Endomorphismes d'un espace euclidien

THE MATHS TAILOR

1. Adjoint d'un endomorphisme

1.1. Adjoint d'un endomorphisme

Remarque

On rappelle que

E^{*}

désigne l'espace dual d'un

K

-espace vectoriel

E

, c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur

E

. Autrement dit,

E^{*} = L (E, K)

Théorème—Représentation des formes linéaires

L'application

{E a ⟶ E^{*} ⟼ (x \in E \mapsto ⟨ a, x ⟩)

est un isomorphisme.

Remarque

Ceci signifie en particulier que pour toute forme linéaire

φ \in E^{*}

, il existe un unique vecteur

a \in E

tel que

\forall x \in E, φ (x) = ⟨ a, x ⟩

Définition—Adjoint

Soit

u \in L (E)

. Il existe un unique

u^{*} \in L (E)

tel que

\forall (x, y) \in E^{2}, ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u^{*} (y)⟩

Cet endomorphisme

u^{*}

s'appelle l'adjoint de

u

Méthode—Déterminer un adjoint

Soit

(u, v) \in L (E)^{2}

. Alors

v = u^{*}

si et seulement si

\forall (x, y) \in E^{2}, ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, v (y)⟩

Exemple

Id_{E}^{*} = Id_{E}

. En effet, pour tout

(x, y) \in E^{2}

⟨ Id_{E} (x), y ⟩ = ⟨ x, y ⟩ = ⟨ x, Id_{E} (y)⟩

Application

Soit

u \in L (E)

. Montrer que

u = 0 ⟺ u^{*} \circ u = 0

Correction bientôt disponible

Proposition—Propriétés de l'adjonction

Linéarité L'application

{L (E) u ⟶ L (E) ⟼ u^{*}

est linéaire.

Involutivité Pour tout

u \in L (E)

(u^{*})^{*} = u

.

Adjoint d'une composée Pour tout

(u, v) \in L (E)^{2}

(u \circ v)^{*} = v^{*} \circ u^{*}

.

Adjoint d'un inverse Si

u \in GL (E)

, alors

u^{*} \in GL (E)

(u^{- 1})^{*} = (u^{*})^{- 1}

Remarque

La linéarité et l'involutivité montrent que l'application

{L (E) u ⟶ L (E) ⟼ u^{*}

est donc une symétrie vectorielle.

Application

Soit

u

un endomorphisme d'un espace euclidien

E

.
1. Montrer que

ker u^{*} = (Im u)^{⊥}

et que

Im u^{*} = (ker u)^{⊥}

.
2. En déduire que

rg (u) = rg (u^{*})

Application

Soit

u

un endomorphisme d'un espace euclidien

E

. Montrer que l'adjonction induit un automorphisme de l'algèbre

R [u]

Correction bientôt disponible

Proposition—Matrice de l'adjoint dans une base orthonormée

Soit

u \in L (E)

B

une base orthonormée de

E

. Alors

mat_{B} (u^{*}) = mat_{B} (u)^{⊤}

Remarque

Comme la trace, le rang, le déterminant, le polynôme caractéristique et le polynôme minimal sont invariants par transposition, ils sont aussi invariants par adjonction.

Application

Soit

E

un espace euclidien. Montrer que

(f, g) \in L (E)^{2} \mapsto tr (f^{*} \circ g)

est un produit scalaire sur

L (E)

Proposition—Adjoint et stabilité

F

est un sous-espace vectoriel de

E

stable par

u \in L (E)

, alors

F^{⊥}

est stable par

u^{*}

Démonstration bientôt disponible