Espaces vectoriels de dimension finie | The Maths Tailor

Espaces vectoriels de dimension finie

Cours Exercices

Cours

1Familles de vecteurs

2Dimension d'un espace vectoriel

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3Dimension et sous-espaces vectoriels

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4Rang d'une famille de vecteurs

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Méthodes17p.1/2

PavlovDémontrer qu'une famille est une base

Pour démontrer qu'une famille $(v_{1}, \dots, v_{n})$ est une base de $E$ , on peut

prouver qu'elle est libre et génératrice;
prouver qu'elle est libre et, si on connait la dimension de $E$ , remarquer qu'elle possède le même nombre de vecteurs que la dimension de $E$ .

PavlovExploiter le degré pour les familles de polynômes

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PavlovPolynôme à infinité de racines → polynôme nul

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ClassiqueExploiter une propriété caractéristique pour séparer les fonctions

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TunnelMontrer qu'une famille de vecteurs est libre

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ClassiqueReconnaître une structure classique (Lagrange, Vandermonde)

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TunnelCompléter une famille libre en une base

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ClassiqueTrouver une base d'un sous-espace vectoriel

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ClassiqueTrouver une base de F+G

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PavlovDémontrer que deux sous-espaces vectoriels sont égaux

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1 / 2

Exercices

Vérifier une base dans R^{3}

On pose

e_{1} = (1, 1, 1)

,

e_{2} = (1, 1, 0)

et

e_{3} = (0, 1, 1)

. Montrer que

B = (e_{1}, e_{2}, e_{3})

est une base de

R^{3}

.

Indication

Changement de base dans dim 3

Soit

E

un

K

-espace vectoriel de dimension

3

et

e = (e_{1}, e_{2}, e_{3})

une base de

E

. On pose

ε_{1} = e_{2} + 2 e_{3}

,

ε_{2} = e_{3} - e_{1}

et

ε_{3} = e_{1} + 2 e_{2}

. Montrer que

ε = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})

est une base de

E

.

Indication

Base par sommes partielles

Soit

E

un

K

-espace vectoriel muni d'une base

e = (e_{1}, \dots, e_{n})

. Pour tout

i \in {1, \dots, n}

, on pose

ε_{i} = e_{1} + \dots + e_{i}

.

Montrer que $ε = (ε_{1}, \dots, ε_{n})$ est une base de $E$ .
Exprimer les composantes dans $ε$ d'un vecteur en fonction de ses composantes dans $e$ .

Indication

Base de K_{2} [X]

Soient

P_{1} = X^{2} + 1

,

P_{2} = X^{2} + X - 1

et

P_{3} = X^{2} + X

. Montrer que la famille

(P_{1}, P_{2}, P_{3})

est une base de

K_{2} [X]

.

Indication

Base de K_{n} [X] différences

Pour

k \in {0, \dots, n}

, on pose

P_{k} = (X + 1)^{k + 1} - X^{k + 1}

. Montrer que la famille

(P_{0}, \dots, P_{n})

est une base de

K_{n} [X]

.

Indication

Base de Lagrange de R_{n} [X]

Soit

n \in N

. Soient

x_{0}, \dots, x_{n}

n

réels distincts. On définit pour

0 \leq i \leq n

les polynômes

L_{i} = j \neq = i \prod \frac{X - x _{j}}{x _{i} - x _{j}}

Montrer que $(L_{0}, \dots, L_{n})$ est une base de $R_{n} [X]$ .
Soit $k \in [[0, n]]$ . Calculer $P = i = 0 \sum n x_{i}^{k} L_{i}$ .

Indication

Suites p-périodiques : dimension

Soient

p \in N^{*}

et

E

l'ensemble des suites réelles

p

-périodiques i.e. l'ensemble des suites réelles

(u_{n})

telles que

\forall n \in N

,

u (n + p) = u (n)

. Montrer que

E

est un

R

-espace vectoriel de dimension finie et déterminer celle-ci.

Indication

Base d'un hyperplan de R^{3}

Dans

R^{3}

, on considère le sous-espace vectoriel

H = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x - 2 y + 3 z = 0}

. Soient

u = (1, 2, 1)

et

v = (- 1, 1, 1)

. Montrer que

B = (u, v)

forme une base de

H

.

Indication

Calculs de rangs