Espaces vectoriels

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. On utilise les axiomes de la Définition 1.1.

Point 1. Soit $(\lambda, x) \in \mathbb{K} \times E$.

$\Leftarrow$ : Supposons $\lambda = 0_{\mathbb{K}}$. Par l'axiome (ii) (distributivité à gauche) :
$$\lambda x = (0_{\mathbb{K}} + 0_{\mathbb{K}}) x = 0_{\mathbb{K}} x + 0_{\mathbb{K}} x$$
Donc $0_{\mathbb{K}} x = 0_{\mathbb{K}} x + 0_{\mathbb{K}} x$. En soustrayant $0_{\mathbb{K}} x$ des deux membres ($(E, +)$ est un groupe, donc tout élément a un symétrique), on obtient $0_E = 0_{\mathbb{K}} x$, c'est-à-dire $0_{\mathbb{K}} x = 0_E$.

Supposons $x = 0_E$. Par l'axiome (iii) (distributivité à droite) :
$$\lambda \cdot 0_E = \lambda \cdot (0_E + 0_E) = \lambda \cdot 0_E + \lambda \cdot 0_E$$
En soustrayant $\lambda \cdot 0_E$, on obtient $0_E = \lambda \cdot 0_E$.

$\Rightarrow$ : Supposons $\lambda x = 0_E$ et $\lambda \neq 0_{\mathbb{K}}$. Alors $\lambda$ est inversible dans $\mathbb{K}$. Par l'axiome (v) :
$$x = 1_{\mathbb{K}} x = (\lambda^{-1} \lambda) x = \lambda^{-1} (\lambda x) = \lambda^{-1} \cdot 0_E = 0_E$$
où la dernière égalité découle du cas $\Leftarrow$ appliqué à $0_E$. Donc $\lambda = 0_{\mathbb{K}}$ ou $x = 0_E$.

Point 2. Calculons $\lambda x + (-\lambda) x$ en utilisant l'axiome (ii) :
$$\lambda x + (-\lambda) x = (\lambda + (-\lambda)) x = 0_{\mathbb{K}} x = 0_E$$
où on a utilisé le Point 1 pour la dernière égalité. Donc $(-\lambda) x$ est l'opposé de $\lambda x$, soit $(-\lambda) x = -(\lambda x)$.

De même, $\lambda x + \lambda(-x) = \lambda(x + (-x)) = \lambda \cdot 0_E = 0_E$ par l'axiome (iii) et le Point 1. Donc $\lambda(-x) = -(\lambda x)$.