THE MATHS TAILOR
Pour une fonction f de classe Cn sur [a,b], on a f(b)=∑k=0n−1k!f(k)(a)(b−a)k+Rn(b) où le reste intégral est Rn(b)=∫ab(n−1)!(b−t)n−1f(n)(t)dt. Cette formule permet des calculs approchés avec estimation de l'erreur.
La formule de Taylor avec reste intégral affirme : pour f de classe Cn sur [a,b],f(b)=k=0∑n−1k!f(k)(a)(b−a)k+Rn,Rn=∫ab(n−1)!(b−t)n−1f(n)(t)dt.Démontrons-la par récurrence sur n, l'ingrédient étant une intégration par parties.
Étape 1. Initialisation n=1.
Pour n=1, la formule annoncée est f(b)=f(a)+∫abf′(t)dt (la somme se réduit au terme k=0, et R1=∫ab0!(b−t)0f′(t)dt=∫abf′(t)dt). C'est exactement le théorème fondamental du calcul intégral, valable car f est de classe C1.
Étape 2. Hérédité par intégration par parties.
Supposons la formule vraie au rang n et f de classe Cn+1. Transformons le reste Rn=∫ab(n−1)!(b−t)n−1f(n)(t)dt par intégration par parties, en posantφ(t)=f(n)(t),φ′(t)=f(n+1)(t),ψ′(t)=(n−1)!(b−t)n−1,ψ(t)=−n!(b−t)n.(On vérifie ψ′(t)=(n−1)!(b−t)n−1 en dérivant ψ.) L'intégration par parties donneRn=[−n!(b−t)nf(n)(t)]ab+∫abn!(b−t)nf(n+1)(t)dt.Le crochet vaut 0 en t=b (facteur (b−b)n=0) et −(−n!(b−a)nf(n)(a))=n!f(n)(a)(b−a)n en t=a. DoncRn=n!f(n)(a)(b−a)n+Rn+1,Rn+1=∫abn!(b−t)nf(n+1)(t)dt.
Étape 3. Conclusion.
En reportant dans la formule au rang n :f(b)=k=0∑n−1k!f(k)(a)(b−a)k+Rn=k=0∑n−1k!f(k)(a)(b−a)k+n!f(n)(a)(b−a)n+Rn+1=k=0∑nk!f(k)(a)(b−a)k+Rn+1.C'est la formule au rang n+1, ce qui achève la récurrence. À chaque cran, l'intégration par parties extrait du reste le terme polynomial suivant et laisse un nouveau reste intégral d'ordre supérieur : la formule de Taylor est ainsi entièrement engendrée par le théorème fondamental, répété.