Développements limités

Soit $P \in \mathbb{K}[X]$. Montrer
$$P(X + 1) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{n!} P^{(n)}(X).$$

Trouver tous les polynômes $P \in \mathbb{R}[X]$ tels que
$$\forall k \in \mathbb{Z}, \quad \int_{k}^{k+1} P(t) \, dt = k + 1.$$

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. On suppose que $a \in \mathbb{R}$ vérifie $P(a) > 0$ et $\forall k \in \mathbb{N}^*, \; P^{(k)}(a) \geq 0$. Montrer que le polynôme $P$ ne possède pas de racines dans $[a ; +\infty[$.

On considère le polynôme $P$ tel que $P(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n>. 1. (a) Calculer$P(0)$,$P'(0)$,$P''(0).

(b) Soit $k \geq 0$. Calculer $P^{(k)}(0). (c) Montrer que$P(x) = P(0) + P'(0)x + \frac{P''(0)}{2!}x^2 + ... + \frac{P^{(n)}(0)}{n!}x^n.

2.

Soit $f$ une fonction $n$ fois dérivable sur $[0, x]$ (ou $[x, 0]$). On définit le polynôme de Taylor de degré $\leq n$ de $f$ en $0$ en posant $P_n(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n. (a) Soit la fonction$f$définie par$f(x) = \ln(1 + x).

i. Calculer $f'(x)$, $f''(x)$, $f'''(x)$, $f^{(4)}(x). ii. Soit$k ≥ 1$. Écrire une expression pour$f^{(k)}(x)$et la montrer par récurrence. iii. Montrer que le polynôme de Taylor de degré$≤ n$de$x ↦ \ln(1 + x)$en$0$est$P_n(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ... + (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}.

(b) Déterminer le polynôme de Taylor de degré $\leq n$ de la fonction cosinus en $0$. On pourra commencer par montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\cos^{(n)}(x) = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$. Écrire en particulier les polynômes de degré $\leq$ à $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 3. En considérant le polynôme$P(x) = a_0 + a_1(x - a) + ... + a_n(x - a)^n$, montrer que$P(x) = P(a) + P'(a)(x - a) + \frac{P''(a)}{2!}(x - a)^2 + ... + \frac{P^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n.

On considère une fonction $f$ définie sur un segment $I$ de bornes $a$ et $x$. On définit le reste de Taylor d'ordre $n$ de la fonction $f$ en $a$, noté $R_n(x)$ par l'égalité $f(x) = P_{n-1}(x) + R_n(x)$ où $P_{n-1}(x)$ désigne le polynôme de Taylor de $f$ de degré $\leq n - 1$ en $a$. Pour une fonction $f$ $n$ fois continûment dérivable sur $I$, on montre dans cet exercice que $R_n(x) = \int_a^x \frac{(x - t)^{n-1}}{(n - 1)!}f^{(n)}(t)dt$.
1. Soit $n = 1$. Justifier que $f(x) - f(a) = R_1(x)$.
2. On part de la relation $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)dt$. En faisant une intégration par parties, montrer que $f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \int_a^x (x - t)f''(t)dt$. On pourra remarquer que les dérivées des fonctions de la variable $t$ définies par $t \mapsto t$ et $t \mapsto -(x - t)$ sont égales.
3. Montrer que $R_3(x) = \int_a^x \frac{(x - t)^2}{2!}f'''(t)dt$.
4. Montrer, par récurrence, le résultat voulu.

Le résultat suivant (théorème des valeurs extrêmes ou théorème des bornes atteintes) est admis : soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$. Alors, il existe deux réels $m$, $M$ tels que $f([a, b]) = [m, M]$. Autrement dit, il existe des réels $c$, $d$ tels que $\forall x \in [a, b]$, $f(c) \leq f(x) \leq f(d)$.
1. Soient deux réels $a$, $b$. Rappeler les hypothèses qui permettent d'écrire $f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + \frac{f''(a)}{2!}(b - a)^2 + ... + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n - 1)!}(b - a)^{n-1} + R_n(b)$ avec $R_n(b) = \int_a^b \frac{(b - t)^{n-1}}{(n - 1)!}f^{(n)}(t)dt$.
2. On suppose $a b$ pour aboutir à la même conclusion.
4. Justifier l'existence d'un réel $M_n$ tel que, pour tout $x$ entre $a$ et $b$, $|f^{(n)}(x)| \leq M_n$. Montrer qu'alors $|R_n(b)| \leq M_n\frac{|b - a|^n}{n!}$.

1. Justifier la formule suivante, en précisant les hypothèses et la valeur du reste $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + ... + (-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n - 1)!} + R_{2n+1}(x)$.
2. Montrer que $|R_n(x)| \leq \frac{|x|^n}{n!}$.
3. On dit qu'une expression $A$ est égale à $B$, avec une précision de $10^{-n}$, si $A = B + E$, où l'erreur $E$ est telle que $|E| \leq 10^{-n}$.
(a) Calculer $\sin 0,1$ avec une précision de $10^{-3}$.
(b) On cherche un calcul approché de $\int_0^1 \sin x dx$.
i. On rappelle l'inégalité $|\int_a^b f| \leq \int_a^b |f|$. Rappeler les hypothèses.
ii. Montrer que $|\int_0^1 R_n(x)dx| \leq \frac{1}{(n + 1)!}$.
iii. Déterminer $n$ pour un calcul à $10^{-4}$ de $\int_0^1 \sin x dx$.
iv. Faire le calcul approché. Comparer avec la calculatrice.

1. Écrire les formules de Taylor des fonctions cosinus et exponentielle.
2. Calculer à $10^{-3}$ $\int_0^1 \cos x^2 dx$.
3. Calculer $e$ à $10^{-3}$.
4. Calculer à $10^{-3}$ $\int_0^1 e^{x^2} dx$.

En faisant des intégrations par parties, déterminer les primitives des fonctions suivantes. Vérifier en dérivant.
1. $x \cos x$.
2. $x \exp(-x)$.
3. $\arctan x$.
4. $(\ln x)^2$.
5. $\frac{\ln \ln x}{x}$.
6. $\sin \ln x$.
7. $x^3 \exp(-x^2)$.

Avec des intégrations par parties, calculer :
1. $\int_0^\pi x^2 \sin x dx$.
2. $\int_0^\pi \sin^5 x dx$.
3. $\int_0^1 x^2 e^{2x} dx$.
4. $\int_1^2 x \ln x dx$.

Déterminer les primitives de :
1. $\ln x$
2. $\arctan x$
3. $xe^{-x}$
4. $xe^{-x^2}$
5. $x^3e^{-x}$
6. $e^x \sin x$

Soit $(I_n)$ la suite d'intégrales définie pour $n \geq 0$ par $I_n = \int_0^1 x^n e^x dx$.
1. Calculer $I_0$.
2. Pour $n \geq 1$, établir une relation de récurrence entre $I_{n-1}$ et $I_n$.
3. Montrer que pour $n \geq 1$, on a $0 \leq I_n \leq \frac{e}{n + 1}$.
4. Étudier la limite de la suite $(I_n)$.

Soient $m$, $n$ des entiers strictement positifs. On définit $B(m, n) = \int_0^1 x^n(1 - x)^m dx$.
1. Montrer que $B(n, m) = \frac{n}{m + 1}B(n - 1, m + 1)$.
2. Montrer que $B(n, m) = \frac{n!m!}{(n + m + 1)!}$.

Soit un entier $m \geq 0$, on définit $K_m(x) = \int x^m \sin x dx$.
1. Déterminer $K_1(x)$.
2. Soit $m \geq 2$, montrer que $K_m(x) = -x^m \cos x + mx^{m-1} \sin x - m(m - 1)K_{m-2}$.
3. Déterminer $K_0(x)$, $K_1(x)$, $K_2(x)$.
4. Déterminer $K_3(x)$.

Soit $f$ de classe $C^1$, positive et décroissante, soit $g$ continue, soit $[a, b]$. Cet exercice montre qu'il existe $c \in [a, b]$ tel que $\int_a^b f(t)g(t)dt = f(a)\int_a^c g(t)dt$.
1. Soit $x \in [a, b]$, on définit $G(x) = \int_a^x g(t)dt$. Montrer, en faisant une intégration par parties, que $\int_a^b f(t)g(t)dt = G(b)f(b) + \int_a^b g(t)(-f'(t))dt$.
2. On note $m = \inf\{G(x), x \in [a, b]\}$ et $M = \sup\{G(x), x \in [a, b]\}$. Montrer que $mf(a) \leq \int_a^b f(t)g(t)dt \leq Mf(a)$.
3. En déduire le résultat.

Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur un segment $[a; b]$. Montrer que $\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f(t) \sin(nt)dt = 0$.