Équations différentielles

Quand une EDL1 se présente sous la forme $a(x)y^{\prime }+b(x)y=c(x)$ avec $a(x)$ non constant, il faut d'abord diviser par $a(x)$ pour obtenir $y^{\prime }+\frac{b(x)}{a(x)}y=\frac{c(x)}{a(x)}$. Le point clé est de reconnaître la primitive de $\frac{b(x)}{a(x)}$ parmi les primitives classiques :

• $\frac{2x}{1+x^2}$ : primitive $\ln (1+x^2)$, facteur intégrant $1+x^2$
• $\frac{\sin x}{2+\cos x}$ : primitive $-\ln (2+\cos x)$, facteur intégrant $2+\cos x$
• $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ : primitive $\arcsin (x)$ ou $-\arccos (x)$
• $\tanh (x)=\frac{\sinh x}{\cosh x}$ : primitive $\ln (\cosh x)$
• $\cot (x)=\frac{\cos x}{\sin x}$ : primitive $\ln |\sin x|$
• $\frac{1}{1+t^2}$ : primitive $\arctan (t)$
• $\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$ en général : primitive $\ln |u(x)|$, facteur intégrant $|u(x)|$

Le réflexe est de chercher si le numérateur est (à un facteur près) la dérivée du dénominateur. Cela donne directement le facteur intégrant et les solutions de l'homogène.