The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Définition et exemples fondamentaux

1.1. Définition

Définition—Espace vectoriel

Soient

\mathbb{K}

un corps et

E

un ensemble muni d'une loi interne

+

et d'une loi externe

\cdot

i.e. d'une application :

\begin{cases} \mathbb{K} \times E \longrightarrow E \\ (\lambda, x) \longmapsto \lambda \cdot x \end{cases}

On dit que

(E, +, \cdot)

est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel ou un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ si :

[(i)] $(E, +)$ est un groupe commutatif (dont l'élément neutre $0_E$ ou $0$ est appelé le vecteur nul) ;
[(ii)] Distributivité de $\cdot$ sur $+$ à gauche : $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall x \in E, (\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$ ;
[(iii)] Distributivité de $\cdot$ sur $+$ à droite : $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall (x, y) \in E^2, \lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$ ;
[(iv)] $\forall x \in E, 1_\mathbb{K} \cdot x = x$ ;
[(v)] $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall x \in E, \lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda\mu) \cdot x$ .

Les éléments de

E

sont appelés des vecteurs et les éléments de

\mathbb{K}

sont appelés des scalaires. Le corps

\mathbb{K}

est appelé le corps de base de l'espace vectoriel

E

Remarque

Dans la distributivité de

+

sur

\cdot

, il s'agit de la loi

+

du corps

\mathbb{K}

. Dans la distributivité de

\cdot

sur

+

, il s'agit de la loi

+

du groupe

E

Remarque

\cdot

de la loi externe est très souvent omis : si

\lambda \in \mathbb{K}

x \in E

, on note souvent

\lambda x

au lieu de

\lambda \cdot x

Remarque

On ne met pas de flèches sur les vecteurs des espaces vectoriels à moins que l'on fasse de la géométrie dans le plan ou dans l'espace.

Remarque

On parle souvent d'espace vectoriel sans préciser les lois

+

\cdot

. On dit souvent «

E

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel » alors qu'en toute rigueur, on devrait dire «

(E, +, \cdot)

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel ».

Remarque

E

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel et si

\mathbb{L}

est un sous-corps de

\mathbb{K}

, alors

E

est aussi un

\mathbb{L}

-espace vectoriel en considérant la restriction de la loi

\cdot

\mathbb{L} \times E

Proposition—Règles de calcul

Soit

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

$\forall (\lambda, x) \in \mathbb{K} \times E, \lambda \cdot x = 0_E \iff (\lambda = 0_\mathbb{K} \text{ ou } x = 0_E)$ .
$\forall (\lambda, x) \in \mathbb{K} \times E, -(\lambda \cdot x) = (-\lambda) \cdot x = \lambda \cdot (-x)$ ;

1.2. Exemples

Remarque

Les espaces vectoriels sont partout.

Exemple—Géométrie

Le plan vectoriel et l'espace vectoriel (ensemble des vecteurs du plan ou de l'espace) sont des

\mathbb{R}

-espaces vectoriels.

Remarque

Historiquement, le plan et l'espace ont été les prototypes d'espaces vectoriels. D'ailleurs, il nous sera très utile en pratique de représenter les vecteurs d'espaces vectoriels abstraits comme des vecteurs du plan et de l'espace.

Exemple—Suites

Pour

((u_n), (v_n)) \in (\mathbb{K}^\mathbb{N})^2

, on pose

(u_n) + (v_n) = (u_n + v_n)

.

Pour

(\lambda, (u_n)) \in \mathbb{K} \times \mathbb{K}^\mathbb{N}

, on pose

\lambda \cdot (u_n) = (\lambda u_n)

.

Alors

(\mathbb{K}^\mathbb{N}, +, \cdot)

est alors un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

1. Définition et exemples fondamentaux

1.1. Définition

Définition—Espace vectoriel

Soient

\mathbb{K}

un corps et

E

un ensemble muni d'une loi interne

+

et d'une loi externe

\cdot

i.e. d'une application :

\begin{cases} \mathbb{K} \times E \longrightarrow E \\ (\lambda, x) \longmapsto \lambda \cdot x \end{cases}

On dit que

(E, +, \cdot)

est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel ou un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ si :

[(i)] $(E, +)$ est un groupe commutatif (dont l'élément neutre $0_E$ ou $0$ est appelé le vecteur nul) ;
[(ii)] Distributivité de $\cdot$ sur $+$ à gauche : $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall x \in E, (\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$ ;
[(iii)] Distributivité de $\cdot$ sur $+$ à droite : $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall (x, y) \in E^2, \lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$ ;
[(iv)] $\forall x \in E, 1_\mathbb{K} \cdot x = x$ ;
[(v)] $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall x \in E, \lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda\mu) \cdot x$ .

Les éléments de

E

sont appelés des vecteurs et les éléments de

\mathbb{K}

sont appelés des scalaires. Le corps

\mathbb{K}

est appelé le corps de base de l'espace vectoriel

E

Remarque

Dans la distributivité de

+

sur

\cdot

, il s'agit de la loi

+

du corps

\mathbb{K}

. Dans la distributivité de

\cdot

sur

+

, il s'agit de la loi

+

du groupe

E

Remarque

\cdot

de la loi externe est très souvent omis : si

\lambda \in \mathbb{K}

x \in E

, on note souvent

\lambda x

au lieu de

\lambda \cdot x

Remarque

On ne met pas de flèches sur les vecteurs des espaces vectoriels à moins que l'on fasse de la géométrie dans le plan ou dans l'espace.

Remarque

On parle souvent d'espace vectoriel sans préciser les lois

+

\cdot

. On dit souvent «

E

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel » alors qu'en toute rigueur, on devrait dire «

(E, +, \cdot)

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel ».

Remarque

E

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel et si

\mathbb{L}

est un sous-corps de

\mathbb{K}

, alors

E

est aussi un

\mathbb{L}

-espace vectoriel en considérant la restriction de la loi

\cdot

\mathbb{L} \times E

Proposition—Règles de calcul

Soit

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

$\forall (\lambda, x) \in \mathbb{K} \times E, \lambda \cdot x = 0_E \iff (\lambda = 0_\mathbb{K} \text{ ou } x = 0_E)$ .
$\forall (\lambda, x) \in \mathbb{K} \times E, -(\lambda \cdot x) = (-\lambda) \cdot x = \lambda \cdot (-x)$ ;

1.2. Exemples

Remarque

Les espaces vectoriels sont partout.

Exemple—Géométrie

Le plan vectoriel et l'espace vectoriel (ensemble des vecteurs du plan ou de l'espace) sont des

\mathbb{R}

-espaces vectoriels.

Remarque

Exemple—Suites

Pour

((u_n), (v_n)) \in (\mathbb{K}^\mathbb{N})^2

, on pose

(u_n) + (v_n) = (u_n + v_n)

.

Pour

(\lambda, (u_n)) \in \mathbb{K} \times \mathbb{K}^\mathbb{N}

, on pose

\lambda \cdot (u_n) = (\lambda u_n)

.

Alors

(\mathbb{K}^\mathbb{N}, +, \cdot)

est alors un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

Espaces vectoriels

1. Définition et exemples fondamentaux

1.1. Définition

1.2. Exemples

1. Définition et exemples fondamentaux

1.1. Définition

1.2. Exemples