On appelle équation différentielle une équation dont l'inconnue est une fonction de R dans K et qui fait intervenir cette fonction ainsi que ces dérivées successives.
On appelle ordre de cette équation différentielle l'ordre maximal de dérivation de la fonction inconnue.
Exemple
y′′=x2ey+1 est une équation différentielle d'ordre 2 dont l'inconnue est une fonction y.
Cette écriture est un abus de notation, il faut comprendre y′′(x)=x2ey(x)+1 pour tout x dans un intervalle à déterminer.
Encadré—Résolution d'une équation différentielle
Résoudre une équation différentielle consiste à rechercher :
un intervalle I,
une fonction y suffisamment dérivable et vérifiant l'équation différentielle sur I.
Exemple
Résoudre l'équation différentielle y′′=x2ey+1 consiste à déterminer un intervalle I et une fonction y deux fois dérivable sur I tels que∀x∈I,y′′(x)=x2ey(x)+1
Définition—Forme résolue ou implicite
Une équation différentielle est dite résolue si elle est de la forme y(n)=F(x,y,y′,…,y(n−1)). Dans le cas contraire, elle est dite implicite.
Exemples
L'équation différentielle y′′=x2ey+1 est résolue.
L'équation différentielle xy′+siny=ex n'est pas résolue mais elle est équivalente sur R+∗ à l'équation différentielley′=−x1siny+xexqui est résolue.
Encadré—Conditions initiales
On peut aussi rechercher des solutions qui vérifient certaines conditions en un point x0 :y(x0)=y0y′(x0)=y0′y′′(x0)=y0′′…On appelle ce type de condition des conditions initiales.
Exemples
La fonction tan est solution de l'équation différentielle y′−y2=1 sur ]−2π,2π[ et vérifie la condition initiale y(0)=0.
Définition—Problème de Cauchy
On appelle problème de Cauchy la donnée d'une équation différentielle résolue d'ordre n,y(n)=F(x,y,y′,…,y(n−1))et de n conditions initialesy(x0)=y0y′(x0)=y0′y′′(x0)=y0′′…y(n−1)(x0)=y0(n−1)
Remarque
Le problème est qu'on ne dispose pas de méthode de résolution générale pour toutes les équations différentielles.
1.2. Équations différentielles linéaires
Remarque
Néanmoins, il existe une classe d'équations différentielles que l'on sait résoudre. Ce sont les équations différentielles linéaires.
Définition—Équation différentielle linéaire
On appelle équation différentielle linéaire toute équation de la forme :(E)any(n)+an−1y(n−1)+⋯+a1y′+a0y=boù a0,a1,…,an et b sont des fonctions.
La fonction b est appelé le second membre. Si b est nulle, alors l'équation est dite homogène ou sans second membre.
L'équation différentielle(EH)any(n)+an−1y(n−1)+⋯+a1y′+a0y=0est appelée équation différentielle homogène associée à (E).
Si a0,a1,…,an sont des constantes, on parle d'équation différentielle linéaire à coefficients constants.
L'équation différentielle y′′2+y′3+y=0 ne peut pas se mettre sous forme résolue.
La fonction cosh est solution de l'équation différentielle y′2−y2=−1 sur R et vérifie la condition initiale y(0)=1.
La fonction x↦xlnx est solution de l'équation différentielle xy′−y=x sur R+∗ et vérifie la condition initiale y(1)=0.
Exemple
L'équation différentielle (x2+1)y′′=exy+arctanx est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 et son équation différentielle homogène associée est (x2+1)y′′=exy.
Remarque
L'appellation linéaire provient de la propriété suivante.
Théorème—Principe de superposition
Si y1 est une solution de l'EDL k=0∑naky(k)=b1 et y2 une solution de l'EDL k=0∑naky(k)=b2, alors λ1y1+λ2y2 est une solution de l'EDL k=0∑naky(k)=λ1b1+λ2b2 pour tout (λ1,λ2)∈K2.
Démonstration
Soient y1 une solution de ∑k=0naky(k)=b1 et y2 une solution de ∑k=0naky(k)=b2, et soient (λ1,λ2)∈K2. Posons y=λ1y1+λ2y2.
Puisque y1 et y2 sont n fois dérivables, y l'est aussi, et par linéarité de la dérivation :y(k)=λ1y1(k)+λ2y2(k)pour tout k∈{0,1,…,n}On calcule alors :k=0∑naky(k)=k=0∑nak(λ1y1(k)+λ2y2(k))=λ1k=0∑naky1(k)+λ2k=0∑naky2(k)Or, par hypothèse, ∑k=0naky1(k)=b1 et ∑k=0naky2(k)=b2, donc :k=0∑naky(k)=λ1b1+λ2b2Ainsi y=λ1y1+λ2y2 est bien solution de l'EDL ∑k=0naky(k)=λ1b1+λ2b2.
Remarques
Dans le cas où b1=b2=0, on a le résultat suivant.
Si y1 et y2 sont solutions de (E):k=0∑naky(k)=0, alors toute combinaison linéaire de y1 et y2 est également solution de (E).
Les équations différentielles linéaires jouissent aussi de la propriété fondamentale suivante.
Théorème—Structure de l'ensemble des solutions
Si yˉ est une solution de l'équation différentielle k=0∑naky(k)=b, alors les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme yˉ+yH où yH décrit l'ensemble des solutions de l'équation homogène associée.
Démonstration
Notons S l'ensemble des solutions de ∑k=0naky(k)=b et SH l'ensemble des solutions de l'équation homogène associée.
Soit yˉ une solution fixée de l'équation avec second membre.
(⊇) Soit yH∈SH. Par le Théorème 1.1 (principe de superposition) avec λ1=1, λ2=1, b1=b, b2=0 : yˉ+yH est solution de ∑k=0naky(k)=b. Donc yˉ+yH∈S.
(⊆) Soit y∈S. Posons yH=y−yˉ. Alors, par le Théorème 1.1 avec λ1=1, λ2=−1, b1=b, b2=b :k=0∑nakyH(k)=k=0∑nak(y−yˉ)(k)=b−b=0Donc yH∈SH, et y=yˉ+yH.
Ainsi, toute solution de l'équation est de la forme yˉ+yH avec yH∈SH.
On pourrait croire que pour toute équation différentielle, les solutions sont de la forme yˉ+yH. C'est faux en dehors du cadre linéaire.
Considérons l'équation différentielle y′=y2 (non linéaire). Les solutions ne s'annulant pas sont les fonctions x↦c−x1 pour c∈R (sur un intervalle approprié), et la fonction nulle est aussi solution.
Prenons deux solutions : y1(x)=1−x1 et y2(x)=2−x1. Leur différence y1−y2 vaut :y1(x)−y2(x)=1−x1−2−x1=(1−x)(2−x)1Vérifions que y1−y2 n'est pas solution de y′=y2 :((1−x)(2−x)1)′=(1−x)2(2−x)2(2−x)+(1−x)=(1−x)2(2−x)23−2xalors que ((1−x)(2−x)1)2=(1−x)2(2−x)21, et 3−2x=1 en général.
La structure "toute solution = solution particulière + solution homogène" est donc spécifique aux EDL (thm-1.2) et ne se généralise pas.
