Espaces vectoriels

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. On utilise les axiomes de la Définition 1.1.

Point 1. Soit $(\lambda ,x)\in \mathbb{K}\times E$.

$\Leftarrow$ : Supposons $\lambda =0_{\mathbb{K}}$. Par l'axiome (ii) (distributivité à gauche) :$$\lambda x=(0_{\mathbb{K}}+0_{\mathbb{K}})x=0_{\mathbb{K}}x+0_{\mathbb{K}}x$$Donc $0_{\mathbb{K}}x=0_{\mathbb{K}}x+0_{\mathbb{K}}x$. En soustrayant $0_{\mathbb{K}}x$ des deux membres ($(E,+)$ est un groupe, donc tout élément a un symétrique), on obtient $0_E=0_{\mathbb{K}}x$, c'est-à-dire $0_{\mathbb{K}}x=0_E$.

Supposons $x=0_E$. Par l'axiome (iii) (distributivité à droite) :$$\lambda \cdot 0_E=\lambda \cdot (0_E+0_E)=\lambda \cdot 0_E+\lambda \cdot 0_E$$En soustrayant $\lambda \cdot 0_E$, on obtient $0_E=\lambda \cdot 0_E$.

$\Rightarrow$ : Supposons $\lambda x=0_E$ et $\lambda \ne 0_{\mathbb{K}}$. Alors $\lambda$ est inversible dans $\mathbb{K}$. Par l'axiome (v) :$$x=1_{\mathbb{K}}x=({\lambda }^{-1}\lambda )x={\lambda }^{-1}(\lambda x)={\lambda }^{-1}\cdot 0_E=0_E$$où la dernière égalité découle du cas $\Leftarrow$ appliqué à $0_E$. Donc $\lambda =0_{\mathbb{K}}$ ou $x=0_E$.

Point 2. Calculons $\lambda x+(-\lambda )x$ en utilisant l'axiome (ii) :$$\lambda x+(-\lambda )x=(\lambda +(-\lambda ))x=0_{\mathbb{K}}x=0_E$$où on a utilisé le Point 1 pour la dernière égalité. Donc $(-\lambda )x$ est l'opposé de $\lambda x$, soit $(-\lambda )x=-(\lambda x)$.

De même, $\lambda x+\lambda (-x)=\lambda (x+(-x))=\lambda \cdot 0_E=0_E$ par l'axiome (iii) et le Point 1. Donc $\lambda (-x)=-(\lambda x)$.