vérifier la définition d'une norme. Deux points peuvent poser plus particulièrement problème :
la vérification de l'inégalité triangulaire, notamment dans le cas où la norme est définie par un sup. Il faut alors rédiger cette vérification très soigneusement en s'inspirant de ce qui est fait dans le cours pour la norme infinie.
le fait que N(x)=0 si et seulement si x=0. Il faut parfois utiliser des propriétés de continuité, ou le nombre de racines d'un polynôme pour prouver ceci.
démontrer que N est la norme issue d'un produit scalaire. Ceci est particulièrement approprié si la norme fait apparaître des carrés. Dans ce cas, on retrouve le produit scalaire dont est issue la norme en appliquant la formule de polarisation.
vérifier que N est la restriction à un sous-espace d'une norme bien connue.
ClassiqueDémontrer qu'une norme n'est pas issue d'un produit scalaire
Soient α0,…,αn des réels distincts (n≥1). On pose N(P)=k=0∑n∣P(αk)∣. Montrer que N est une norme non euclidienne sur Rn[X].
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Norme H1 non équivalente au sup
Soient E=C1([0;1],R) et N:E→R+ définie parN(f)=f2(0)+∫01f′2(t)dt.
Montrer que N définit une norme sur E.
Comparer N et ∥⋅∥∞.
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Dérivées en 0 contre la norme sup
Sur R[X] on définit N1 et N2 par :N1(P)=k=0∑+∞∣P(k)(0)∣etN2(P)=t∈[−1,1]sup∣P(t)∣.
Montrer que N1 et N2 sont deux normes sur R[X].
Étudier la convergence pour l'une et l'autre norme de la suite de terme général Pn=n1Xn.
Les normes N1 et N2 sont-elles équivalentes ?
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Normes quadratiques Na sur R2
On étudie une famille de normes quadratiques sur R2, dépendant d'un paramètre réel a, en cherchant pour quelles valeurs de a elles définissent effectivement une norme, puis en comparant deux normes de cette famille à l'aide des meilleures constantes d'équivalence.
Quelles sont les valeurs de a∈R pour lesquelles l'application (x,y)↦Na(x,y)=x2+2axy+y2 définit une norme sur R2 ?
Si Na et Nb sont des normes, calculer (x,y)=0infNb(x,y)Na(x,y) et (x,y)=0supNb(x,y)Na(x,y).
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TPE-EIVP MP 2012
On pose pour une partie A de R et P∈R[X], NA(P)=x∈Asup∣P(x)∣. A quelle condition nécessaire et suffisante NA est-elle une norme sur R[X] ?
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Distance de e au sous-espace c0
On norme l'espace B(N,R) des suites bornées par la norme infinie notée ∥⋅∥∞. Déterminer la distance de la suite e constante égale à 1 au sous-espace vectoriel C0 des suites réelles convergeant vers 0.
