Équations différentielles

On appelle équation différentielle une équation dont l'inconnue est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{K}$ et qui fait intervenir cette fonction ainsi que ces dérivées successives.

On appelle ordre de cette équation différentielle l'ordre maximal de dérivation de la fonction inconnue.

Une équation différentielle est dite résolue si elle est de la forme $y^{(n)} = F(x, y, y', \ldots, y^{(n-1)})$. Dans le cas contraire, elle est dite implicite.

On appelle problème de Cauchy la donnée d'une équation différentielle résolue d'ordre $n$,
$$y^{(n)} = F(x, y, y', \ldots, y^{(n-1)})$$
et de $n$ conditions initiales
$$y(x_0) = y_0 \quad y'(x_0) = y'_0 \quad y''(x_0) = y''_0 \quad \ldots \quad y^{(n-1)}(x_0) = y_0^{(n-1)}$$

On appelle équation différentielle linéaire toute équation de la forme :
$$(E) \quad a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = b$$
où $a_0, a_1, \ldots, a_n$ et $b$ sont des fonctions.

La fonction $b$ est appelé le second membre. Si $b$ est nulle, alors l'équation est dite homogène ou sans second membre.

L'équation différentielle
$$(E_H) \quad a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0$$
est appelée équation différentielle homogène associée à $(E)$.

Si $a_0, a_1, \ldots, a_n$ sont des constantes, on parle d'équation différentielle linéaire à coefficients constants.