Espaces vectoriels de dimension finie

THE MATHS TAILOR

1. Familles de vecteurs

1.0. Définition

Définition—Famille de vecteurs

Soient

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

I

un ensemble. On appelle famille de vecteurs de $E$ indexée par $I$ toute application de

I

dans

E

. On la note

(u_i)_{i\in I}

(u_i)

s'il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble d'indices

I

Remarque

Une famille diffère d'une partie en ce qu'un même vecteur peut apparaître plusieurs fois dans une famille (à des indices différents).

1.1. Opérations sur une famille engendrant un sous-espace vectoriel

Lemme

Soient

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel,

A

B

deux parties de

E

. Alors

\text{vect}(A) = \text{vect}(B) \iff A \subset \text{vect}(B) \text{ et } B \subset \text{vect}(A)

1.2. Familles génératrices

Définition—Famille génératrice

Soient

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

(u_i)_{i\in I} \in E^I

. On dit que la famille

(u_i)_{i\in I}

est une famille génératrice de

E

ou encore qu'elle engendre

E

si tout vecteur de

E

peut s'écrire comme une combinaison linéaire des

u_i

, autrement dit si

\text{vect}(u_i)_{i\in I} = E

1.3. Familles libres

Définition—Famille libre, famille liée (cas d'une famille finie)

Soient

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

(u_1, \ldots, u_n) \in E^n

. On dit que la famille

(u_1, \ldots, u_n)

est libre ou encore que les

u_i

sont linéairement indépendants si

\forall (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{K}^n, \sum_{i=1}^{n} \lambda_i u_i = 0_E \implies \forall i \in \{1, \ldots, n\}, \lambda_i = 0

Dans le cas contraire, on dit que la famille

(u_1, \ldots, u_n)

est liée ou encore que les

u_i

sont linéairement dépendants. De manière équivalente, la famille

(u_1, \ldots, u_n)

est liée si et seulement si l'un des

u_i

est combinaison linéaire des autres.

1.4. Bases

Définition—Base

Soient

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

(u_i)_{i\in I} \in E^I

. On dit que la famille

(u_i)_{i\in I}

est une base de

E

si elle est à la fois génératrice de

E

et libre.

1.5. Cas particulier de $\mathbb{K}^n$

Définition—Famille échelonnée de vecteurs de

\mathbb{K}^n

Soit

(u_1, \ldots, u_p)

une famille de vecteurs de

\mathbb{K}^n

. Pour tout

i \in \llbracket 1, p \rrbracket

, on note

a_i

(resp.

b_i

) le nombre de zéros initiaux (resp. terminaux) dans le vecteur

u_i

. On dit que la famille

(u_1, \ldots, u_p)

est échelonnée si une des suites finies

(a_1, \ldots, a_n)

(b_1, \ldots, b_n)

est strictement monotone.

1. Familles de vecteurs

1.0. Définition

Définition—Famille de vecteurs

Soient

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

I

un ensemble. On appelle famille de vecteurs de $E$ indexée par $I$ toute application de

I

dans

E

. On la note

(u_i)_{i\in I}

(u_i)

s'il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble d'indices

I

Remarque

Une famille diffère d'une partie en ce qu'un même vecteur peut apparaître plusieurs fois dans une famille (à des indices différents).

1.1. Opérations sur une famille engendrant un sous-espace vectoriel

Lemme

Soient

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel,

A

B

deux parties de

E

. Alors

\text{vect}(A) = \text{vect}(B) \iff A \subset \text{vect}(B) \text{ et } B \subset \text{vect}(A)

1.2. Familles génératrices

Définition—Famille génératrice

Soient

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

(u_i)_{i\in I} \in E^I

. On dit que la famille

(u_i)_{i\in I}

est une famille génératrice de

E

ou encore qu'elle engendre

E

si tout vecteur de

E

peut s'écrire comme une combinaison linéaire des

u_i

, autrement dit si

\text{vect}(u_i)_{i\in I} = E

1.3. Familles libres

Définition—Famille libre, famille liée (cas d'une famille finie)

Soient

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

(u_1, \ldots, u_n) \in E^n

. On dit que la famille

(u_1, \ldots, u_n)

est libre ou encore que les

u_i

sont linéairement indépendants si

\forall (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{K}^n, \sum_{i=1}^{n} \lambda_i u_i = 0_E \implies \forall i \in \{1, \ldots, n\}, \lambda_i = 0

Dans le cas contraire, on dit que la famille

(u_1, \ldots, u_n)

est liée ou encore que les

u_i

sont linéairement dépendants. De manière équivalente, la famille

(u_1, \ldots, u_n)

est liée si et seulement si l'un des

u_i

est combinaison linéaire des autres.

1.4. Bases

Définition—Base

Soient

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

(u_i)_{i\in I} \in E^I

. On dit que la famille

(u_i)_{i\in I}

est une base de

E

si elle est à la fois génératrice de

E

et libre.

1.5. Cas particulier de $\mathbb{K}^n$

Définition—Famille échelonnée de vecteurs de

\mathbb{K}^n

Soit

(u_1, \ldots, u_p)

une famille de vecteurs de

\mathbb{K}^n

. Pour tout

i \in \llbracket 1, p \rrbracket

, on note

a_i

(resp.

b_i

) le nombre de zéros initiaux (resp. terminaux) dans le vecteur

u_i

. On dit que la famille

(u_1, \ldots, u_p)

est échelonnée si une des suites finies

(a_1, \ldots, a_n)

(b_1, \ldots, b_n)

est strictement monotone.

Espaces vectoriels de dimension finie

1. Familles de vecteurs

1.0. Définition

1.1. Opérations sur une famille engendrant un sous-espace vectoriel

1.2. Familles génératrices

1.3. Familles libres

1.4. Bases

1.5. Cas particulier de Kn\mathbb{K}^nKn

1. Familles de vecteurs

1.0. Définition

1.1. Opérations sur une famille engendrant un sous-espace vectoriel

1.2. Familles génératrices

1.3. Familles libres

1.4. Bases

1.5. Cas particulier de Kn\mathbb{K}^nKn

1.5. Cas particulier de $\mathbb{K}^n$

1.5. Cas particulier de $\mathbb{K}^n$