The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Généralités sur les équations différentielles

1.1. Notion d'équation différentielle

Définition—Équation différentielle

On appelle équation différentielle une équation dont l'inconnue est une fonction de

\mathbb{R}

dans

\mathbb{K}

et qui fait intervenir cette fonction ainsi que ces dérivées successives.

On appelle ordre de cette équation différentielle l'ordre maximal de dérivation de la fonction inconnue.

Exemple

y'' = x^2 e^y + 1

est une équation différentielle d'ordre 2 dont l'inconnue est une fonction

y

.

Cette écriture est un abus de notation, il faut comprendre

y''(x) = x^2 e^{y(x)} + 1

pour tout

x

dans un intervalle à déterminer.

Encadré—Résolution d'une équation différentielle

Résoudre une équation différentielle consiste à rechercher :

un intervalle $I$ ,
une fonction $y$ suffisamment dérivable et vérifiant l'équation différentielle sur $I$ .

Exemple

Résoudre l'équation différentielle

y'' = x^2 e^y + 1

consiste à déterminer un intervalle

I

et une fonction

y

deux fois dérivable sur

I

tels que

\forall x \in I, \quad y''(x) = x^2 e^{y(x)} + 1

Définition—Forme résolue ou implicite

Une équation différentielle est dite résolue si elle est de la forme

y^{(n)} = F(x, y, y', \ldots, y^{(n-1)})

. Dans le cas contraire, elle est dite implicite.

Exemple

L'équation différentielle

y'' = x^2 e^y + 1

est résolue.

Exemple

L'équation différentielle

xy' + \sin y = e^x

n'est pas résolue mais elle est équivalente sur

\mathbb{R}_+^*

à l'équation différentielle

y' = -\frac{1}{x} \sin y + \frac{e^x}{x}

qui est résolue.

Exemple

L'équation différentielle

y''^2 + y'^3 + y = 0

ne peut pas se mettre sous forme résolue.

Encadré—Conditions initiales

On peut aussi rechercher des solutions qui vérifient certaines conditions en un point

x_0

y(x_0) = y_0 \quad y'(x_0) = y'_0 \quad y''(x_0) = y''_0 \quad \ldots

On appelle ce type de condition des conditions initiales.

Exemple

La fonction

\tan

est solution de l'équation différentielle

y' - y^2 = 1

sur

]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[

et vérifie la condition initiale

y(0) = 0

Exemple

La fonction

\cosh

est solution de l'équation différentielle

y'^2 - y^2 = -1

sur

\mathbb{R}

et vérifie la condition initiale

y(0) = 1

Exemple

La fonction

x \mapsto x \ln x

est solution de l'équation différentielle

xy' - y = x

sur

\mathbb{R}_+^*

et vérifie la condition initiale

y(1) = 0

Définition—Problème de Cauchy

On appelle problème de Cauchy la donnée d'une équation différentielle résolue d'ordre

n

y^{(n)} = F(x, y, y', \ldots, y^{(n-1)})

et de

n

conditions initiales

y(x_0) = y_0 \quad y'(x_0) = y'_0 \quad y''(x_0) = y''_0 \quad \ldots \quad y^{(n-1)}(x_0) = y_0^{(n-1)}

Remarque

Le problème est qu'on ne dispose pas de méthode de résolution générale pour toutes les équations différentielles.

1.2. Équations différentielles linéaires

Remarque

Néanmoins, il existe une classe d'équations différentielles que l'on sait résoudre. Ce sont les équations différentielles linéaires.

Définition—Équation différentielle linéaire

On appelle équation différentielle linéaire toute équation de la forme :

(E) \quad a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = b

où

a_0, a_1, \ldots, a_n

b

sont des fonctions.

La fonction

b

est appelé le second membre. Si

b

est nulle, alors l'équation est dite homogène ou sans second membre.

L'équation différentielle

(E_H) \quad a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0

est appelée équation différentielle homogène associée à

(E)

.

Si

a_0, a_1, \ldots, a_n

sont des constantes, on parle d'équation différentielle linéaire à coefficients constants.

1. Généralités sur les équations différentielles

1.1. Notion d'équation différentielle

Définition—Équation différentielle

On appelle équation différentielle une équation dont l'inconnue est une fonction de

\mathbb{R}

dans

\mathbb{K}

et qui fait intervenir cette fonction ainsi que ces dérivées successives.

On appelle ordre de cette équation différentielle l'ordre maximal de dérivation de la fonction inconnue.

Exemple

y'' = x^2 e^y + 1

est une équation différentielle d'ordre 2 dont l'inconnue est une fonction

y

.

Cette écriture est un abus de notation, il faut comprendre

y''(x) = x^2 e^{y(x)} + 1

pour tout

x

dans un intervalle à déterminer.

Encadré—Résolution d'une équation différentielle

Résoudre une équation différentielle consiste à rechercher :

un intervalle $I$ ,
une fonction $y$ suffisamment dérivable et vérifiant l'équation différentielle sur $I$ .

Exemple

Résoudre l'équation différentielle

y'' = x^2 e^y + 1

consiste à déterminer un intervalle

I

et une fonction

y

deux fois dérivable sur

I

tels que

\forall x \in I, \quad y''(x) = x^2 e^{y(x)} + 1

Définition—Forme résolue ou implicite

Une équation différentielle est dite résolue si elle est de la forme

y^{(n)} = F(x, y, y', \ldots, y^{(n-1)})

. Dans le cas contraire, elle est dite implicite.

Exemple

L'équation différentielle

y'' = x^2 e^y + 1

est résolue.

Exemple

L'équation différentielle

xy' + \sin y = e^x

n'est pas résolue mais elle est équivalente sur

\mathbb{R}_+^*

à l'équation différentielle

y' = -\frac{1}{x} \sin y + \frac{e^x}{x}

qui est résolue.

Exemple

L'équation différentielle

y''^2 + y'^3 + y = 0

ne peut pas se mettre sous forme résolue.

Encadré—Conditions initiales

On peut aussi rechercher des solutions qui vérifient certaines conditions en un point

x_0

y(x_0) = y_0 \quad y'(x_0) = y'_0 \quad y''(x_0) = y''_0 \quad \ldots

On appelle ce type de condition des conditions initiales.

Exemple

La fonction

\tan

est solution de l'équation différentielle

y' - y^2 = 1

sur

]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[

et vérifie la condition initiale

y(0) = 0

Exemple

La fonction

\cosh

est solution de l'équation différentielle

y'^2 - y^2 = -1

sur

\mathbb{R}

et vérifie la condition initiale

y(0) = 1

Exemple

La fonction

x \mapsto x \ln x

est solution de l'équation différentielle

xy' - y = x

sur

\mathbb{R}_+^*

et vérifie la condition initiale

y(1) = 0

Définition—Problème de Cauchy

On appelle problème de Cauchy la donnée d'une équation différentielle résolue d'ordre

n

y^{(n)} = F(x, y, y', \ldots, y^{(n-1)})

et de

n

conditions initiales

y(x_0) = y_0 \quad y'(x_0) = y'_0 \quad y''(x_0) = y''_0 \quad \ldots \quad y^{(n-1)}(x_0) = y_0^{(n-1)}

Remarque

Le problème est qu'on ne dispose pas de méthode de résolution générale pour toutes les équations différentielles.

1.2. Équations différentielles linéaires

Remarque

Néanmoins, il existe une classe d'équations différentielles que l'on sait résoudre. Ce sont les équations différentielles linéaires.

Définition—Équation différentielle linéaire

On appelle équation différentielle linéaire toute équation de la forme :

(E) \quad a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = b

où

a_0, a_1, \ldots, a_n

b

sont des fonctions.

La fonction

b

est appelé le second membre. Si

b

est nulle, alors l'équation est dite homogène ou sans second membre.

L'équation différentielle

(E_H) \quad a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0

est appelée équation différentielle homogène associée à

(E)

.

Si

a_0, a_1, \ldots, a_n

sont des constantes, on parle d'équation différentielle linéaire à coefficients constants.