3Exponentielle d'un endomorphisme ou d'une matrice
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4Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants
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5Variation des constantes (hors programme)
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6Equations différentielles linéaires scalaires
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Méthodes8
TunnelRésolution des systèmes homogènes à coefficients constants
Pour résoudre X′=AX :
si A est diagonalisable, de vecteurs propres X1,…,Xn associés aux valeurs propres λ1,…,λn, une base de l'ensemble des solutions est (eλ1tX1,…,eλntXn).
si K=R et A est diagonalisable sur C mais pas sur R, on résout d'abord sur C puis on en déduit une base de solutions à valeurs réelles grâce aux parties réelles et imaginaires des solutions complexes.
si A est seulement trigonalisable : on trigonalise A sous la forme A=PTP−1; en posant Y=P−1X, on obtient le système triangulaire Y′=TY que l'on résout ligne par ligne, du bas vers le haut.
on peut aussi calculer l'exponentielle de A. Le calcul est plus facile si on connaît un polynôme annulateur de A.
TunnelRésolution des systèmes à coefficients constants avec second membre
Soit A∈Mn(R) telle que tr(A)>0, et x:R→Mn,1(R) de classe C1, telle que ∀t∈R,x′(t)=Ax(t) et t→+∞limx(t)=0.
Montrer qu'il existe une forme linéaire non nulle ℓ, telle que ∀t∈R,ℓ(x(t))=0.
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Bornitude de X′=AX, A antisymétrique
Soit A∈Mn(R) antisymétrique. Montrer que les solutions du système différentiel X′=AX sont toutes bornées.
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CCINP (ou CCP) MP 2019
Résoudre, à l'aide de matrices, le système différentiel suivant :⎩⎨⎧x′=3x+6yy′=−3x−6yz′=−3x−6y−5z
IndicationMasquer
Système linéaire 3×3 couplé (II)
Résoudre le système différentiel⎩⎨⎧x′=x−zy′=x+y+zz′=−x−y+z
IndicationMasquer
TPE-EIVP MP 2014
Résoudre le système différentiel suivant :{x′(t)=9x(t)−5y(t)+2ty′(t)=10x(t)−6y(t)+et
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Saint-Cyr PSI 2019
Soit la matrice A=3−11020−111.
Montrer que A est semblable à T=200120002. Donner une matrice inversible P telle que A=PTP−1.
Trouver les solutions du système différentiel X′(t)=AX(t), avec X(t)=f(t)g(t)h(t).
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Bornitude des solutions, système X′=AX
On pose A=(0−110). Soit S l'ensemble des fonctions X:R→M2,1(R) de classe C1 et telles que∀t∈R,X′(t)=AX(t)
Montrer que V:t↦(cost−sint) appartient à S.
Soit X∈S. Montrer que AX∈S.
En déduire une base de S.
Soit X∈S. Montrer que X est bornée sur R.
Soient P∈M2(R) inversible et M∈M2(R) telles que A=PMP−1. Soit Y:R→M2,1(R) de classe C1 sur R et telle que Y′=MY. Montrer que Y est bornée sur R.
On introduit sur M2,1(R) le produit scalaire défini par (X∣Z)=X⊤Z et on note ∥⋅∥ la norme euclidienne associée. Soit b:R→R continue et intégrable sur R. Soit X:R→M2,1(R) de classe C1 et telle que∀t∈R,X′(t)=(A+b(t)I2)X(t)Soit f:t↦∥X(t)∥2. Montrer que f est de classe C1 sur R et vérifie∀t∈R,f′(t)=2b(t)f(t)
Montrer que la fonction X de la question précédente est bornée.
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Système 2×2 à coefficients constants
Résoudre le système différentiel suivant{x′=4x−2yy′=x+y.
