On munit Mn(R) de son produit scalaire usuel. On pose pour A∈Mn(R), gA:M∈Mn(R)↦AM. Calculer l'adjoint de gA.
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Polynômes de Legendre
On pose Qn=(X2−1)n=(X+1)n(X−1)n pour n∈N. 1. Montrer que φ:(P,Q)↦∫−11P(t)Q(t)dt est un produit scalaire sur Rn[X]. On notera φ(P,Q)=⟨P,Q⟩ par la suite. 2. Soit n et k deux entiers tels que 0≤k<n. Montrer que Qn(k)(−1)=Qn(k)(1)=0. 3. On pose Pn=Qn(n) pour n∈N. Montrer que (Pk)0≤k≤n est une base orthogonale de Rn[X]. 4. Soit L:P∈Rn[X]↦(X2−1)P′′+2XP′. Montrer que L est un endomorphisme auto-adjoint de Rn[X]. 5. Montrer que pour tout k∈[[0,n]], Pk est un vecteur propre de L.
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Polynômes de Hermite
Soient n∈N et E=Rn[X]. Pour tout P∈E, on pose L(P)=P′′−2XP′. Pour tous P,Q∈E, on note ⟨P,Q⟩=∫−∞+∞P(t)Q(t)e−t2dt. 1. Vérifier que ⟨⋅,⋅⟩ est un produit scalaire sur E. 2. Montrer que L est diagonalisable. On précisera ses valeurs propres. 3. Montrer que L est auto-adjoint pour ⟨⋅,⋅⟩. 4. Montrer que l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de la base canonique de E diagonalise L i.e. est une base de vecteurs propres de L.
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Endomorphisme intégral symétrique
On pose E=Rn[X] muni du produit scalaire défini par(P∣Q)=∫01P(t)Q(t)dt.
Montrer que la relationu(P)(x)=∫01(x+t)nP(t)dtdéfinit un endomorphisme u de l'espace E.
Vérifier que l'endomorphisme u est symétrique.
Calculer la trace de u.
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Diagonaliser une symétrique 3×3
Justifier queA=1−2−2−21−2−2−21est diagonalisable et trouver P telle que tPAP soit diagonale.
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Deuxième matrice 3×3 à diagonaliser
On considère la matriceA=−2−21−21−21−2−2.
Justifiez que la matrice A est diagonalisable.
Déterminer P et D dans M3(R) telles que tP=P−1, D est diagonale et tPAP=D.
