Espaces vectoriels de dimension finie

Soient $I$ un intervalle non vide de $\mathbb{R}$ et $(f_1, \ldots, f_n)$ une famille de fonctions de $I$ vers $\mathbb{R}$.
Montrer que la famille $(f_1, \ldots, f_n)$ est libre si, et seulement si, il existe $x_1, \ldots, x_n$ dans $I$ tels que le déterminant de la matrice $(f_i(x_j))_{1 \leq i,j \leq n}$ soit non nul.

Soient $E = \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, $C$ l'ensemble des fonctions de $E$ croissantes et $\Delta = \{f - g \mid f, g \in C\}$.
Montrer que $\Delta$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Soient $F = \{f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(0) = f'(0) = 0\}$ et $G = \{x \mapsto ax + b \mid (a, b) \in \mathbb{R}^2\}$.
Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

Soient $F = \left\{f \in \mathcal{C}([-1\,;\,1], \mathbb{C}) \mid \displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\,dt = 0\right\}$ et $G = \{f \in \mathcal{C}([-1\,;\,1], \mathbb{C}) \mid f \text{ constante}\}$.
Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal{C}([-1\,;\,1], \mathbb{C})$.

Soient $H = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{K}^n \mid x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0\}$ et $u = (1, \ldots, 1) \in \mathbb{K}^n$.
Montrer que $H$ et $\operatorname{Vect}(u)$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathbb{K}^n$.

Dans l'espace $E = \mathcal{C}([0\,;\,\pi], \mathbb{R})$ on considère les parties $F = \{f \in E \mid f(0) = f(\pi/2) = f(\pi)\}$ et $G = \operatorname{Vect}(\sin, \cos)$.
Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.

Les familles suivantes de vecteurs de $\mathbb{R}^3$ sont-elles libres ?
Si ce n'est pas le cas, former une relation linéaire liant ces vecteurs :

On pose $f_1, f_2, f_3, f_4 : [0\,;\,2\pi] \to \mathbb{R}$ les fonctions définies par :
$$f_1(x) = \cos x,\quad f_2(x) = x\cos x,\quad f_3(x) = \sin x,\quad f_4(x) = x\sin x.$$
Montrer que la famille $(f_1, f_2, f_3, f_4)$ est libre.

Pour tout entier $0 \leq k \leq n$, on pose $f_k : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f_k(x) = e^{kx}$.
Montrer que la famille $(f_k)_{0 \leq k \leq n}$ est une famille libre de $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

Soit $(\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ et $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{K}$.
On pose $\vec{u} = \alpha_1 \vec{x}_1 + \cdots + \alpha_n \vec{x}_n$ et $\forall 1 \leq i \leq n$, $\vec{y}_i = \vec{x}_i + \vec{u}$.
À quelle condition sur les $\alpha_i$, la famille $(\vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_n)$ est-elle libre ?

Soit $(e_1, \ldots, e_p)$ une famille libre de vecteurs de $E$.
Montrer que pour tout $a \in E \setminus \operatorname{Vect}(e_1, \ldots, e_p)$, la famille $(e_1 + a, \ldots, e_p + a)$ est libre.

Pour $a \in \mathbb{R}$, on note $f_a$ l'application de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $f_a(x) = |x - a|$.
Montrer que la famille $(f_a)_{a \in \mathbb{R}}$ est une famille libre d'éléments de l'espace $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

Pour $a \in \mathbb{R}_+$, on note $f_a$ l'application de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $f_a(t) = \cos(at)$.
Montrer que la famille $(f_a)_{a \in \mathbb{R}_+}$ est une famille libre d'éléments de l'espace de $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

Soient $n \in \mathbb{N}$ et $E = \mathbb{R}_n[X]$. Pour tout $i \in [\![0\,;\,n]\!]$, on note $F_i = \{P \in E \mid \forall j \in [\![0\,;\,n]\!] \setminus \{i\},\, P(j) = 0\}$. Montrer que les $F_i$ sont des sous-espaces vectoriels et que $E = F_0 \oplus \cdots \oplus F_n$.

Soient $P_1 = X^2 + 1$, $P_2 = X^2 + X - 1$ et $P_3 = X^2 + X$. Montrer que la famille $(P_1, P_2, P_3)$ est une base de $\mathbb{K}_2[X]$.

Pour $k \in \{0, \ldots, n\}$, on pose $P_k = (X + 1)^{k+1} - X^{k+1}$. Montrer que la famille $(P_0, \ldots, P_n)$ est une base de $\mathbb{K}_n[X]$.

Soit $E$ l'espace vectoriel des applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On considère $F$ la partie de $E$ constituée des applications de la forme : $$x \mapsto P(x)\sin x + Q(x)\cos x \quad \text{avec } P, Q \in \mathbb{R}_n[X].$$

$(a)$ Montrer que la famille $(X + k)^n$ pour $k \in \{0, \ldots, n\}$ constitue une base de $\mathbb{R}_n[X]$. $(b)$ Redémontrer la formule donnant l'expression du déterminant de Vandermonde.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^2 - 3f + 2\operatorname{Id} = 0$.

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ vérifiant $f \circ g = \operatorname{Id}$. Montrer que $\operatorname{Ker} f = \operatorname{Ker}(g \circ f)$, $\operatorname{Im} g = \operatorname{Im}(g \circ f)$ puis que $\operatorname{Ker} f$ et $\operatorname{Im} g$ sont supplémentaires.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Soit $s$ un endomorphisme de $E$ involutif, i.e. tel que $s^2 = \operatorname{Id}$. On pose $F = \operatorname{Ker}(s - \operatorname{Id})$ et $G = \operatorname{Ker}(s + \operatorname{Id})$. Plus généralement, soient $\alpha \in \mathbb{K} \setminus \{1\}$ et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $f^2 - (\alpha + 1)f + \alpha \operatorname{Id} = 0$. On pose $F = \operatorname{Ker}(f - \operatorname{Id})$ et $G = \operatorname{Ker}(f - \alpha \operatorname{Id})$.

Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^2 - 4f + 3\operatorname{Id} = \tilde{0}$. Montrer $$\operatorname{Ker}(f - \operatorname{Id}) \oplus \operatorname{Ker}(f - 3\operatorname{Id}) = E.$$ Quelle transformation vectorielle réalise $f$ ?

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie vérifiant $\operatorname{rg}(f^2) = \operatorname{rg}(f)$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que $E = \operatorname{Im} u + \operatorname{Im} v = \operatorname{Ker} u + \operatorname{Ker} v$. Établir que d'une part, $\operatorname{Im} u$ et $\operatorname{Im} v$, d'autre part $\operatorname{Ker} u$ et $\operatorname{Ker} v$ sont supplémentaires dans $E$.

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ vérifiant $f^3 = \operatorname{Id}_E$. Montrer $$\operatorname{Ker}(f - \operatorname{Id}_E) \oplus \operatorname{Im}(f - \operatorname{Id}_E) = E.$$