Notons
S l'ensemble des solutions de
∑k=0naky(k)=b et
SH l'ensemble des solutions de l'équation homogène associée.
Soit
yˉ une solution fixée de l'équation avec second membre.
(⊇) Soit
yH∈SH. Par le Théorème 1.1 (principe de superposition) avec
λ1=1,
λ2=1,
b1=b,
b2=0 :
yˉ+yH est solution de
∑k=0naky(k)=b. Donc
yˉ+yH∈S.
(⊆) Soit
y∈S. Posons
yH=y−yˉ. Alors, par le Théorème 1.1 avec
λ1=1,
λ2=−1,
b1=b,
b2=b :
k=0∑nakyH(k)=k=0∑nak(y−yˉ)(k)=b−b=0Donc
yH∈SH, et
y=yˉ+yH.
Ainsi, toute solution de l'équation est de la forme
yˉ+yH avec
yH∈SH.