f(x) \underset{x \to a}{=} c_0 + c_1(x - a) + \cdots + c_n(x - a)^n + o((x - a)^n)

\underset{x \to a}{=} \sum_{k=0}^{n} c_k(x - a)^k + o((x - a)^n)

c'est-à-dire s'il existe un polynôme

P

de degré au plus

n

tel que

f(x) = P(x - a) + o((x - a)^n)

Le polynôme

P(x - a)

s'appelle la partie régulière du développement limité et

f(x) - P(x - a)

s'appelle le reste.

Remarque

Via le changement de variable

x = a + h

, ce développement limité peut également s'écrire :

f(a + h) \underset{h \to 0}{=} c_0 + c_1 h + \cdots + c_n h^n + o(h^n)

\underset{h \to 0}{=} \sum_{k=0}^{n} c_k h^k + o(h^n)

En pratique, on se ramènera d'ailleurs toujours à un développement limité en

0

via ce changement de variable.

Encadré—Analogie avec l'approximation décimale d'un réel

Application

Soit

n \in \mathbb{N}

. Montrer que le

\text{DL}_n(0)

x \mapsto \dfrac{1}{1-x}

est

\dfrac{1}{1-x} \underset{x \to 0}{=} \sum_{k=0}^{n} x^k + o(x^n)

Proposition—DL et équivalent

Supposons que

f

admette un développement limité d'ordre

n

au voisinage de

a

f(x) \underset{x \to a}{=} c_0 + c_1(x - a) + \cdots + c_n(x - a)^n + o((x - a)^n)

Soit

p

le plus petit entier tel que

c_p \neq 0

, s'il existe. Alors

f(x) \underset{x \to a}{\sim} c_p(x - a)^p

Remarque

Ceci peut également s'écrire

f(a + h) \underset{h \to 0}{\sim} c_p h^p

Remarque

La fonction

x \mapsto c_p(x - a)^p

s'appelle la partie principale de

f

au voisinage de

a

Théorème—Unicité du développement limité

f

admet un développement limité à l'ordre

n

au voisinage de

a

alors celui-ci est unique.

Démonstration bientôt disponible

Remarque

Le développement limité de

f

à l'ordre

n

au voisinage de

a

est donc la meilleure approximation polynomiale de degré

n

f

au voisinage de

a

Proposition—Troncature

Supposons que

f

admette pour développement limité d'ordre

n

au voisinage de

a

f(x) \underset{x \to a}{=} c_0 + c_1(x - a) + \cdots + c_n(x - a)^n + o((x - a)^n)

Alors, pour tout

p \leq n

f

admet pour développement limité d'ordre

p

au voisinage de

a

f(x) \underset{x \to a}{=} c_0 + c_1(x - a) + \cdots + c_p(x - a)^p + o((x - a)^p)

Remarque

Autrement dit, on ne garde que les termes de degré inférieur ou égal à

p

dans la partie régulière.

Proposition—Développement limité et parité

Soit

f

une fonction admettant un développement limité à l'ordre

n

au voisinage de

0

.

• Si

f

est paire, alors les coefficients de rang impair du DL sont nuls.

• Si

f

est impaire, alors les coefficients de rang pair du DL sont nuls.

Démonstration bientôt disponible

Théorème—Développement limité, continuité, dérivabilité

Soit

f

une fonction définie au voisinage de

a

.

•

f

est continue en

a

si et seulement si

f

possède un développement limité d'ordre

0

a

et dans ce cas,

f(x) \underset{x \to a}{=} f(a) + o(1).

•

f

est dérivable en

a

si et seulement si

f

possède un développement limité d'ordre

1

a

et dans ce cas,

f(x) \underset{x \to a}{=} f(a) + f'(a)(x - a) + o(x - a)

Attention

Dès que

k \geq 2

, une fonction peut admettre un DL d'ordre

k

au voisinage de

a

sans pour autant être

k

fois dérivable en

a

. Par exemple, posons

f(x) = \begin{cases} x + x^3 \sin \dfrac{1}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

. Alors

f

admet un DL d'ordre

2

0

f(x) = x + o(x^2). \text{ Cependant } f \text{ est dérivable sur } \mathbb{R}^* \text{ et}

\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x) = 1 + 3x^2 \sin \dfrac{1}{x^2} - 2\cos \dfrac{1}{x^2}

Ainsi

f'

n'admet pas de limite en

0

: elle n'est pas continue en

0

et donc encore moins dérivable en

0

. Ainsi

f

n'est pas deux fois dérivable en

0

Développements limités

1. Définitions et premières propriétés

1.1. Définition

1. Définitions et premières propriétés

1.1. Définition