Soit E un K-espace vectoriel. On appelle norme sur E toute application N:E→R+ vérifiant les propriétés suivantes.
Séparation∀x∈E,N(x)=0⟹x=0E.
Homogénéité∀(λ,x)∈K×E,N(λx)=∣λ∣N(x).
Inégalité triangulaire∀(x,y)∈E2,N(x+y)≤N(x)+N(y).
Remarques
L'homogénéité montre que si x=0E, alors N(x)=0. En effet, N(0E)=N(0⋅0E)=∣0∣N(0E)=0.
Exemple
• La valeur absolue est une norme sur le R-espace vectoriel R. • Le module est une norme sur C considéré comme un R-espace vectoriel ou un C-espace vectoriel.
Définition—Vecteur unitaire
On appelle vecteur unitaire tout vecteur de norme 1.
Remarque
Si x=0E, alors N(x)x est unitaire.
Définition—Espace vectoriel normé
On appelle espace vectoriel normé tout couple (E,N) où E est un K-espace vectoriel et N une norme sur E.
Proposition—Norme associée à un produit scalaire
Soit (E,⟨⋅,⋅⟩) un espace préhilbertien réel. L'application ∥⋅∥ définie par ∥x∥=⟨x,x⟩ pour tout x∈E est une norme sur E appelée norme associée au produit scalaire⟨⋅,⋅⟩.
Encadré—Norme d'algèbre
On appelle norme d'algèbre d'une K-algèbre (E,+,⋅,×) toute norme N sur l'espace vectoriel E vérifiant de plus∀(x,y)∈E2,N(x×y)≤N(x)N(y)On dit encore que N est une norme sous-multiplicative.
1.2. Normes usuelles
Définition—Normes usuelles sur Kn
Pour x=(x1,…,xn)∈Kn, on pose∥x∥1=i=1∑n∣xi∣∥x∥2=i=1∑n∣xi∣2∥x∥∞=1≤i≤nmax∣xi∣∥⋅∥1, ∥⋅∥2 et ∥⋅∥∞ sont des normes sur Kn.
1.3. Distance associée à une norme
Définition—Distance associée à une norme
Soit (E,N) un espace vectoriel normé. On appelle distance associée à N l'application d:E2→R+ telle que∀(x,y)∈E2,d(x,y)=∥x−y∥
1.4. Boules et sphères
Définition—Boule et sphère
Soient (E,∥⋅∥) un espace vectoriel normé, a∈E et r∈R+.
Boule ouverte On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r l'ensembleB(a,r)={x∈E,d(a,x)<r}={x∈E,∥x−a∥<r}Boule fermée On appelle boule fermée de centre a et de rayon r l'ensembleBf(a,r)={x∈E,d(a,x)≤r}={x∈E,∥x−a∥≤r}Sphère On appelle sphère de centre a et de rayon r l'ensembleS(a,r)={x∈E,d(a,x)=r}={x∈E,∥x−a∥=r}
1.5. Convexité
Définition—Segment
Soient E un R-espace vectoriel et (A,B)∈E2. On appelle segment[A,B] l'ensemble {(1−λ)A+λB,λ∈[0,1]}.
1.6. Normes équivalentes
Définition—Normes équivalentes
Soient N1 et N2 deux normes sur un même K-espace vectoriel E. On dit que N2 est équivalente à N1 si∃(α,β)∈(R+∗)2,∀x∈E,αN1(x)≤N2(x)≤βN1(x)
1.7. Parties, suites et fonctions bornées
Remarque
Le caractère borné d'une partie d'un espace vectoriel normé, d'une suite ou d'une fonction à valeurs dans un espace vectoriel normé est invariant si l'on change la norme en une norme équivalente.
Définition—Partie bornée
Soient (E,N) un espace vectoriel normé et A une partie de E. On dit que A est bornée s'il existe R∈R+ tel que N(x)≤R pour tout x∈E.
1.8. Produit d'espaces vectoriels normés
Proposition—Produit d'espaces vectoriels normés
Soit (Ek,Nk)1≤k≤n une famille finie d'espaces vectoriels normés et ∥⋅∥ une norme sur Rn. Alors on définit une norme N sur k=1∏nEk en posant∀x=(x1,…,xn)∈k=1∏nEk,N(x)=∥(N1(x1),…,Nn(xn))∥Si on change la norme ∥⋅∥ sur Rn, la norme N est transformée en une norme équivalente. La norme N est appelée une norme produit des normes N1,…,Np.
Si N est une application de E dans R vérifiant les axiomes d'inégalité triangulaire et d'homogénéité, elle est nécessairement positive. En effet, pour x∈E,0=N(0E)=N(x+(−x))≤N(x)+N(−x)=2N(x)
Une norme est souvent notée non comme une application mais à l'aide d'un symbole comme ∥⋅∥.
Si N est une norme sur un espace vectoriel E, on a également la seconde inégalité triangulaire∀(x,y)∈E2,N(x−y)≥∣N(x)−N(y)∣
Démonstration bientôt disponible
Remarque
La norme ∥⋅∥2 n'est autre que la norme associée au produit scalaire canonique de Kn lorsque K=R. En notant X la matrice colonne de Mn,1(K) canoniquement associée à x∈Kn, alors ∥x∥22=X⊤X si K=R ou ∥x∥22=X⊤X si K=C.
Encadré—Normes matricielles
Si on identifie Mn,p(K) à Knp, on étend naturellement les définitions précédentes à Mn,p(K). Autrement dit pour M∈Mn,p(K)∥M∥1=i=1∑nj=1∑p∣Mij∣∥M∥2=i=1∑nj=1∑p∣Mij∣2∥M∥∞=1≤i≤n1≤j≤pmax∣Mij∣Lorsque K=R, on peut encore remarquer que ∥⋅∥2 est la norme associée au produit scalaire (A,B)∈Mn,p(R)2↦tr(A⊤B).
De plus, ∥M∥22=tr(M⊤M) si K=R et ∥M∥22=tr(A⊤A) si K=C.
Proposition—Espace vectoriel des applications bornées
Soit X un ensemble. L'ensemble B(X,K) des applications bornées de X dans K est un sous-espace vectoriel du K-espace vectoriel KX.
Démonstration bientôt disponible
Encadré—Borne supérieure
La borne supérieure d'une partie A de R est son plus petit majorant noté supA. La propriété de la borne supérieure garantit que toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure.
Si f est une application d'un ensemble X à valeurs dans R, on note Xsupf=x∈Xsupf(x)=sup{f(x),x∈X}, qui est bien défini si f est majorée sur X. Autrement dit, Xsupf est le plus petit majorant de f sur X.
Lemme
Soient k∈R+ et A une partie non vide et majorée de R. Alors kA={ka,a∈A} est une partie non vide et majorée de R et supkA=ksupA.
Démonstration bientôt disponible
Définition—Norme de la convergence uniforme
Soit X un ensemble. Pour f∈B(X,K), on pose ∥f∥∞=Xsup∣f∣. Alors ∥⋅∥∞ est une norme sur le K-espace vectoriel B(X,K) des applications bornées de X dans K.
Remarque
En particulier, si X=N, on définit une suite sur le sous-espace vectoriel des suites bornées de KN. Plus précisément,∀u∈KN,∥u∥∞=n∈Nsup∣un∣Par ailleurs, une suite presque nulle est nécessairement bornée donc, en identifiant un polynôme à la suite presque nulle de ses coefficients, on peut étendre cette norme à K[X]. Plus précisément, pour P=n=0∑+∞anXn∥P∥∞=n∈Nsup∣an∣
Définition—Normes de la convergence en moyenne et de la convergence en moyenne quadratique
Pour f∈C([a,b],K), on pose∥f∥1=∫ab∣f(t)∣dt∥f∥2=∫ab∣f(t)∣2dt∥⋅∥1 et ∥⋅∥2 sont des normes sur C([a,b],K).
Remarques
Si K=R, ∥⋅∥2 est la norme euclidienne associée au produit scalaire (f,g)∈C([a,b],R)2↦∫abf(t)g(t)dt.
On peut également parler de la norme uniforme de la convergence uniforme sur C0([a,b],K). En effet, toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Dans ce cas,∀f∈C0([a,b],K),∥f∥∞=[a,b]sup∣f∣=[a,b]max∣f∣
Application—Une norme matricielle
Pour A∈Mn(R), on poseN(A)=1≤i≤nmaxj=1∑n∣Ai,j∣Montrer que N est une norme d'algèbre.
Correction bientôt disponible
Proposition—Propriétés de la distance
Soit (E,N) un espace vectoriel normé et d la distance associée à N.
Invariance par translation∀(x,y,z)∈E3,d(x+z,y+z)=d(x,y).
Démonstration bientôt disponible
Remarque
On a encore une fois la seconde inégalité triangulaire∀(x,y,z)∈E3,d(x,y)≥∣d(x,z)−d(z,y)∣
Encadré—Distance à une partie
Soient (E,N) un espace vectoriel normé, x∈E et A une partie non vide de E. On appelle distance de x à A le réel positifd(x,A)=inf{d(x,a),a∈A}=a∈Ainfd(x,a)
Attention
La borne inférieure n'est pas forcément atteinte.
Exemple
Si on considère l'espace vectoriel normé (R,∣⋅∣),d(0,]1,2])=d(0,[1,2])=1
Exemple
Dans (R,∣⋅∣), B(a,r)=]a−r,a+r[, Bf(a,r)=[a−r,a+r] et S(a,r)={a−r,a+r}.
Remarques
Bf(a,r) est l'union disjointe de B(a,r) et S(a,r).
La boule (ouverte ou fermée) de centre 0E et de rayon 1 est appelée boule unité (ouverte ou fermée). La sphère de centre 0E et de rayon 1 est appelée sphère unité.
Exemples
—Sphères unité de R2 pour les normes « classiques »
Norme ∥⋅∥1 : losange
Norme ∥⋅∥2 : cercle
Norme ∥⋅∥∞ : carré
Dans (C,∣⋅∣), B(a,r) est le disque ouvert de centre a et de rayon r, Bf(a,r) est le disque fermé de centre a et de rayon r et S(a,r) est le cercle de centre a et de rayon r.
Définition—Partie convexe
On dit qu'une partie C de E est convexe si pour tout (A,B)∈C2, [A,B]⊂C.
Exemples
Un segment d'un R-espace vectoriel est une partie convexe de cet espace vectoriel.
Un sous-espace vectoriel ou un sous-espace affine d'un R-espace vectoriel est une partie convexe de cet espace vectoriel.
Application
Montrer que les parties convexes de R sont les intervalles.
Correction bientôt disponible
Proposition—Convexité des boules
Les boules (fermées ou ouvertes) d'un R-espace vectoriel normé sont convexes.
Démonstration bientôt disponible
Proposition
La relation « être équivalente à » est une relation d'équivalence sur l'ensemble des normes d'un même K-espace vectoriel.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
On pourra alors dire sans ambiguïté que deux normes sont équivalentes plutôt que de dire que l'une est équivalente à l'autre.
Encadré—Propriétés inchangées par passage à une norme équivalente
L'équivalence des normes est une notion essentielle. On verra en effet que bon nombre de propriétés topologiques de parties d'un espace vectoriel, de suites ou de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé restent inchangées si on change une norme en une norme équivalente, notamment : • le caractère borné; • la convergence/divergence et la limite des suites; • la convergence/divergence et la somme des séries; • les ouverts, les fermés, les voisinages, les intérieurs, les adhérences, la densité; • la limite et la continuité des fonctions; • la compacité; • la connexité par arcs.
Méthode—Montrer que deux normes ne sont pas équivalentes
Pour montrer que deux normes N1 et N2 d'un même K-espace vectoriel E ne sont pas équivalentes, il suffit de trouver une suite (un) d'éléments de E vérifiant telle que n→+∞limN1(un)N2(un)=0 ou n→+∞limN1(un)N2(un)=+∞.
Exemple
Posons pour P=k=0∑+∞akXk∈K[X]∥P∥1=k=0∑+∞∣ak∣∥P∥∞=k∈Nmax∣ak∣Pour n∈N, on pose Pn=k=0∑nXk. On vérifie sans peine que ∥Pn∥1=n+1 et ∥Pn∥∞=1 pour tout n∈N. Ainsi∥Pn∥∞∥Pn∥1n→+∞+∞
Théorème—Équivalence des normes en dimension finie
Toutes les normes d'un K-espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Ce théorème est faux si K n'est pas un corps « complet » (notion hors-programme) – par exemple, si K=Q.
Remarque
Autrement dit, une partie est bornée si elle est incluse dans une boule (centrée en 0E).
Exemples
Les boules et les sphères sont des parties bornées.
On(R) est une partie bornée de Mn(R) car pour tout M∈On(R), ∥M∥22=tr(M⊤M)=tr(In)=n.
Définition—Suite bornée
Soient (E,N) un espace vectoriel normé et (un)∈EN. On dit que la suite (un) est bornée s'il existe R∈R+ tel que N(un)≤R pour tout n∈N.
L'ensemble des suites bornées est un sous-espace vectoriel de EN.
Définition—Application bornée
Soient X un ensemble, (E,N) un espace vectoriel normé et f∈EX. On dit que f est bornée s'il existe R∈R+ tel que N(f(x))≤R pour tout x∈X.
L'ensemble des applications bornées est un sous-espace vectoriel de EX.
Attention
Le caractère borné peut dépendre de la norme considérée.
Exemple
On munit R[X] des normes N1 et N2 définies parN1:P=n=0∑+∞anXn↦n∈Nmax∣an∣N2:P=n=0∑+∞anXn↦n∈N∑∣an∣La suite de terme général Pn=k=0∑nXk est bornée pour la norme N1 puisque N1(Pn)=1 pour tout n∈N. Mais elle ne l'est pas pour la norme N2 puisque N2(Pn)=n+1 pour tout n∈N.
