Equations différentielles linéaires

SPEanalyse

1. Généralités

1.0. Introduction

Encadré

Dans ce chapitre,

I

désigne un intervalle de

R

et

E

un

K

-espace vectoriel normé de dimension finie (

K = R

ou

K = C

).

1.1. Définitions

Définition—Equation différentielle linéaire

On appelle équation différentielle linéaire une équation de la forme

x^{'} = a (t) (x) + b (t)

où

$a : I \to L (E)$ est continue;
$b : I \to E$ est continue;
$x : I \to E$ est une fonction inconnue de classe $C^{1}$ .

2. Solutions d'une équation différentielle linéaire

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Exponentielle d'un endomorphisme ou d'une matrice

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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4. Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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5. Variation des constantes (hors programme)

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6. Equations différentielles linéaires scalaires

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1. Généralités

1.0. Introduction

Encadré

Dans ce chapitre,

I

désigne un intervalle de

R

et

E

un

K

-espace vectoriel normé de dimension finie (

K = R

ou

K = C

).

1.1. Définitions

Définition—Equation différentielle linéaire

On appelle équation différentielle linéaire une équation de la forme

x^{'} = a (t) (x) + b (t)

où

$a : I \to L (E)$ est continue;
$b : I \to E$ est continue;
$x : I \to E$ est une fonction inconnue de classe $C^{1}$ .

2. Solutions d'une équation différentielle linéaire

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Encadré—Ecriture matricielle d'une équation différentielle linéaire

Si

B = (e_{1}, \dots, e_{n})

est une base de

E

, alors en notant

$A (t) \in M_{n} (R)$ la matrice de $a (t)$ dans la base $B$ ;
$B (t) \in M_{n, 1} (R)$ la matrice de $b (t)$ dans la base $B$ ;
$X (t) \in M_{n, 1} (R)$ la matrice de $x (t)$ dans la base $B$ ;

l'équation différentielle

x^{'} = a (t) (x) + b (t)

équivaut à

X^{'} = A (t) X + B (t)

Définition—Equation différentielle linéaire homogène

L'équation différentielle homogène associée à l'équation différentielle linéaire

x^{'} = a (t) (x) + b (t)

est

x^{'} = a (t) (x)

Proposition—Principe de superposition

Si

x_{1}

et

x_{2}

sont des solutions respectives des équations différentielles linéaires

x^{'} = a (t) (x) + b_{1} (t)

et

x^{'} = a (t) (x) + b_{2} (t)

alors pour tout

(λ, μ) \in K^{2}

,

λ x_{1} + μ x_{2}

est solution de l'équation différentielle linéaire

x^{'} = a (t) (x) + (λ b_{1} (t) + μ b_{2} (t))

Démonstration bientôt disponible

Définition—Problème de Cauchy

On appelle problème de Cauchy une équation différentielle linéaire assortie d'une condition initiale :

{x^{'} = a (t) (x) + b (t) x (t_{0}) = x_{0}

avec

t_{0} \in I

et

x_{0} \in E

.

Remarque

Trouver une solution

x

du problème de Cauchy précédent équivaut à déterminer une application

x

continue sur

I

vérifiant

\forall t \in I, x (t) = x (t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} (a (s) (x (s)) + b (s)) d s