Soient f une fonction définie au voisinage de a∈R (éventuellement non définie en a) et n∈N. On dit que f possède un développement limité à l'ordre n au voisinage de a s'il existe des réels c0,…,cn tels que :f(x)x→a=c0+c1(x−a)+⋯+cn(x−a)n+o((x−a)n)x→a=k=0∑nck(x−a)k+o((x−a)n)c'est-à-dire s'il existe un polynôme P de degré au plus n tel quef(x)=P(x−a)+o((x−a)n)Le polynôme P(x−a) s'appelle la partie régulière du développement limité et f(x)−P(x−a) s'appelle le reste.
Remarque
Via le changement de variable x=a+h, ce développement limité peut également s'écrire :f(a+h)h→0=c0+c1h+⋯+cnhn+o(hn)h→0=k=0∑nckhk+o(hn)En pratique, on se ramènera d'ailleurs toujours à un développement limité en 0 via ce changement de variable.
Encadré—Analogie avec l'approximation décimale d'un réel
On peut penser à un développement limité comme à une approximation décimale d'un réel. Les monômes de la partie régulière correspondent aux décimales de l'approximation.
Plus l'approximation décimale d'un réel comporte de décimales, plus elle est proche de ce réel. De même, la partie régulière d'un développement limité «approche» d'autant mieux une fonction que son ordre est élevé.
Application
Soit n∈N. Montrer que le DLn(0) de x↦1−x1 est1−x1x→0=k=0∑nxk+o(xn)
Proposition—DL et équivalent
Supposons que f admette un développement limité d'ordre n au voisinage de a :f(x)x→a=c0+c1(x−a)+⋯+cn(x−a)n+o((x−a)n)Soit p le plus petit entier tel que cp=0, s'il existe. Alors f(x)x→a∼cp(x−a)p.
Remarques
Ceci peut également s'écrire f(a+h)h→0∼cphp.
Théorème—Unicité du développement limité
Si f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de a alors celui-ci est unique.
Démonstration
Supposons que f admette deux développements limités d'ordre n en a :f(x)=k=0∑nck(x−a)k+o((x−a)n)=k=0∑nck′(x−a)k+o((x−a)n)Par soustraction, en posant h=x−a,k=0∑n(ck−ck′)hk=o(hn)Montrons par récurrence que ck=ck′ pour tout k∈{0,…,n}. Posons dk=ck−ck′. On a ∑k=0ndkhk=o(hn), ce qui implique en particulier ∑k=0ndkhk=o(1), donc en faisant h→0, on obtient d0=0.
Si d0=d1=⋯=dp−1=0, la relation devient ∑k=pndkhk=o(hn), soit hp(dp+∑k=p+1ndkhk−p)=o(hn). En divisant par hp (pour h=0), on obtient dp+∑k=p+1ndkhk−p=o(hn−p), donc en particulier =o(1), et en faisant h→0, dp=0.
Par récurrence, dk=0 pour tout k, i.e. ck=ck′ pour tout k. Le développement limité est donc unique.
Remarque
Le développement limité de f à l'ordre n au voisinage de a est donc la meilleure approximation polynomiale de degré n de f au voisinage de a.
Proposition—Troncature
Supposons que f admette pour développement limité d'ordre n au voisinage de a :f(x)x→a=c0+c1(x−a)+⋯+cn(x−a)n+o((x−a)n)Alors, pour tout p≤n, f admet pour développement limité d'ordre p au voisinage de a :f(x)x→a=c0+c1(x−a)+⋯+cp(x−a)p+o((x−a)p)
Remarque
Autrement dit, on ne garde que les termes de degré inférieur ou égal à p dans la partie régulière.
Proposition—Développement limité et parité
Soit f une fonction admettant un développement limité à l'ordre n au voisinage de 0.
• Si f est paire, alors les coefficients de rang impair du DL sont nuls.
• Si f est impaire, alors les coefficients de rang pair du DL sont nuls.
Démonstration
Traitons le cas où f est paire (le cas impair est analogue). Par la Définition 1.1, f admet un DL d'ordre n en 0 :f(x)=k=0∑nckxk+o(xn)Comme f est paire, f(−x)=f(x) pour tout x au voisinage de 0. En substituant x par −x dans le DL :f(−x)=k=0∑nck(−x)k+o(xn)=k=0∑n(−1)kckxk+o(xn)Or f(−x)=f(x)=∑k=0nckxk+o(xn). Par le Théorème 1.1 (unicité), les coefficients sont uniques, donc pour tout k :(−1)kck=ckSi k est impair, (−1)k=−1, donc −ck=ck, ce qui donne ck=0.
Ainsi les coefficients de rang impair sont tous nuls.
Le cas f impaire se traite de même : on obtient (−1)kck=−ck, ce qui implique ck=0 pour k pair.
Exemple—Parité de cos et de sin
La fonction cos est paire, donc par la proposition 1.3, tous les coefficients de rang impair de son DL en 0 sont nuls. On retrouve ainsi que :cosxx→0=1−2x2+24x4−⋯ne contient que des puissances paires de x.
De même, sin est impaire, donc les coefficients de rang pair sont nuls :sinxx→0=x−6x3+120x5−⋯ne contient que des puissances impaires. Cette remarque réduit de moitié le nombre de coefficients à calculer pour ces fonctions.
• f est continue en a si et seulement si f possède un développement limité d'ordre 0 en a et dans ce cas,f(x)x→a=f(a)+o(1).• f est dérivable en a si et seulement si f possède un développement limité d'ordre 1 en a et dans ce cas,f(x)x→a=f(a)+f′(a)(x−a)+o(x−a)
Attention
Dès que k≥2, une fonction peut admettre un DL d'ordre k au voisinage de a sans pour autant être k fois dérivable en a. Par exemple, posons f(x)=⎩⎨⎧x+x3sinx210si x=0sinon. Alors f admet un DL d'ordre 2 en 0 :f(x)=x+o(x2). Cependant f est deˊrivable sur R∗ et∀x∈R∗,f′(x)=1+3x2sinx21−2cosx21Ainsi f′ n'admet pas de limite en 0 : elle n'est pas continue en 0 et donc encore moins dérivable en 0. Ainsi f n'est pas deux fois dérivable en 0.
On veut montrer que DLn(0) de x↦1−x1 est 1−x1x→0=k=0∑nxk+o(xn).
On utilise l'identité algébrique de la somme géométrique : pour x=1,k=0∑nxk=1−x1−xn+1.Donc, pour x=1 :1−x1=k=0∑nxk+1−xxn+1.Il reste à montrer que le reste r(x)=1−xxn+1 est un o(xn) quand x→0.
On calcule xnr(x)=(1−x)xnxn+1=1−xx, et x→0lim1−xx=10=0.
Donc r(x)=o(xn) quand x→0, et par la Définition 1.1 :1−x1x→0=k=0∑nxk+o(xn).
Démonstration
Posons h=x−a de sorte que h→0 quand x→a. On suppose que cp=0 est le premier coefficient non nul. Par la Définition 1.1,f(a+h)=cphp+cp+1hp+1+⋯+cnhn+o(hn)=cphp(1+cpcp+1h+⋯+cpcnhn−p+o(hn−p))Le facteur entre parenthèses tend vers 1 quand h→0, donc f(a+h)h→0∼cphp, ce qui s'écrit f(x)x→a∼cp(x−a)p.
La fonction x↦cp(x−a)p s'appelle la partie principale de f au voisinage de a.
Démonstration
Soit p≤n. Par la Définition 1.1, on a en posant h=x−a :f(a+h)=k=0∑nckhk+o(hn)=k=0∑pckhk+k=p+1∑nckhk+o(hn)Or ∑k=p+1nckhk=o(hp) puisque chaque terme est un o(hp) (car k≥p+1>p). De même, o(hn)=o(hp) car n≥p. Doncf(a+h)=k=0∑pckhk+o(hp)ce qui est exactement un développement limité d'ordre p de f en a, de partie régulière ∑k=0pckhk.
Démonstration
Démontrons les deux équivalences.
Continuité.f est continue en a si et seulement si limx→af(x)=f(a), ce qui équivaut à f(x)−f(a)=o(1), soit f(x)=f(a)+o(1). Ceci est exactement la Définition 1.1 avec n=0, c0=f(a), qui s'écrit f(x)x→a=f(a)+o(1).
Dérivabilité.f est dérivable en a si et seulement si il existe ℓ∈R tel que x−af(x)−f(a)→ℓ quand x→a, i.e.f(x)−f(a)−ℓ(x−a)=o(x−a)autrement dit f(x)=f(a)+ℓ(x−a)+o(x−a). Ceci est exactement la Définition 1.1 avec n=1, c0=f(a), c1=ℓ. La limite ℓ est alors nécessairement f′(a) (valeur de la dérivée en a). Donc f est dérivable en a si et seulement si elle admet un DL d'ordre 1 en a, et ce DL est f(x)x→a=f(a)+f′(a)(x−a)+o(x−a).
