Équations différentielles

Soient $y_1$ une solution de $\sum_{k=0}^{n} a_k y^{(k)} = b_1$ et $y_2$ une solution de $\sum_{k=0}^{n} a_k y^{(k)} = b_2$, et soient $(\lambda_1, \lambda_2) \in \mathbb{K}^2$. Posons $y = \lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2$.

Puisque $y_1$ et $y_2$ sont $n$ fois dérivables, $y$ l'est aussi, et par linéarité de la dérivation :
$$y^{(k)} = \lambda_1 y_1^{(k)} + \lambda_2 y_2^{(k)} \quad \text{pour tout } k \in \{0, 1, \ldots, n\}$$

On calcule alors :
$$\sum_{k=0}^{n} a_k y^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} a_k (\lambda_1 y_1^{(k)} + \lambda_2 y_2^{(k)}) = \lambda_1 \sum_{k=0}^{n} a_k y_1^{(k)} + \lambda_2 \sum_{k=0}^{n} a_k y_2^{(k)}$$

Or, par hypothèse, $\sum_{k=0}^{n} a_k y_1^{(k)} = b_1$ et $\sum_{k=0}^{n} a_k y_2^{(k)} = b_2$, donc :
$$\sum_{k=0}^{n} a_k y^{(k)} = \lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2$$

Ainsi $y = \lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2$ est bien solution de l'EDL $\sum_{k=0}^{n} a_k y^{(k)} = \lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2$.

Notons $S$ l'ensemble des solutions de $\sum_{k=0}^{n} a_k y^{(k)} = b$ et $S_H$ l'ensemble des solutions de l'équation homogène associée.

Soit $\bar{y}$ une solution fixée de l'équation avec second membre.

($\supseteq$) Soit $y_H \in S_H$. Par le Théorème 1.1 (principe de superposition) avec $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 1$, $b_1 = b$, $b_2 = 0$ : $\bar{y} + y_H$ est solution de $\sum_{k=0}^{n} a_k y^{(k)} = b$. Donc $\bar{y} + y_H \in S$.

($\subseteq$) Soit $y \in S$. Posons $y_H = y - \bar{y}$. Alors, par le Théorème 1.1 avec $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1$, $b_1 = b$, $b_2 = b$ :
$$\sum_{k=0}^{n} a_k y_H^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} a_k (y - \bar{y})^{(k)} = b - b = 0$$
Donc $y_H \in S_H$, et $y = \bar{y} + y_H$.

Ainsi, toute solution de l'équation est de la forme $\bar{y} + y_H$ avec $y_H \in S_H$.